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2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（AB卷）含解析，共54页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
试卷分值：150分 考试
一、选一选（本大题共8小题．每小题3分，共24分．）
1. 一元二次方程（x﹣2）2＝9两个根分别是（ ）
A. x1＝1，x2＝﹣5 B. x1＝﹣1，x2＝﹣5
C. x1＝1，x2＝5 D. x1＝﹣1，x2＝5
2. 用配方法解一元二次方程x2 - 6x + 5 = 0，其中配方正确的是（ ）
A. （x - 3）2 = 5 B. （x – 3）2 = -4
C. （x - 3）2 = 4 D. （x - 3）2 = 9
3. 二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 没有能确定
4. 某市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（ ）
A. 150，150 B. 150，155 C. 155，150 D. 150，152.5
5. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
6. 如图，两圆圆心相同，大圆弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 8π B. 4π C. 64π D. 16π
7. 对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当时，max{a，b}=a；当时，max{a，b}=b；如：max{4，}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，}，则该函数的最小值是（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
二、填 空 题（本大题共8小题．每小题3分，共30分．）
9. 若（a –b） ：b=3 ：2 ，则a ：b= __________．
10. 数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是_____．
11. 写有“2π”、“cos60°”、“”、“”四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片上的数为无理数的概率是___________．
12. 若抛物线的顶点为（－2，3），且点（－1，5），则其表达式为___________．
13. 已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是______．
14. 已知是关于的方程的一个根，则__________．
15. 若y=mx2+2x+1的图象与坐标轴共有两个公共点，则常数m的值是___．
16. 如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为______．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
18. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象点（－2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，－2）的上方，下列结论：
①b＞0；②2a＜b；③2a－b－1＜0；④2a＋c＜0．其中正确结论是 _________（填正确序号）
三、解 答 题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）
19. 解方程：（x+3）（x﹣1）=12．
20. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
21. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
22. 某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2014年度人物”先进事迹知晓情况专题，采取随机抽样的方式进行问卷，问卷的结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“没有太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
类别
A
B
C
D
频数
30
40
24
b
频率
a
0.4
024
0.06
（1）表中的a=________，b=________；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生1000名，根据结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？
23. A．B、C三把外观一样的电子钥匙对应打开a、b、c三把电子锁．
（1）任意取出一把钥匙，恰好可以打开a锁的概率是 ；
（2）求随机取出A、B、C三把钥匙，性对应打开a、b、c三把电子锁的概率．
24. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
25. 2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，量为180个，若售价每提高1元，量就会减少10个，请解答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠形风筝量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润，利润是多少？
26. 已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P、点Q的运动时间为t（s）．
（1）当t＝1 s时，求点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t（s）的值；
（3）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P（，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的值；
（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t<2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值.
2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
试卷分值：150分 考试
一、选一选（本大题共8小题．每小题3分，共24分．）
1. 一元二次方程（x﹣2）2＝9的两个根分别是（ ）
A. x1＝1，x2＝﹣5 B. x1＝﹣1，x2＝﹣5
C. x1＝1，x2＝5 D. x1＝﹣1，x2＝5
【正确答案】D
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
【详解】（x﹣2）2＝9，
两边直接开平方得：x﹣2＝±3，
则x﹣2＝3，x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝5．
故选D．
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
2. 用配方法解一元二次方程x2 - 6x + 5 = 0，其中配方正确的是（ ）
A. （x - 3）2 = 5 B. （x – 3）2 = -4
C. （x - 3）2 = 4 D. （x - 3）2 = 9
【正确答案】C
【详解】解：
故选C.
3. 二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】试解：
二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴没有交点.
故选A.
4. 某市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（ ）
A. 150，150 B. 150，155 C. 155，150 D. 150，152.5
【正确答案】B
【详解】试题解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：150，150，150，155，155，160，165，
则众数为：150，
中位数为：155．
故选B.
点睛：根据众数和中位数的概念求解．
5. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 8π B. 4π C. 64π D. 16π
【正确答案】D
【详解】试题解析：如图，
设AB与小圆切于点C，连结OC，OB.
∵AB与小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∵阴影的面积
又∵直角△OBC中,
∴阴影的面积
故选D.
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
7. 对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当时，max{a，b}=a；当时，max{a，b}=b；如：max{4，}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，}，则该函数的最小值是（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】试题分析：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，ymin=2，
当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴ymin=2，
考点：分段函数
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm）．
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠DBE=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°．∴BE=BD=（cm）．
当A→B时，t=4﹣0.5=3.5；当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠EDB=90°时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°．∴BE=2BD=2（cm）．
当A→B时，∴t=4﹣2=2；当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．
二、填 空 题（本大题共8小题．每小题3分，共30分．）
9. 若（a –b） ：b=3 ：2 ，则a ：b= __________．
【正确答案】5：2
【详解】试题解析：
故答案为5：2.
10. 数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是_____．
【正确答案】2
【分析】根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差的计算方法可以求得这组数据的方差．
【详解】由题意可得，
这组数据的平均数是：x= =0，
∴这组数据的方差是： ，
故答案为2.
此题考查方差，解题关键在于掌握运算法则
11. 写有“2π”、“cos60°”、“”、“”的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片上的数为无理数的概率是___________．
【正确答案】
【详解】试题解析：这四张卡片中，是无理数,
从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数为无理数的概率是
故答案为
12. 若抛物线的顶点为（－2，3），且点（－1，5），则其表达式为___________．
【正确答案】y＝2x2＋8x＋11
【详解】试题解析：设抛物线的解析式为：
把点代入函数解析式，
解得：
函数表达式为：
故答案为
点睛：二次函数常用的形式有：一般式，顶点式，交点式.
