2022-2023学年山东省济南市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年山东省济南市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷一卷二）含解析，共65页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷一）
一、选一选（本题共30分，每小题3分）
1. 二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4
3. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，∠A=90°，若AB=8，AC=6，则cosC的值为（　　）
A. B. C. D.
5. 下列各点中，抛物线y=x2-4x-4的点是( )
A. B. C. D.
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）

A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
7. 一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（　　）
A. 1cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm
8. 反比例函数y=的图象点（﹣1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（　　）
A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1=y2 D. 没有能确定
9. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是（ ）
A. B. C. D.
10. 当温度没有变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（　　）
V（单位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（单位：kPa）
96
64
48
38.4
32

A. P＝96V B. P＝﹣16V+112
C. P＝16V2﹣96V+176 D. P＝
二、填 空 题（本题共18分，每小题3分）
11. 已知为锐角，若，则__________．
12. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
13. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA＝3OD，OB＝3OC)，然后张开两脚，使A，B两个分别在线段l的两个端点上，若CD＝3.2 cm，则AB的长为_________ cm.

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(－1，2)，B(－1，0)，A′(－2，4)，则B′的坐标为___________．

15. 若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+1的值为______．
16. 下面是“用三角板画圆切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．


画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A没有重合）处，使其一直角边点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；
（2）如图3，将三角板直角顶点与点A重合，使一条直角边点B，画出另一条直角边所在的直线AD．
所以直线AD就是过点A的圆的切线．
请回答：该画图的依据是______________________________________．
三、解 答 题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17. 计算：°．
18. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．

19. 若二次函数y=x2+bx+c的图象点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．
20. 已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流没有能超过10A，那么用电器的可变电阻R应在什么范围？请根据图象，直接写出结果 ．

21. 已知矩形的一边长为x，且相邻两边长的和为10．
（1）求矩形面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求矩形面积S的值．
22. 如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．

23. 在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA=PD，如图1所示，则tan的值为 ；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的没有同），并求此时tan的值．

图1 图2
24. 如图，直线与双曲线只有一个公共点．
求k与a的值；
在的条件下，如果直线与双曲线有两个公共点，直接写出b的取值范围．

25. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若∠D=60°，AD=2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．

26. 有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x性质．
(1)先从简单情况开始探究：
①当函数y=（x﹣1）+x时，y随x增大而　 　（填“增大”或“减小”）；
②当函数y=（x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为　 　；
(2)当函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，
下表为其y与x的几组对应值．
　x
…
﹣
0
1

2

3
4
　
…
　y
…
﹣
﹣3
1

2

3
7

…
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：　 　．

27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．
①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；
②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点，函数的图象，求m的取值范围．

28. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为　 　度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为　 　；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为　 　．

29. 定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB，△PBC，△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P没有与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）点A坐标为(，)， AB⊥x轴于B点，在E(2，1)，F (，)，G (，)，这三个点中，其中是△AOB的自相似点的是 （填字母）；
（2）若点M是曲线C：上的一个动点，N为x轴正半轴上一个动点；
图2
① 如图2，，M点横坐标为3，且NM = NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；
②若，点N为(2，0)，且△MON自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

2022-2023学年山东省济南市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷一）
一、选一选（本题共30分，每小题3分）
1. 二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵，
∴二次函数图像顶点坐标为.
故答案为A.
本题主要考查二次函数性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
2. 如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4
【正确答案】D

【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB=1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D是边AB的中点，
∴AD：AB＝1：2，
∴＝（）2＝．
故选：D．
此题考查相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
3. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】试题分析：x2－x＝0，
x(x－1)＝0，
x＝0或x－1＝0，
所以x1＝0，x2＝1，
故选C．
点睛：本题主要考查了解一元二次方程，常见的解法有配方法，公式法和因式分解法，恰当的选择方法是解决此题的关键．本题也可采用选项验证的方法．
4. 在△ABC中，∠A=90°，若AB=8，AC=6，则cosC的值为（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

分析】直接利用已知画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：如图所示：∵∠A=90°，AB=8，AC=6，
∴BC==10，
故cosC= == ．
故选D．

