2023年中考数学第一轮培优模型练习 模型十 主从联动（无答案）

模型十　主从联动

1. (2021广元)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ.则CQ的最小值是(　　)

第1题图

A.　　　B．1　　　C.　　　D.

2. (2021泰安)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动(含B、C两点)，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为(　　)

第2题图

A.      B. 5     C.      D. 3

3. (2021宜宾)如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连接AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是________．

第3题图

4. (2021十堰)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是________．

第4题图

5. (2021遵义)点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6.连接OA，AB.

(1)【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值．

将下列解答过程补充完整．

解： 将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′.

由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形，

第5题图①

∴OO′＝BO＝6.

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，AB＝BC，

∴∠OBO′＝∠ABC＝60°，

∴∠OBA＝∠O′BC.

在△OBA和△O′BC中，

，

∴______①______(SAS)，

∴OA＝O′C，

在△OO′C中，OC<OO′＋O′C，

当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′＋O′C，

即OC≤OO′＋O′C，

∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是______②______．

(2)【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；

(3)【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．

第5题图②

第5题图③

6. (2021连云港)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

(1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图①，求CF的长；

(2)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图②.在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

图①

图②

第6题图

(3)△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图③.在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

(4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH ，其中点F、G都在直线AE上，如图④.当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为________，点G所经过的路径长为________．

图③

图④

第6题图