13. 已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是______．
【正确答案】3π．
【详解】∵圆锥的底面圆半径是1，∴圆锥的底面圆的周长=2π，则圆锥的侧面积=×2π×3=3π，
故答案为3π．
14. 已知是关于的方程的一个根，则__________．
【正确答案】-1
【详解】试题解析：把代入，
得，
解得：
故答案为
15. 若y=mx2+2x+1的图象与坐标轴共有两个公共点，则常数m的值是___．
【正确答案】0 ，1
【详解】试题解析：当m=0，y=2x+1是函数，此图象与坐标轴有两个交点，
当m≠0,若函数的图象与坐标轴共有两个公共点，则与x轴必然一个交点，
故
解得：m=1.
故m的值为：0或1.
故答案为0或1.
16. 如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为______．
【正确答案】．
【详解】解：连接AB，AC，
∵BC为OA的垂直平分线，
∴OB=AB，OC=AC，
∴OB=AB=OA，OC=OA=AC，
∴△OAB和△AOC都是等边三角形，
∴∠BOA=∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
设圆锥的底面半径为r，则2πr=，解得：r=1，
这个圆锥的高为=，
故答案为．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【正确答案】.
【详解】试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
考点：勾股定理；点和圆位置关系.
18. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象点（－2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，－2）的上方，下列结论：
①b＞0；②2a＜b；③2a－b－1＜0；④2a＋c＜0．其中正确结论是 _________（填正确序号）
【正确答案】①③④
【详解】试题解析：根据题意可知①抛物线的开口向上，则
对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则故①正确；
②∵抛物线交x轴与点(−2,0)
∴4a−2b+c=0，得
，而−2
③2a−b−1<0，故③正确；
④∵把(−2,0)代入得：4a−2b+c=0，
∴即2b=4a+c>0(因为b>0)，
∵当x=1时，a+b+c<0，
∴2a+2b+2c<0，
∴6a+3c<0，
即2a+c<0，∴④正确；
故答案为①③④
三、解 答 题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）
19. 解方程：（x+3）（x﹣1）=12．
【正确答案】x1=﹣5，x2=3．
【详解】试题分析：根据解一元二次方程的方法解方程即可.
试题解析：方程整理得：
或
点睛：解一元二次方程的方法：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.
观察题目选择合适的方法是解题的关键.
20. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
【正确答案】8.4 cm或12 cm或2 cm．
【详解】试题分析：由题意得出根据相似三角形的判定得出
当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，代入求出即可．
试题解析：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB=6，CD=4，BD=14，
或
解得：BP=2或12或
即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等.
21. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【正确答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3，
解得：m=2，
∴y=+2x+3=，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
22. 某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2014年度人物”先进事迹知晓情况专题，采取随机抽样的方式进行问卷，问卷的结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“没有太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
类别
A
B
C
D
频数
30
40
24
b
频率
a
0.4
0.24
0.06
（1）表中的a=________，b=________；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生1000名，根据结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？
【正确答案】（1）0.3、6;（2）144°;（3）240人.
【分析】根据频数和频律、扇形图和总数之间的关系直接列式计算.
【详解】（1）解：问卷的总人数为：40÷0.4=100（名）
a=30÷100=0.3，B=100×0.06=6
故答案为0.3、6；
（2）解：类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数为：360°×0.4=144°
故答案为144°
（3）解：1000×0.24=240
答：该校学生中类别为C的人数约为240人
本题考查了频数表和扇形图的相关知识，掌握频数图标和总数的相关关系是解决此题的关键.
23. A．B、C三把外观一样的电子钥匙对应打开a、b、c三把电子锁．
（1）任意取出一把钥匙，恰好可以打开a锁的概率是 ；
（2）求随机取出A、B、C三把钥匙，性对应打开a、b、c三把电子锁的概率．
【正确答案】（1） ；（2）.
详解】试题分析：（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意列表后利用概率公式求概率即可．
试题解析：(1)∵3把钥匙中有1把打开a锁，
∴任意取出一把钥匙,恰好可以打开a锁的概率是
故答案为
(2)由题意可列表如下：
aA
bB
cC
aA
bC
cB
bA
aB
cC
bA
aC
cB
cA
aB
bC
cA
aC
bB
由上表可知共有六种方法,故刚好A能开a锁,B能开b锁,C能开c锁的概率为：
24. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，
由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
25. 2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，量为180个，若售价每提高1元，量就会减少10个，请解答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠形风筝量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润，利润是多少？
【正确答案】（1）y=－10x＋300（12≤x≤30）；
（2） 王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元；
（3） 当售价定为20元时，王大伯获得利润，利润是1000元．
【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，量为y个，根据“当售价每个为12元时，量为180个，若售价每提高1元，量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，量为y个，根据题意可知：
y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则
W=（x﹣10）y=，
当W=840，则=840，
解得：=16，=24．
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=20时，W取值，值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润，利润是1000元．
本题考查二次函数应用、一元二次方程的应用及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
26. 已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P、点Q的运动时间为t（s）．
（1）当t＝1 s时，求点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t（s）的值；
（3）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
【正确答案】（1）；（2）t＝3；（3）．
【详解】试题分析：（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t可表示出BP和AQ的长，由可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当点Q在线段OA上时，；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC-S△COQ-S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用可用t表示出AM，从而可表示出BM，，可求得答案．
试题解析：（1）依题意得，A（4 ，0），B（4，3）．
当t＝1 s时，CP＝2，
设O、P、A三点抛物线的解析式为y＝ax（x－4），将P（2，3）代入解析式中，则有
2×（2－4）a＝3，
【一题多解】依题意得，A（4，0），B（4，3）．
当t＝1 s时，CP＝2，∴P（2，3）．
设O、P、A三点抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将O，P，A三点代入得
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）如解图①，设线段PQ与线段BA相交于点M，依题意有：CP＝2t，OQ＝t，
∴BP＝2t－4，AQ＝4－t．
∵CB∥OA，
∴△BMP∽△AMQ，
∴BP＝2AQ，即2t－4＝2（4－t），∴t＝3；
（3） 当0≤t≤2时，如解图②，
当2＜t≤4，如解图③，设线段AB与线段PQ相交于点D，过点Q作QN⊥CP于点N，则△BDP∽△NQP，
又∵NQ＝CO＝3，BP＝CP－CB＝2t－4，且NP＝CP－CN＝CP－OQ＝2t－t＝t，
∴S＝S四边形CQDB＝S△CQP－S△BDP，
③图④
当t＞4时，如解图④，设线段AB与线段CQ相交于点M，过点Q作QN⊥CP于点N，则△CBM∽△CNQ，
又∵CB＝OA＝4，CN＝OQ＝t，NQ＝3，
∴S=.