此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
5. 下列各点中，抛物线y=x2-4x-4的点是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：A、当x＝0时，y＝－4，∴抛物线y＝x2－4x－4没有点（0，4）；
B、当x＝1时，y＝12－4×1－4＝－7，∴抛物线y＝x2－4x－4点（1，－7）；
C、当x＝－1时，y＝(－1)2－4×(－1)－4＝1，∴抛物线y＝x2－4x－4没有点（－1，－1）；
D、当x＝2时，y＝22－4×2－4＝－8，∴抛物线y＝x2－4x－4没有点（2，8）．
故选B．
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（　　）

A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
【正确答案】B

【详解】∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选：B．
7. 一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（　　）
A. 1cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm
【正确答案】B

【分析】根据扇形的面积公式进行计算．
【详解】解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得＝3π，
解得r＝±3（负值舍去）．
故答案为3．
本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解决此题的关键．
8. 反比例函数y=的图象点（﹣1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（　　）
A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1=y2 D. 没有能确定
【正确答案】A

【详解】试题分析：：∵反比例函数y＝的图象点（－1，y1），（2，y2），
∴y1＝－3，y2＝，
∵－3＜，
∴y1＜y2．
故选A．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．
9. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：设抛物线y＝(x－1)2＋t与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），
则x1＝1－，x2＝1＋，
∴| x1－ x2|＝4，
∴(1＋)－(1－)＝4，
∴t＝－4．
故选D．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，利用求根公式列出关于t的方程是解题的关键．
10. 当温度没有变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（　　）
V（单位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（单位：kPa）
96
64
48
38.4
32

A. P＝96V B. P＝﹣16V+112
C. P＝16V2﹣96V+176 D. P＝
【正确答案】D

【详解】试题解析：观察发现：
故P与V的函数关系式为
故选D.
点睛：观察表格发现 从而确定两个变量之间的关系即可．
二、填 空 题（本题共18分，每小题3分）
11. 已知为锐角，若，则__________．
【正确答案】45

【详解】试题分析：∵∠A为锐角，sin45°＝，
∴∠A＝45°．
点睛：此题考查的是角的三角函数值，熟记角的三角函数值是解决此题的关键．
12. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
【正确答案】（答案没有）

【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案没有）．
本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
13. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA＝3OD，OB＝3OC)，然后张开两脚，使A，B两个分别在线段l的两个端点上，若CD＝3.2 cm，则AB的长为_________ cm.

【正确答案】9.6

【详解】试题分析：∵OA＝3OD，OB＝3CO，
∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴AB＝3CD，
∵CD＝3.2cm，
∴AB＝9.6cm，
故答案为9.6．
点睛：本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(－1，2)，B(－1，0)，A′(－2，4)，则B′的坐标为___________．

【正确答案】（﹣2，0）．

【详解】设B′的坐标为，
∵线段AB与线段A′B′是位似图形，且A（﹣1，2），A′（﹣2，4），
∴位似比k=，
∵点B的坐标是（-1，0），
∴点B′的坐标为（-2，0）.
15. 若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+1的值为______．
【正确答案】1

【分析】根据方程的系数根的判别式即可得出△=m2-4m=0，将其代入2m2-8m+1中即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，
∴△=（-m）2-4m=m2-4m=0，
∴2m2-8m+1=2（m2-4m）+1=1．
故1．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
16. 下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．


画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A没有重合）处，使其一直角边点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边点B，画出另一条直角边所在的直线AD．
所以直线AD就是过点A的圆的切线．
请回答：该画图的依据是______________________________________．
【正确答案】90°的圆周角所对的弦是直径，半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【详解】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．
故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
三、解 答 题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17. 计算：°．
【正确答案】

【分析】分别根据二次根式的性质，角的三角函数值，0指数幂及值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：原式＝，
＝．
本题考查的是二次根式的性质，角的三角函数值，0指数幂及值的性质，熟知以上运算法则是解答此题的关键．
18. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．

【正确答案】证明见解析

【详解】试题分析：先根据垂直的定义得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C．再由∠B＝∠B，根据有两个角相等的两三角形相似即可得出结论．
试题解析：
解：∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C．
∵∠B＝∠B，
∴∽．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
19. 若二次函数y=x2+bx+c的图象点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．
【正确答案】二次函数的表达式为y=x2-4x+1.

