2023年中考数学第一轮培优专题练习 模型一 倍长中线模型（无答案）

模型一　倍长中线模型

1. (2022临沂)如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是________．

第1题图　　

2. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，GE⊥EF，若AG＝2，BF＝3，则GF的长为________．

第2题图

3. (2022安顺)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断AB，AD，DC之间的等量关系________；

(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

图①

图②

第3题图

4. (2021烟台)有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图①所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N.

【观察猜想】

(1)线段DE与AM之间的数量关系是________，位置关系是________；

【探究证明】

(2)将图①中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图②，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

图①

图②

第4题图

1. 8　2. 5　

3. 解：(1)AD＝AB＋DC；

(2)AB＝AF＋CF，

理由如下：如解图，延长AE交DF的延长线于点G，

第3题解图

∵E是BC的中点，

∴CE＝BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠G.

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC(AAS)．

∴AB＝GC.

∵AE是∠BAF的平分线，

∴∠BAG＝∠FAG，

∵∠BAG＝∠G，

∴∠FAG＝∠G，

∴FA＝FG，

∵CG＝CF＋FG，

∴AB＝AF＋CF.

4. 解：(1)AM＝DE，AM⊥DE；

∵四边形ABCD、AEGF都是正方形，∴ AB＝AD，AE＝AF，在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴BF＝DE，又∵点M是BF中点，∴AM＝BF＝DE.∵△ABF≌△ADE，∴∠ABF＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠AED＋∠ADE＝∠AED＋∠ABF＝90°，∵点M是BF中点，∴AM＝BM，∴∠ABF＝∠BAM，∴∠AED＋∠BAM ＝90°，∴∠ANE＝90°，∴AM⊥DE.

(2)成立．理由如下：

如解图，延长AM至点K，使得AM＝MK，连接BK,

第4题解图

由题意知，∠FAB＝∠EAB＝45°，

∵M为BF中点，

∴MF＝MB，在△AMF和△KMB中，

∴△AMF≌△KMB(SAS)，

∴AF ＝KB, ∠AFM＝∠KBM，

∴AF∥BK，∴∠FAB＋∠ABK＝180°，

∵∠FAB＝45°，

∴∠ABK＝135°，

∵∠EAD＝∠BAD＋∠EAB＝135°，

∴∠KBA＝∠EAD，

∵AF ＝AE，

∴BK＝AF＝AE，在△DAE和△ABK中，，

∴△DAE≌△ABK(SAS)，

∴DE＝AK，

∴AM＝AK＝DE.

由△DAE≌△ABK可知，∠ADE＝∠BAK，

∵∠BAK＋∠KAD＝90°，

∴∠ADE＋∠KAD＝90°，

∴∠AND＝90°，

∴AM⊥DE.