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P（，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的值；
（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t<2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值.
【正确答案】（1）y=x+2；
（2）当m=时，点Q到直线AB的距离的，距离为；
（3）t=1或t=0或t=1-或t=3-.
【详解】试题分析：（1）根据题意求出直线AB与坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求解；（2）过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D,设Q（m，m2），则C（m,m+2）,用m表示出QC的长，再根据QC与QD的关系，构造QD与m的二次函数模型，利用二次函数的的性质即可求得点Q到直线AB的距离的值；（3）由题意可知∠APT=45°，△PBQ中必有一个内角等于45°，由图知∠BPQ=45°没有合题意.分两种情况，①若∠PBQ=45°，可得BQ∥x轴，可证得△BPQ为等腰直角三角形，若△PAT与△BPQ相似，则△PAT也是等腰直角三角形，在分∠PAT为直角或∠PAT为直角两种情况求t值；②若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；现以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q1都在⊙F上，设⊙F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q2，根据圆周角定理可得∠PQ2B=∠PQ1B=45°，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，也分两种情况（i）△Q2PB∽△PAT，（ii）△Q2BP∽△PAT，根据三角形相似，利用相似的性质求t值.
试题解析：解：（1）设直线AB与x轴的交点为M，∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即点M的坐标为（-2,0）.
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,将M（-2,0）和P（，2）两点坐标代入，
得，解得，故直线AB的函数解析式为y=x+2.
过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D,
根据条件可知△QDC为等腰直角三角形.
所以QD=,
设Q（m，m2），则C（m,m+2）,
∴QC=m+2-m2=
QD==.
故当m=时，点Q到直线AB的距离的，距离为.
∵∠APT=45°,∴△PBQ中必有一个内角等于45°，由图知∠BPQ=45°没有合题意.
①若∠PBQ=45°，过点B作x的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q、F，此时满足∠PBQ1=45°.
∵Q1（-2，4）、F（0，4），∴此时△BPQ1为等腰直角三角形，由题意可知△PAT也为等腰直角三角形.
（i）当∠PAT直角时，得PT=AT=1，此时t=1；
（ii）当∠PAT为直角时，得PT=2，此时t=0.
②若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；
现以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q1都在⊙F上，设⊙F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q2，
∵∠PQ2B=∠PQ1B所对的弧相同，
∴∠PQ2B=∠PQ1B=45°.
即这里的交点Q2也符合要求.
设Q2（n，n2）（-2
而-2
所以∠PBQ2=∠PFQ2=30°，则△PQ2B中，∠PQ2B=45°，∠PBQ2=30°.
（i）若△Q2PB∽△PAT，则过点A作y轴垂线，垂足为E.
则ET=AE=,OE=1，∴OT=-1,解得t=1-.
（ii）若△Q2BP∽△PAT，则过点T作直线AB的垂线，垂足为G.
设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=
∴a+a=，解得PT=a=-1
∴OT=OP-PT=3-,∴t=3-.
综上所述，所求t的值为t=1或t=0或t=1-或t=3-.
考点：二次函数、函数、圆、三角形相似综合题.
2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 一元二次方程4x2﹣1=0的解是（ ）
A. x1=1，x2=﹣1 B. x1=2，x2=﹣2 C. D.
2. 在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （1，3） B. （1，﹣3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3）
3. 若与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16
4. 给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 同圆中直径是最长的弦
C. 圆周角是圆心角的一半 D. 长度相等的弧是等弧
5. 某专卖店专营某品牌的运动鞋，店主对上一周中没有同尺码的运动鞋情况统计如下：
尺码
37
38
39
40
41
平均每天数量（双）
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加一些39码的运动鞋，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
6. 绿苑小区在设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ ）．
A B.