【详解】试题分析：把点（0，1）和（1，-2）分别代入二次函数的解析式，利用待定系数法进行求解即可得.
试题解析：∵二次函数y=x2+bx+c的图象（0，1）和（1，-2）两点，
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=x2-4x+1.
20. 已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流没有能超过10A，那么用电器的可变电阻R应在什么范围？请根据图象，直接写出结果 ．

【正确答案】（1）（）；（2）

【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（9，4）代入，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，
由图象可知函数的图象点（9，4），
∴．
∴．
∴反比例函数的表达式为（）．
（2）∵I≤10，I＝，
∴≤10，
∴R≥3.6，
故答案为R≥3.6．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
21. 已知矩形的一边长为x，且相邻两边长的和为10．
（1）求矩形面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求矩形面积S的值．
【正确答案】（1），；（2）当时，有值25

【详解】试题分析：（1）矩形的一边长为x，则另一边长为(10－x)，根据矩形的面积公式即可得出函数关系式；
（2）配方成顶点式即可得出答案．
试题解析：
解：（1）∵矩形的一边长为x，
则另一边长为(10－x)，
则S＝x(10－x)＝－x2＋10x，（0＜x＜10）；
（2）∵S＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25，
∴当x＝5时，S值为25．
点睛：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．

【正确答案】这栋楼的高度BC是米．

【详解】试题分析：在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长．
试题解析：
解：∵°，°，°，AD＝100，

∴在Rt中，，
在Rt中，.
∴．
点睛：本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解答此类问题的关键是明确已知边、已知角和未知边之间的三角函数关系．
23. 在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA=PD，如图1所示，则tan的值为 ；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的没有同），并求此时tan的值．

图1 图2
【正确答案】（1）1（2）

【详解】试题分析：
（1）由全等三角形求出BP＝CP＝3，由三角函数定义即可得出结果；
（2）分两种情况：①AP＝AD＝6；PD＝AD＝6时；由三角函数定义即可得出结果．
试题解析：
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵PA＝PD，
∴△ABP≌△DCP（HL）
∴BP＝CP＝BC＝3，
∴tan∠BAP＝＝＝1．
故答案为1；
（2）分两种情况：
①如图1：

AP＝AD＝6时，BP＝＝＝，
∴tan∠BAP＝＝＝；
②如图2：

PD＝AD＝6时，CP＝＝＝，
∴BP＝BC－CP＝6－，
∴tan∠BAP＝＝＝2－．
点睛：本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
24. 如图，直线与双曲线只有一个公共点．
求k与a的值；
在条件下，如果直线与双曲线有两个公共点，直接写出b的取值范围．

【正确答案】（1）a=2，k=-2（2）或

【详解】试题分析：
（1）把点A坐标分别代入直线与双曲线解析式即可求出k和a的值；
（2）联立两个函数的解析式，整理得出一元二次方程，根据根的判别式即可得出结果．
试题解析：
解：（1）∵直线y＝ax－4与双曲线y＝只有一个公共点A（1，），
∴
∴
（2）若直线y＝2x＋b与双曲线y＝有两个公共点，
则方程组有两个没有同的解，
∴2x＋b＝有两个没有相等的解，
整理得：2x2＋bx＋2＝0，
∴△＝b2－16＞0，
解得：b＜－4或b＞4．
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题，平移的性质，一元二次方程根的判别式；知道反比例函数的图象与直线y＝2x＋b有两个公共点时，△＞0是解决问题（2）的关键．
25. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若∠D=60°，AD=2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．

【正确答案】证明见解析

【分析】（1）根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝∠FAD，再由∠BAD与∠FAD互补，得出∠BAM＝90°，根据切线的判定即可得到结论；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝2，再根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2，利用三角函数解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴．
∴．
∵AM是∠DAF的角平分线，
∴．
∵°，
∴°．
∴OA⊥AM．
∴AM是⊙O的切线．

