2023年中考数学第一轮培优专题练习 模型二 截长补短模型（无答案）

模型二　截长补短模型

类型一　构造相等线段

1. (2022烟台)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.

【问题解决】

如图①，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD；

【类比探究】

如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

第1题图

2. (2022甘肃省卷)问题解决：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G.

(1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由；

类比迁移：如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．

第2题图

3. (2022宁波)【证明体验】

(1)如图①，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC.

求证：DE平分∠ADB；

【思考探究】

(2)如图②，在(1)的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G.若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长；

【拓展延伸】

(3)如图③，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC.若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．

第3题图

类型二　构造、倍数量关系

4. (2022阜新)如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°.

(1)如图①，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE.

①求证：CD＝CE，CD⊥CE；

②求证：AD＋BD＝CD；

(2)若△ABC与△ABD位置如图②所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．

第4题图

5. (2022安徽)如图①，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.

(1)求证：BD⊥EC；

(2)若AB＝1，求AE的长；

(3)如图②，连接AG，求证：EG－DG＝AG.

第5题图

6. 在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，如图①，连接BD，延长BE至点F，使BF＝BD，且AF∥BD.

(1)若AB＝，求AF的长度；

(2)如图②，过点D作BF的垂线DG，垂足为点G，交AF于点H，分别延长BA，DH交于点P，连接PE，过点F作FQ⊥BD于点Q.求证：BE＝DG＋FG.

第6题图