C. D.
7. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A. 100° B. 72° C. 64° D. 36°
8. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）
A. CE=DE B. CE=DE C. CE=3DE D. CE=2DE
9. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A，B分别是x轴和y轴上的点，且∠BAO=30°，以点A为圆心，BO长为半径画弧交AO于点C，分别以A，C为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则∠DAC的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，点A是直线y=x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
二、填 空 题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则________°．
12. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，则k的取值范围是_____．
13. 数据3，3，6，5，3的方差是_____．
14. 如图，是由大小完全相同的扇形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个扇形分别涂上其中的一种颜色，则最上方的扇形涂红色的概率是_____．
15. 已知圆锥底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为_____．
16. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）
17. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2acm2，则正八边形的面积_____cm2 （用a的代数式表示）．
18. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c； ④4a﹣2b+c＞0，其中正确有_____（填序号）．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°．
20. 解方程：
（1）x2﹣6x﹣1=0；
（2）x（x﹣3）=10．
21. 为传播数学文化，展现数学的内涵和魅力，提高学生的数学兴趣和素养，江苏教育出版社《时代学习报》与江苏省教育学会中学数学教学专业委员会共同举办初中数学文化节、初三数学应用与创新邀请赛，分别设有一、二、三等奖和纪念奖．某校参加此项比赛，获奖情况已绘制成如图所示的两幅没有完整的统计图，根据图中所示信息解答下列问题：
（1）该校一共有 名学生获奖；
（2）这次数学竞赛获二等奖人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整．
22. 已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，DBC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．
23. 甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字﹣7、﹣1、3和﹣2、1、6，这些卡片除数字外都相同．把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在第二象限的概率．
24. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
25. 某商店经销一种小家电，每个小家电成本为20元，市场发现，该种小家电每天的量y（个）与单价x（元）的函数图象如图．设这种小家电每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果物价部门规定这种小家电的单价没有高于32元，该商店这种小家电每天要获得400元的利润，单价应定为多少元？
26. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长．
27. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，动点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，并在达到点B后，立即以同样的速度返回向点C运动；同时动点M从点B出发，沿折线B﹣A﹣C以1cm/s的速度向点C运动，当点N回到点C时，两个动点同时停止运动．⊙M是以M为圆心，1cm为半径的圆，设运动时间为t（s） （t＞0）
（1）ta= ；
（2）当点M在线段AB上运动，且⊙M与BC相切时，求t的值；
（3）当t为何值时，⊙M与折线B﹣A﹣C的两个交点在等腰三角形ABC对称轴的同侧，且交点和点N的直线与⊙M相切？
28. 已知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若没有存在，请说明理由；
（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和，求点H的坐标及面积．
2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 一元二次方程4x2﹣1=0的解是（ ）
A. x1=1，x2=﹣1 B. x1=2，x2=﹣2 C. D.
【正确答案】D
【详解】4x2﹣1=0，
4x2=1，
x2=，
x=，
所以，，
故选D.
2. 在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （1，3） B. （1，﹣3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3）
【正确答案】A
【详解】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
由y=2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3），
故选A．
3. 若与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16
【正确答案】C
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵与的相似比为1：4，∴与的周长比为：1：4.
故选：C.
本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
4. 给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 同圆中直径是最长的弦
C. 圆周角是圆心角的一半 D. 长度相等的弧是等弧
【正确答案】B
【详解】A、没有在同一直线上三点确定一个圆，故错误；
B、同圆中，直径是最长的弦，正确；
C、同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，故错误；
D、在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，没有但长度相等，弯曲程度也要相同，故错误，
故选B．
本题考查了确定圆的条件、圆周角定理等知识，难度没有大，熟记有关性质及定理是解答本类题目的关键．
5. 某专卖店专营某品牌的运动鞋，店主对上一周中没有同尺码的运动鞋情况统计如下：
尺码
37
38
39
40
41
平均每天数量（双）
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加一些39码的运动鞋，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
【正确答案】C
【详解】作为店主，关心的是哪个尺码的运动鞋销量大，即众数，
一组数据中出现次数至多的数据叫做众数，
尺码为39的销量是大，即众数为39，
所以影响店主决策统计量是众数，
故选C.
6. 绿苑小区在设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】解：根据题意长比宽多10米．设绿地的宽为米，则长为（x+10）米，
由矩形绿地的面积为900平方米，面积=长×宽，可列方程.
故选B．
7. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A. 100° B. 72° C. 64° D. 36°
【正确答案】C
【详解】试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．
8. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）
A. CE=DE B. CE=DE C. CE=3DE D. CE=2DE
【正确答案】B
【详解】试题解析：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB===，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴，设BE=x，则AE=，即，解得x=，∴，∴CE=DE，故选B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A，B分别是x轴和y轴上的点，且∠BAO=30°，以点A为圆心，BO长为半径画弧交AO于点C，分别以A，C为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则∠DAC的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】作DH⊥AC于H，设OB=m，
在Rt△AOB中，∵∠OAB=30°，
∴AO=OB=m，
∵DC=DA，DH⊥AC，AC=OB=m，
∴AH=CH=m，
∵DC=DA=OA=m，
∴cos∠DAC=，
故选B．
10. 在平面直角坐标系中，点A是直线y=x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【正确答案】A
【详解】连结AB、BC，如图，
∵点A在直线y=x上，
∵∠AOB=45°，
作BH⊥OA于H，
∴△BOH为等腰直角三角形，
∴BH=，
∵直线AC与⊙B相切，切点为C，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴AC=，
当AB最小时，AC的值最小，
而点A在H点时，AB最小，此时AB=BH=2，
∴AC的最小值为=，
故选A．
本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质等，正确地画出图形并图形确定出点A的位置是解题的关键.
二、填 空 题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则________°．
【正确答案】60°
【详解】根据角30°，45°，60°的三角函数值，可知α的值为60°.
故答案为60°.
12. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，则k的取值范围是_____．
【正确答案】k＞2
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，
∴△＜0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）＜0，
解得k＞2，
故答案为k＞2．
13. 数据3，3，6，5，3的方差是_____．
【正确答案】1.6
【详解】∵，
∴=1.6，
故答案为1.6.
本题考查了方差的计算，熟知方差的求解过程以及方差的计算公式是解题的关键.
14. 如图，是由大小完全相同的扇形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个扇形分别涂上其中的一种颜色，则最上方的扇形涂红色的概率是_____．
【正确答案】
【详解】因为有红色、黄色、蓝色三种颜色可以涂，所以最上方的扇形涂颜色有三种可能，
涂红色是其中的一种可能，
所以最上方的扇形涂红色的概率是，
故答案为.
15. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为_____．
【正确答案】12
【详解】圆锥的底面周长为2π×5=10π，
设该圆锥的母线长为x，则有
=10π，
∴x=12，
故答案为12.
16. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）
【正确答案】大楼AB的高度大约是（29+6）米．
【详解】试题分析:延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,则GH=DE=15米,EG=DH,设BH=x米,则CH=米,在直角三角形BCH中,BC=12米,由勾股定理得出方程,解方程求出BH=6米,CH=6,得出BG,EG的长度,证明三角形AEG是等腰直角三角形,得出AG=EG=6+20(米),即可得出大楼AB的高度.
试题解析: 延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,如图所示:
则GH=DE=15米,EG=DH,因为梯坎坡度=1:,所以BH:CH=1:,
设BH=x米,则CH=米, 在直角三角形BCH中,BC=12米,
由勾股定理得:,解得:x=6,所以BH=6米,CH=6米,
所以BG=GH-BH=15-6=9(米),EG=DH=CH=6+20(米),
因为α是45°,所以∠ EAG=,
所以三角形AEG是等腰直角三角形,
所以AG=AG+BG=6+20+9=29+6(米).
17. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2acm2，则正八边形的面积_____cm2 （用a的代数式表示）．
【正确答案】4a
【详解】连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
∵正八边形每个内角为： =135°，
∴∠HGM=45°，
∴MH=MG，
设MH=MG=x，
则HG=AH=AB=GF=x，
∴BG•GF==2（+1）x2=2a，
四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=a，
∴正八边形的面积为：2a+2a=4a（cm2），
故答案为4a．
18. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c； ④4a﹣2b+c＞0，其中正确有_____（填序号）．
【正确答案】②③④
【详解】①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①错误；
②∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确，
所以本题正确的有：②③④，
故答案为②③④．
本题主要考查抛物线与二次函数系数之间的关系，解题的关键是要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，点的关系．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°．
【正确答案】﹣1.5.
【详解】试题分析：把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可.
试题解析：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
=
=1.5.
20. 解方程：
（1）x2﹣6x﹣1=0；
（2）x（x﹣3）=10．
【正确答案】（1）x1=3+，x2=3﹣；（2）x1=5，x2=﹣2．
【详解】试题分析：（1）利用配方法进行求解即可；
（2）整理成一般形式后再利用因式分解法进行求解即可.
试题解析：（1）x2-6x-1=0，
x2-6x=1，
x2﹣6x+9=10，
（x﹣3）2=10，
x﹣3=±，
所以x1=3+，x2=3﹣；
（2）x2﹣3x﹣10=0，
（x﹣5）（x+2）=0，
x﹣5=0或x+2=0，
所以x1=5，x2=﹣2．
21. 为传播数学文化，展现数学的内涵和魅力，提高学生的数学兴趣和素养，江苏教育出版社《时代学习报》与江苏省教育学会中学数学教学专业委员会共同举办初中数学文化节、初三数学应用与创新邀请赛，分别设有一、二、三等奖和纪念奖．某校参加此项比赛，获奖情况已绘制成如图所示的两幅没有完整的统计图，根据图中所示信息解答下列问题：
（1）该校一共有 名学生获奖；
（2）这次数学竞赛获二等奖人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整．
【正确答案】（1）200；（2）这次数学竞赛获二等奖人数是40人；（3）补图见解析.
【详解】试题分析：（1）用一等奖的人数除以对应的百分比求出该校共有多少学生获奖；
（2）根据三等奖、纪念奖的百分比分别求出三等奖、纪念奖的人数，然后用总的获奖人数减去一等奖、三等奖、纪念奖的人数即可得到二等奖的人数；
（3）根据（2）中二等奖的人数补全条形统计图即可.
试题解析：（1）获奖学生总人数为20÷10%=200（人），
故答案为200；
（2）获三等奖人数为200×24%=48人，
纪念奖的人数为200×46%=92人，
这次数学竞赛获二等奖人数是200﹣（20+48+92）=40人；
（3）补全条形图如下：
本题考查了条形统计图、扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．
22. 已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）DE=1.5．
【分析】（1）在△ABD与△CBA中，有∠B=∠B，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；
（2）由（1）知△ABD∽△CBA，又DE∥AB，易证△CDE∽△CBA，则：△ABD∽△CDE，然后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．
【详解】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1
∴AB：CB=BD：BA
∵∠ABD=∠CBA
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴△ABD∽△CDE
∴AB：BD=CD：D
∴2：1=3：DE
∴DE=1.5．
23. 甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字﹣7、﹣1、3和﹣2、1、6，这些卡片除数字外都相同．把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在第二象限的概率．
【正确答案】（1）有9种等可能的结果，具体见解析；（2）这些点落在第二象限的概率为．
【详解】试题分析：（1）画树状图（或列表）即可得到所有可能的坐标的结果，根据树状图写出对应的坐标即可；
（2）根据第二象限点的坐标特征找出在第二象限的坐标个数，根据概率公式进行计算即可得.
试题解析：（1）画树状图：
共有9种等可能的结果：
（﹣7，﹣2），（﹣7，1），（﹣7，6），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，6），（3，﹣2），（3，1），（3，6）；
（2）这些点落在第二象限有（﹣7，1），（﹣7，6），（﹣1，1），（﹣1，6）共4个，
所以这些点落在第二象限的概率=．
24. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
【正确答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）□ABCD周长是5.
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x＝2代入x2﹣mx+＝0中，得：4﹣2m+＝0，
解得：m＝，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×＝5．
本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出m的值是解题关键
25. 某商店经销一种小家电，每个小家电的成本为20元，市场发现，该种小家电每天的量y（个）与单价x（元）的函数图象如图．设这种小家电每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果物价部门规定这种小家电的单价没有高于32元，该商店这种小家电每天要获得400元的利润，单价应定为多少元？
【正确答案】（1）w=﹣2x2+140x﹣2000；（2）该商店这种小家电每天要获得400元的利润，单价应定为30元．
【详解】试题分析：（1）先求得量y（个）与单价x（元）的函数关系式，再根据“利润=量×（单价-成本）”即可得；
（2）将w=400代入（1）中的关系式，解方程后进行比较即可得.