（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得AC＝AD，∠1＝∠3＝∠CAD；

②由∠D＝60°，AD＝2，可得△ACD为边长为2的等边三角形，∠1＝∠3＝30°；
③由OA＝OC，可得∠4＝∠3＝30°；
④由∠CAN＝∠3＋∠BAN＝30°＋90°＝120°，可得∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2；
⑤在Rt△OAN中，根据三角函数即可求出ON的长．
点睛：本题考查了切线的判定，垂径定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
26. 有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质．
(1)先从简单情况开始探究：
①当函数y=（x﹣1）+x时，y随x增大而　 　（填“增大”或“减小”）；
②当函数y=（x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为　 　；
(2)当函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，
下表为其y与x的几组对应值．
　x
…
﹣
0
1

2

3
4
　
…
　y
…
﹣
﹣3
1

2

3
7

…
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：　 　．

【正确答案】（1）①增大；②（1，1），（2，2）； （2）①图形见解析（3）性质见解析

【详解】试题分析：（1）①整理成函数的一般式，根据函数的性质得出即可；
②求出组成的方程组的解，即可得出答案；
（2）①把各个点用平滑的曲线连接即可；②根据图象和（1）中结论写出一个符合的信息即可．
试题分析 ：
解：（1）①∵y＝(x－1)＋x＝x－，
k＝＞0，
∴y随x增大而增大，
故答案为增大；
②解方程组
得：，，
所以两函数的交点坐标为（1，1），（2，2），
故答案为（1，1），（2，2）；
（2）①如图：


②该函数的性质：
a、y随x的增大而增大；
b、函数的图象、三、四象限；
c、函数的图象与x轴y轴各有一个交点；
d、函数图象与直线y＝x的交点坐标为（1，1）（2，2）（3，3）．
27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．
①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；
②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点，函数的图象，求m的取值范围．

【正确答案】（1）（2，5）．（2）A'（4，5），O'（2，0）；（3）﹣＜m＜0．

分析】(1)将抛物线解析式配成顶点式,即可得出顶点坐标; 
(2)先由（1）求出点A的坐标，根据平移的性质即可得出结论; 
(3)图象,判断出抛物线和四边形AOOˊAˊ只有两个公共点的分界点即可得出;
【详解】解：（1）∵y=mx2﹣4mx+4m+5=m（x2﹣4x+4）+5=m（x﹣2）2+5，∴
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，5）．
（2）由（1）知，A（2，5），
∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．
∴A'（4，5），O'（2，0）；
（3）如图，

∵抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，
∴m＜0．
由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO'A'的边O'A'相交，
∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点，
∴将（0，0）代入y=mx2﹣4mx+4m+5中，得m=﹣．
∴﹣＜m＜0．
本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，二次函数的图像与性质，平移的性质及数形的数学思想，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.
28. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为　 　度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为　 　；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为　 　．

【正确答案】（1）150，（2）证明见解析（3）

【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC＝90°，根据勾股定理解答即可；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′＝PA，根据勾股定理解答即可；
（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．
试题解析：
【详解】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
∵∠PAC＋∠PCA＝×60° ＝30°，
∴∠APC＝150°，
∴∠P′PC＝90°，
∴PP′2＋PC2＝P′C2，
∴PA2＋PC2＝PB2，
故答案为150，PA2＋PC2＝PB2；
（2）如图，作°，使，连接，．过点A作AD⊥于D点．
∵°，
即，
∴．
∵AB＝AC，，
∴.

