2023年中考数学第一轮培优模型练习 模型五 半角模型（无答案）

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1. 如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
(1)延长CB到点G，使BG＝________，连接AG；
(2)证明：EF＝BE＋DF.
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，连接MN，∠MAN＝∠CMN＝45°，求证：MN2＝2BM2＋2DN2.
第2题图
类型二 等腰直角三角形含半角
3. (2022娄底节选)如图，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)求证：EF2＝BE2＋CF2.
第3题图
4. 阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°.若BD＝3，CE＝1，求DE的长．
小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF(如图②)，由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE.解△FCE，可求得FE(即DE)的长．
请回答：在图②中，∠FCE的度数是________，DE的长为________．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝eq \f(1,2)∠BAD.猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．
第4题图
类型三 等边三角形含半角
5. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点作∠MDN＝60°，点M、N分别在AB、AC上.
(1)如图①，当MN∥BC时，求△AMN的周长；
(2)如图②，求证：BM＋NC＝MN.
第5题图