试题解析：（1）设y=kx+b，
则，
解得：，
则y=﹣2x+100（20≤x≤50），
所以w=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000；
（2）根据题意，得：﹣2x2+140x﹣2000=400，
解得：x=30或x=40，
因为x≤32，
所以x=30，
答：该商店这种小家电每天要获得400元的利润，单价应定为30元．
26. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）BF=.
【分析】（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理求得AF=13，设⊙O的半径为r，则有OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，通过证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形对应边成比例进而求得r的值即可得..
【详解】解：（1）如图，∵DE⊥AC，
∴∠AEF=90°
连接OD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠DAE=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠ODF=∠AEF=90°，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线；
（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF==13，
设⊙O的半径为r，
∴OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，
由（1）知，OD∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴r=，
∴BF=13﹣r=.
27. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，动点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，并在达到点B后，立即以同样的速度返回向点C运动；同时动点M从点B出发，沿折线B﹣A﹣C以1cm/s的速度向点C运动，当点N回到点C时，两个动点同时停止运动．⊙M是以M为圆心，1cm为半径的圆，设运动时间为t（s） （t＞0）
（1）ta= ；
（2）当点M在线段AB上运动，且⊙M与BC相切时，求t的值；
（3）当t为何值时，⊙M与折线B﹣A﹣C的两个交点在等腰三角形ABC对称轴的同侧，且交点和点N的直线与⊙M相切？
【正确答案】（1）；（2）t=；（3）满足条件的t的值为s或s或s．
【详解】试题分析：（1）作AH⊥BC用H，根据等腰三角形的性质以及勾股定理分别求得BH、AH的长，再利用正切的定义即可求得；
（2）作MK⊥BC于K，根据⊙M与BC相切，则可得MK=1，再根据si=，即可得；
（3）分0＜t≤4， 4＜t≤8，进行讨论即可得
试题解析：（1）如图1中，作AH⊥BC用H．
∵AB=AC=5，AH⊥BC，
∴BH=CH=BC=4，AH==3，
∴ta=，
故答案为；
（2）如图2中，作MK⊥BC于K，
∵⊙M与BC相切，
∴MK=1，
∵si=，
∴BM=，
∴t=s时，⊙M与BC相切；
（3）如图设⊙M交AB于P、G，连接GN，
①当0＜t≤4时，如果NG是⊙M的切线，则GN⊥AB，则有co=，
∴，
解得：t=，
②当PN是切线时，同法可得，，
解得t=．
③当4＜t≤8时，同法可得，或，
解得t=3（没有合题意舍弃）或t=，
综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．
28. 已知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若没有存在，请说明理由；
（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和，求点H的坐标及面积．
【正确答案】（1）二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；（2）D（0，﹣1）或D（0，6）；（3）面积为1.5，H（1，0）．
【详解】试题分析：（1）由已知利用待定系数法进行求解即可得解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出△CHF与△HFE的面积之和的函数关系式，即可求出值.
试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，
∴A（1，0），B（2，0），
∴，
∴，
∴二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；
（2）∵二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC=2，
∵A（1，0），B（2，0）
∴OB=2，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，
∴∠DCB=∠ABC=45°
∴设D（0，d），d＞﹣2，
∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB=1，BC=2，CD=d+2，
∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，
∴①△DCB∽△ABC，
∴=1，
∴CD=AB=1，
∴d+2=1，
∴d=﹣1，
∴D（0，﹣1）；
②△BCD∽△ABC，
∴，
∴，
∴d=6，
∴D（0，6）；
（3）如图，
∵CE∥轴，
∴令y=﹣2，
∴﹣2=﹣x2+3x﹣2，
∴x=0（舍）或x=3，
∴E（3，﹣2），
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y=x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），
∵点F是线段BC上点，
∴0＜m＜2，HF=﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）=﹣m2+2m，
∴S△CHF+S△EHF=HF×3=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣2m+1）+=﹣（m﹣1）2+，
∴m=1时，△CHF与△HFE的面积之和，面积为，此时，H（1，0）．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法，极值的确定，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是表示出HF．
2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
试卷分值：150分 考试
一、选一选（本大题共8小题．每小题3分，共24分．）
1. 一元二次方程（x﹣2）2＝9两个根分别是（ ）
A. x1＝1，x2＝﹣5 B. x1＝﹣1，x2＝﹣5
C. x1＝1，x2＝5 D. x1＝﹣1，x2＝5
2. 用配方法解一元二次方程x2 - 6x + 5 = 0，其中配方正确的是（ ）
A. （x - 3）2 = 5 B. （x – 3）2 = -4
C. （x - 3）2 = 4 D. （x - 3）2 = 9
3. 二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 没有能确定
4. 某市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（ ）
A. 150，150 B. 150，155 C. 155，150 D. 150，152.5
5. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
6. 如图，两圆圆心相同，大圆弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 8π B. 4π C. 64π D. 16π
7. 对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当时，max{a，b}=a；当时，max{a，b}=b；如：max{4，}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，}，则该函数的最小值是（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
二、填 空 题（本大题共8小题．每小题3分，共30分．）
9. 若（a –b） ：b=3 ：2 ，则a ：b= __________．
10. 数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是_____．
11. 写有“2π”、“cos60°”、“”、“”四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片上的数为无理数的概率是___________．
12. 若抛物线的顶点为（－2，3），且点（－1，5），则其表达式为___________．
13. 已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是______．
14. 已知是关于的方程的一个根，则__________．
15. 若y=mx2+2x+1的图象与坐标轴共有两个公共点，则常数m的值是___．
16. 如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为______．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
18. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象点（－2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，－2）的上方，下列结论：
①b＞0；②2a＜b；③2a－b－1＜0；④2a＋c＜0．其中正确结论是 _________（填正确序号）
三、解 答 题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）
19. 解方程：（x+3）（x﹣1）=12．
20. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
21. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
22. 某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2014年度人物”先进事迹知晓情况专题，采取随机抽样的方式进行问卷，问卷的结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“没有太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
类别
A
B
C
D
频数
30
40
24
b
频率
a
0.4
024
0.06
（1）表中的a=________，b=________；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生1000名，根据结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？
23. A．B、C三把外观一样的电子钥匙对应打开a、b、c三把电子锁．
（1）任意取出一把钥匙，恰好可以打开a锁的概率是 ；
（2）求随机取出A、B、C三把钥匙，性对应打开a、b、c三把电子锁的概率．
24. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
25. 2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，量为180个，若售价每提高1元，量就会减少10个，请解答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠形风筝量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润，利润是多少？
26. 已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P、点Q的运动时间为t（s）．
（1）当t＝1 s时，求点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t（s）的值；
（3）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P（，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的值；
（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t<2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值.