∴，°．
∵AD⊥，
∴°.
∴在Rt中，.
∴．
∵°，
∴°.
∴°．
∴在Rt中，.
∴；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，
∴∠APP′＝90°－，
∵∠PAC＋∠PCA＝，
∴∠APC＝180°－，
∴∠P′PC＝（180°－）－（90°－）＝90°，
∴PP′2＋PC2＝P′C2，
∵∠APP′＝90°－，
∴PD＝PA•cos（90°－）＝PA•sin，
∴PP′＝2PA•sin，
∴4PA2sin2＋PC2＝PB2，
故答案为4PA2sin2＋PC2＝PB2．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵活运用类比思想是解题的关键．
29. 定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB，△PBC，△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P没有与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）点A坐标为(，)， AB⊥x轴于B点，在E(2，1)，F (，)，G (，)，这三个点中，其中是△AOB的自相似点的是 （填字母）；
（2）若点M是曲线C：上的一个动点，N为x轴正半轴上一个动点；
图2
① 如图2，，M点横坐标为3，且NM = NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；
②若，点N为(2，0)，且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

【正确答案】（1）F，G（2）①或②4

【详解】试题分析：（1）如图，连接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．只要证明△OBG∽△OAB，可得点G是自相似点，△FOB∽△BAO，可得点F是自相似点．
（2）①如图1，过点M作MH⊥x轴于H点．将M的横坐标代入反比例函数解析式求出点M的坐标和OM的长，进而求出直线OM的解析式．在Rt△MHN中，根据勾股定理求出ON＝MN＝m＝2．如图2，∽，过点作⊥x轴于Q点，由相似的性质得出，．得出P1的横坐标为1，代入OM解析式求出即可求出P1的坐标；如图3，，根据相似三角形的性质求出P2N的长，进而可得P2的坐标．
②以O为圆心2为半径作圆交反比例函数于M1，M2，以N为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于M3，M4．满足条件的点M有4个．
试题解析：
解：（1）如图中，连接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．

由题意可知点G在OA上，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∵tan∠GBM＝＝＝，
∴∠OBG＝30°，
∴∠BOG＝∠AOB，∠OBG＝∠A，
∴△OBG∽△OAB，
∴点G是自相似点，
同理可得∠FON＝∠A＝30°，∠FBO＝∠AOB＝60°，
∴△FOB∽△BAO，
∴点F是自相似点，
故答案为F，G；
（2）①如图1，过点M作MH⊥x轴于H点．

∵M点的横坐标为3，
∴.
∴.
∴，直线OM的表达式为．
∵MH⊥x轴，
∴在Rt△MHN中，°，．
设NM＝NO＝m，则
∴.
∴ON＝MN＝m＝2．
如图2， ∽，过点作⊥x轴于Q点，

∴，．
∵的横坐标为1，
∴.
∴．
如图3，，

∴.
∴．
∵的纵坐标为，
∴.
∴.
∴．
综上所述，或．
②以O为圆心2为半径作圆交反比例函数于M1，M2，以N为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于M3，M4．满足条件的点M有4个．

故答案为4．
点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、函数的应用、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．





















2022-2023学年山东省济南市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷二）
一、选一选：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
1. ﹣3的值是（　　）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4. 如图是一个由3个相同的正方体组成的立体图形,则它的主视图为（ ）

A. B. C. D.
5. 下列四个实数中，是无理数的为（　　）
A. B. C. －5 D.
6. 某商场对上周女装的情况进行了统计，情况如表：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色，可用来解释这一现象的统计知识是（　　）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
7. 如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是（ ）

A. 40° B. 60° C. 80° D. 120°
8. 如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A2017的坐标是（　　）

A. （0，21008） B. （21008，21008） C. （21009，0） D. （21009，－21009）
二、填 空 题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9 分解因式：=______．
10. 函数的自变量x的取值范围是______．
11. 据媒体报道，我国因环境污染造成的经济损失每年高达680000000元，数据680000000用科学记数法表示是______．
12. 若，则代数式的值为_____.
13. 如图，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A＝122°，则∠BCE＝____°．

14. 若反比例函数的图象点P（－1，4），则它的函数关系式是______．
15. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是______．

16. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 _____．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为________．

18. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，CD绕点D顺时针旋转90°至DE，CE交AB于点G．已知AD＝8，BG＝6，点F是AE的中点，连接DF，求线段DF的长＿．

三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．）
19. （1）计算：；（2）解没有等式：3(x－1)＞2x＋2．
20. 先化简，再求值：，其中.
21. 在一个没有透明的口袋中有3个分别标有数字－1、1、2的小球，它们除标的数字没有同外无其他区别．
（1）随机地从口袋中取出一小球，求取出的小球上标的数字为负数的概率；
（2）随机地从口袋中取出一小球，放回后再取出第二个小球，求两次取出的数字的和等于0的概率．
22. 实验初中组织了“英语手抄报”征集，现从中随机抽取部分作品，按A、B、C、D四个等级进行评价，并根据统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图．

（1）抽取了＿份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有＿份，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到600份作品，请估计等级为A的作品约有多少份？
23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，没有写作法）
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
（2）在（1）所作图形中，解答下列问题．
①点B与⊙O的位置关系是＿；（直接写出答案）
②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．
24. 如图，从A地到B地的公路需要C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°．因城市的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问：公路改造后比原来缩短了多少千米？
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

25. 大润发超市在某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的利润，超市应将这种商品的售价定为多少？
（2）设每件商品的售价为x元，超市所获利润为y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②物价局规定该商品的售价没有能超过40元/件，超市为了获得的利润，应将该商品售价定为多少？利润是多少？
26. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长．

27. （1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则：
①∠BEC＝＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．

28. 已知：如图1，直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD＝2S△PAD ，求点P的坐标；
（3）如图2，另有一条直线y＝－x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN＝∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q的坐标．










2022-2023学年山东省济南市九年级上册数学期末专项提升模拟题（卷二）
一、选一选：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
1. ﹣3的值是（　　）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
【正确答案】B

【分析】根据负数的值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据值的性质得：|-3|=3．
故选B．
本题考查值的性质，需要掌握非负数的值是它本身，负数的值是它的相反数．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算即可．
【详解】A. 没有能合并，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确；
故答案为D.
本题考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式.
4. 如图是一个由3个相同的正方体组成的立体图形,则它的主视图为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】
【详解】解：从正面看列有2个正方形，第二列右下方有1个正方形．
故选A．
5. 下列四个实数中，是无理数的为（　　）
A. B. C. －5 D.
【正确答案】B

分析】

【详解】A,C,D是有理数，B是无理数，
故选B
无限没有循环小数叫无理数.无理数通常有以下三种形式，①开方开没有尽的数；②圆周率π；③构造的无限没有循环小数.
6. 某商场对上周女装的情况进行了统计，情况如表：
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（　　）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【正确答案】C

【详解】解：经理关心的是哪些服装的多，哪些服装的少，所以可用来解释这一现象的统计知识是众数.
故选：C.
7. 如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是（ ）

A. 40° B. 60° C. 80° D. 120°
【正确答案】A

【分析】两直线平行,内错角相等
【详解】∵a∥b，
∴∠1=∠2+∠3，
∵∠1=120°，∠2=80°，
∴∠3=120°﹣80°=40°，
故选：A.
考点：平行线的性质.
8. 如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A2017的坐标是（　　）

A. （0，21008） B. （21008，21008） C. （21009，0） D. （21009，－21009）
【正确答案】B

【分析】根据正方形性质和平面直角坐标系特点，观察点的坐标规律即可解答．
【详解】解：观察,发现：A(0,1)、A1(1,1),A2(2,0),A3(2,−2),A4(0,−4),A5(−4,−4),A6(−8,0),A7(−8,8),A8(0,16),A9(16,16)…，
∴A8n+1(24n，24n)(n为自然数)；
∵2017=252×8+1，
∴A2017(2252×4,2252×4)，即点A2017的坐标是(21008,21008)．
故选B．
本题考查了正方形性质和平面直角坐标系特点，属于规律型题目，熟练掌握正方形的性质、找准规律是解题的关键．
二、填 空 题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9. 分解因式：=______．
【正确答案】x（x+2）（x﹣2）．

【详解】解：==x（x+2）（x﹣2）．
故答案为x（x+2）（x﹣2）．
10. 函数的自变量x的取值范围是______．
【正确答案】x≤3

【详解】由题意可得，3-x≥0，
解得x≤3．
故x≤3．
11. 据媒体报道，我国因环境污染造成的经济损失每年高达680000000元，数据680000000用科学记数法表示是______．
【正确答案】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于10时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
【详解】解：680 000 000=6.8×108元．
故．
本题考查了科学记数法的表示，准确确定a×10n中a与n的值是解题的关键．
12. 若，则代数式的值为_____.
【正确答案】18

【分析】观察发现4m-2n2是2m-n2的2倍，进而可得4m-2n2=8，然后再求代数式10+4m-2n2的值．
【详解】∵，
∴=8，
∴=18，
故答案为18.
本题考查代数式求值.
13. 如图，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A＝122°，则∠BCE＝____°．

【正确答案】32

【详解】 ∵AD∥BC, ∴∠B=180-∠A=180°-122°=58°.
∴∠BCE=90°-58°=32°.
14. 若反比例函数的图象点P（－1，4），则它的函数关系式是______．
【正确答案】

【详解】设函数解析式为y="k/x" ，
将P（-1，4）代入解析式得，k=-4，
故函数解析式为y="-4/x" ．
15. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是______．

【正确答案】14

【详解】∵D,E,F分别为BC、AC、AB中点,
∴EF=BD=8÷2=4，DE=BF=6÷2=3.
∴四边形BDEF的周长是4+4+3+3=14.
16. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 _____．
【正确答案】4

【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，
∴圆锥的高==4．
故4
17. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为________．

【正确答案】

【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标．
【详解】作AC⊥x轴于C，

∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（-1，0），
∴AC=2，BC=3+1=4，
把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=2，
∴点A′的坐标为（1，-4）．
故答案为（1，-4）．
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要旋转的角度和图形的性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转．
18. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，CD绕点D顺时针旋转90°至DE，CE交AB于点G．已知AD＝8，BG＝6，点F是AE的中点，连接DF，求线段DF的长＿．

【正确答案】

【详解】如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG．

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵DC=DE，∠CDE=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCG=45°，
∵∠ACD=∠BCP，
∴∠GCP=∠GCD=45°，
在△GCD和△GCP中，
，
∴△GCD≌△GCP，
∴DG=PG，
∵∠PBG=∠PBC+∠CBG=90°，BG=6，PB=AD=8，
，
∴AB=AD+DG+BG=24，CM=AM=MB=12，DM=AM﹣AD=4，
∵∠DCM+∠CDM=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠DCM=∠EDN，
在△CDM和△DEN中，，
∴△CDM≌△DEN，
∴DM=NE=HN=4，CM=DN=AM，
∴AD=NM，DH=AD，
∵AF=FE，
．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．）
19. （1）计算：；（2）解没有等式：3(x－1)＞2x＋2．
【正确答案】（1）0；（2）x＞5

【详解】（1）
=1-2+1=0
（2）3(x－1)＞2x＋2
3x-3>2x+2
3x-2x>2+3
x>5
20. 先化简，再求值：，其中.
【正确答案】原式＝，当x＝4时，原式＝4

【详解】原式＝；
当x＝4时，原式＝4
21. 在一个没有透明的口袋中有3个分别标有数字－1、1、2的小球，它们除标的数字没有同外无其他区别．
（1）随机地从口袋中取出一小球，求取出的小球上标的数字为负数的概率；
（2）随机地从口袋中取出一小球，放回后再取出第二个小球，求两次取出的数字的和等于0的概率．
【正确答案】（1）P（取出负数）＝；（2）P（和等于0）＝

【分析】（1）由题可知三个数中有一个负数，进而可求出其概率；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是没有放回实验，此题属于放回实验．
【详解】解：（1）P（取出负数）= ；
（2）方法一：画出树状图如下：
由树状图可知，共有9种机会均等的情况，其中和等于0的情况有2种，
方法二：列表如下

由列表可知，共有9种机会均等的情况，其中和等于0的情况有2种，．

考点：列表法与树状图法．
22. 实验初中组织了“英语手抄报”征集，现从中随机抽取部分作品，按A、B、C、D四个等级进行评价，并根据统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图．

（1）抽取了＿份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有＿份，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到600份作品，请估计等级为A作品约有多少份？
【正确答案】（1）120 ；（2）48，画图见解析；（3）等级为A的作品约有180份．

【详解】试题分析：（1）用C等级份数除以C等级所占的百分比，可得抽取的数量；
（2）用（1）中所求总份数减去A、C、D三等级数量即可得到B等级作品数，并补全统计图；
（3）利用样本估计总体，将样本中A等级所占比例乘以600，可估计A等级数量．
解：（1）根据题意，共抽取作品30÷25%=120（份）；
（2）B等级作品数为：120﹣36﹣30﹣6=48（份），
补全条形统计图如图所示：

（3）600×=180，
答：若该校共征集到600份作品，估计等级为A的作品约有180份．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，没有写作法）
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
（2）在（1）所作的图形中，解答下列问题．
①点B与⊙O的位置关系是＿；（直接写出答案）
②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）（2）①点B在⊙O上；②⊙O的半径为5．

【详解】试题分析：（1）分别以A、C为圆心，以大于线段AC一半的长度在线段AC上下两侧画弧．连接交点级为线段AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D．
（2）比较OB和OA的长，如果OA=OB则点B 在圆上，利用垂直平分线的性质，及角与角之间的等量代换，可证明OA=OB．利用勾股定理，放在∆AOD中求半径．
试题解析：解：（1）如图所示；

（2）①连结OC，如图，
∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴点B在⊙O上；
故答案为点B在⊙O上
②∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，
∴AD=AC=4，
设⊙O的半径为r，
则OA=OE=r，OD=OE﹣DE=r﹣2，
Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，
即r2=42+（r﹣2）2，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5．

24. 如图，从A地到B地的公路需要C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°．因城市的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问：公路改造后比原来缩短了多少千米？
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

【正确答案】（1）AB= 14.7（千米）（2）改直后的路程缩短了2.3千米

【详解】试题分析：(1)、作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；(2)、在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．
试题解析：(1)、作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米），
AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）． 故改直的公路AB的长14.7千米；
(2)、在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），
则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）． 答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．

考点：解直角三角形的应用．

25. 大润发超市在某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的利润，超市应将这种商品的售价定为多少？
（2）设每件商品的售价为x元，超市所获利润为y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②物价局规定该商品的售价没有能超过40元/件，超市为了获得的利润，应将该商品售价定为多少？利润是多少？
【正确答案】（1）售价应定为40元或60元；
（2）①y＝－2x2＋200x－3200；②售价为40元/件时，此时利润，利润为1600元.

【详解】（1）设商品的定价为x元，由题意，得
（x－20）[100－2（x－30）]＝1600，
解得：x＝40或x＝60；
答：售价应定为40元或60元
（2）①y＝（x－20）[100－2（x－30）]（x≤40），
即y＝－2x2＋200x－3200
②∵a＝－2＜0,
∴当x＝＝50时，y取值；
又x≤40，则在x＝40时，y取值，即y值＝1600，
答：售价40元/件时，此时利润，利润为1600元
26. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）BE的长是

【分析】（1）连接OC，根据条件先证明OC∥AD，然后证出OC⊥CD即可；

（2）先利用勾股定理求出AE的长，再根据条件证明△ECO∽△EDA，然后利用对应边成比例求出OC的长，再根据BE=AE﹣2OC计算即可．
【详解】（1）连接OC，

∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==15，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴
∴
解得：OC=，
∴BE=AE﹣2OC=15﹣2×=，
答：BE长是．
27. （1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则：
①∠BEC＝＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．

【正确答案】（1）①120°，②AD＝BE；（2）AB=17；（3）BD的长为13.

【详解】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
故120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE；
故AD＝BE．
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∴AB＝＝＝17；
（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：
则△BEC≌△APC，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，
∵∠APD＝30°，
∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，
又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，
在Rt△BDE中，，
即BD的长为13．
．
28. 已知：如图1，直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD＝2S△PAD ，求点P的坐标；
（3）如图2，另有一条直线y＝－x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN＝∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q的坐标．

【正确答案】（1）A（－8，0），C（0，6），；
（2）点P的坐标为（，0）
（3）点Q的坐标为（，0）或（，0）．

【详解】（1）A（－8，0），C（0，6）


（2）点P的坐标为（，0）


（3）点Q的坐标为（，0）或（，0）