2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
试卷分值：150分 考试
一、选一选（本大题共8小题．每小题3分，共24分．）
1. 一元二次方程（x﹣2）2＝9的两个根分别是（ ）
A. x1＝1，x2＝﹣5 B. x1＝﹣1，x2＝﹣5
C. x1＝1，x2＝5 D. x1＝﹣1，x2＝5
【正确答案】D
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
【详解】（x﹣2）2＝9，
两边直接开平方得：x﹣2＝±3，
则x﹣2＝3，x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝5．
故选D．
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
2. 用配方法解一元二次方程x2 - 6x + 5 = 0，其中配方正确的是（ ）
A. （x - 3）2 = 5 B. （x – 3）2 = -4
C. （x - 3）2 = 4 D. （x - 3）2 = 9
【正确答案】C
【详解】解：
故选C.
3. 二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】试解：
二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴没有交点.
故选A.
4. 某市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（ ）
A. 150，150 B. 150，155 C. 155，150 D. 150，152.5
【正确答案】B
【详解】试题解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：150，150，150，155，155，160，165，
则众数为：150，
中位数为：155．
故选B.
点睛：根据众数和中位数的概念求解．
5. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k＞1 B. k＜1 C. k＞1且k≠0 D. k＜1且k≠0
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解没有等式即可得到k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2)2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故选D．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 8π B. 4π C. 64π D. 16π
【正确答案】D
【详解】试题解析：如图，
设AB与小圆切于点C，连结OC，OB.
∵AB与小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∵阴影的面积
又∵直角△OBC中,
∴阴影的面积
故选D.
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
7. 对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当时，max{a，b}=a；当时，max{a，b}=b；如：max{4，}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，}，则该函数的最小值是（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】试题分析：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，ymin=2，
当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴ymin=2，
考点：分段函数
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm）．
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠DBE=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°．∴BE=BD=（cm）．
当A→B时，t=4﹣0.5=3.5；当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠EDB=90°时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°．∴BE=2BD=2（cm）．
当A→B时，∴t=4﹣2=2；当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．
二、填 空 题（本大题共8小题．每小题3分，共30分．）
9. 若（a –b） ：b=3 ：2 ，则a ：b= __________．
【正确答案】5：2
【详解】试题解析：
故答案为5：2.
10. 数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是_____．
【正确答案】2
【分析】根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差的计算方法可以求得这组数据的方差．
【详解】由题意可得，
这组数据的平均数是：x= =0，
∴这组数据的方差是： ，
故答案为2.
此题考查方差，解题关键在于掌握运算法则
11. 写有“2π”、“cos60°”、“”、“”的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片上的数为无理数的概率是___________．
【正确答案】
【详解】试题解析：这四张卡片中，是无理数,
从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数为无理数的概率是
故答案为
12. 若抛物线的顶点为（－2，3），且点（－1，5），则其表达式为___________．
【正确答案】y＝2x2＋8x＋11
【详解】试题解析：设抛物线的解析式为：
把点代入函数解析式，
解得：
函数表达式为：
故答案为
点睛：二次函数常用的形式有：一般式，顶点式，交点式.
13. 已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是______．
【正确答案】3π．
【详解】∵圆锥的底面圆半径是1，∴圆锥的底面圆的周长=2π，则圆锥的侧面积=×2π×3=3π，
故答案为3π．
14. 已知是关于的方程的一个根，则__________．
【正确答案】-1
【详解】试题解析：把代入，
得，
解得：
故答案为
15. 若y=mx2+2x+1的图象与坐标轴共有两个公共点，则常数m的值是___．
【正确答案】0 ，1
【详解】试题解析：当m=0，y=2x+1是函数，此图象与坐标轴有两个交点，
当m≠0,若函数的图象与坐标轴共有两个公共点，则与x轴必然一个交点，
故
解得：m=1.
故m的值为：0或1.
故答案为0或1.
16. 如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为______．
【正确答案】．
【详解】解：连接AB，AC，
∵BC为OA的垂直平分线，
∴OB=AB，OC=AC，
∴OB=AB=OA，OC=OA=AC，
∴△OAB和△AOC都是等边三角形，
∴∠BOA=∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
设圆锥的底面半径为r，则2πr=，解得：r=1，
这个圆锥的高为=，
故答案为．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【正确答案】.
【详解】试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
考点：勾股定理；点和圆位置关系.
18. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象点（－2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，－2）的上方，下列结论：
①b＞0；②2a＜b；③2a－b－1＜0；④2a＋c＜0．其中正确结论是 _________（填正确序号）
【正确答案】①③④
【详解】试题解析：根据题意可知①抛物线的开口向上，则
对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则故①正确；
②∵抛物线交x轴与点(−2,0)
∴4a−2b+c=0，得
，而−2
③2a−b−1<0，故③正确；
④∵把(−2,0)代入得：4a−2b+c=0，
∴即2b=4a+c>0(因为b>0)，
∵当x=1时，a+b+c<0，
∴2a+2b+2c<0，
∴6a+3c<0，
即2a+c<0，∴④正确；
故答案为①③④
三、解 答 题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）
19. 解方程：（x+3）（x﹣1）=12．
【正确答案】x1=﹣5，x2=3．
【详解】试题分析：根据解一元二次方程的方法解方程即可.
试题解析：方程整理得：
或
点睛：解一元二次方程的方法：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.
观察题目选择合适的方法是解题的关键.
20. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
【正确答案】8.4 cm或12 cm或2 cm．
【详解】试题分析：由题意得出根据相似三角形的判定得出
当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，代入求出即可．
试题解析：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB=6，CD=4，BD=14，
或
解得：BP=2或12或
即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等.
21. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【正确答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3，
解得：m=2，
∴y=+2x+3=，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
22. 某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2014年度人物”先进事迹知晓情况专题，采取随机抽样的方式进行问卷，问卷的结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“没有太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
类别
A
B
C
D
频数
30
40
24
b
频率
a
0.4
0.24
0.06
（1）表中的a=________，b=________；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生1000名，根据结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？
【正确答案】（1）0.3、6;（2）144°;（3）240人.
【分析】根据频数和频律、扇形图和总数之间的关系直接列式计算.
【详解】（1）解：问卷的总人数为：40÷0.4=100（名）
a=30÷100=0.3，B=100×0.06=6
故答案为0.3、6；
（2）解：类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数为：360°×0.4=144°
故答案为144°
（3）解：1000×0.24=240
答：该校学生中类别为C的人数约为240人
本题考查了频数表和扇形图的相关知识，掌握频数图标和总数的相关关系是解决此题的关键.
23. A．B、C三把外观一样的电子钥匙对应打开a、b、c三把电子锁．
（1）任意取出一把钥匙，恰好可以打开a锁的概率是 ；
（2）求随机取出A、B、C三把钥匙，性对应打开a、b、c三把电子锁的概率．
【正确答案】（1） ；（2）.
详解】试题分析：（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意列表后利用概率公式求概率即可．
试题解析：(1)∵3把钥匙中有1把打开a锁，
∴任意取出一把钥匙,恰好可以打开a锁的概率是
故答案为
(2)由题意可列表如下：
aA
bB
cC
aA
bC
cB
bA
aB
cC
bA
aC
cB
cA
aB
bC
cA
aC
bB
由上表可知共有六种方法,故刚好A能开a锁,B能开b锁,C能开c锁的概率为：
24. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，
由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
25. 2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，量为180个，若售价每提高1元，量就会减少10个，请解答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠形风筝量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润，利润是多少？
【正确答案】（1）y=－10x＋300（12≤x≤30）；
（2） 王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元；
（3） 当售价定为20元时，王大伯获得利润，利润是1000元．
【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，量为y个，根据“当售价每个为12元时，量为180个，若售价每提高1元，量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，量为y个，根据题意可知：
y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则
W=（x﹣10）y=，
当W=840，则=840，
解得：=16，=24．
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=20时，W取值，值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润，利润是1000元．
本题考查二次函数应用、一元二次方程的应用及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
26. 已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P、点Q的运动时间为t（s）．
（1）当t＝1 s时，求点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t（s）的值；
（3）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
【正确答案】（1）；（2）t＝3；（3）．
【详解】试题分析：（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t可表示出BP和AQ的长，由可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当点Q在线段OA上时，；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC-S△COQ-S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用可用t表示出AM，从而可表示出BM，，可求得答案．
试题解析：（1）依题意得，A（4 ，0），B（4，3）．
当t＝1 s时，CP＝2，
设O、P、A三点抛物线的解析式为y＝ax（x－4），将P（2，3）代入解析式中，则有
2×（2－4）a＝3，
【一题多解】依题意得，A（4，0），B（4，3）．
当t＝1 s时，CP＝2，∴P（2，3）．
设O、P、A三点抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将O，P，A三点代入得
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）如解图①，设线段PQ与线段BA相交于点M，依题意有：CP＝2t，OQ＝t，
∴BP＝2t－4，AQ＝4－t．
∵CB∥OA，
∴△BMP∽△AMQ，
∴BP＝2AQ，即2t－4＝2（4－t），∴t＝3；
（3） 当0≤t≤2时，如解图②，
当2＜t≤4，如解图③，设线段AB与线段PQ相交于点D，过点Q作QN⊥CP于点N，则△BDP∽△NQP，
又∵NQ＝CO＝3，BP＝CP－CB＝2t－4，且NP＝CP－CN＝CP－OQ＝2t－t＝t，
∴S＝S四边形CQDB＝S△CQP－S△BDP，
③图④
当t＞4时，如解图④，设线段AB与线段CQ相交于点M，过点Q作QN⊥CP于点N，则△CBM∽△CNQ，
又∵CB＝OA＝4，CN＝OQ＝t，NQ＝3，
∴S=.
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P（，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的值；
（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t<2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值.
【正确答案】（1）y=x+2；
（2）当m=时，点Q到直线AB的距离的，距离为；
（3）t=1或t=0或t=1-或t=3-.
【详解】试题分析：（1）根据题意求出直线AB与坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求解；（2）过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D,设Q（m，m2），则C（m,m+2）,用m表示出QC的长，再根据QC与QD的关系，构造QD与m的二次函数模型，利用二次函数的的性质即可求得点Q到直线AB的距离的值；（3）由题意可知∠APT=45°，△PBQ中必有一个内角等于45°，由图知∠BPQ=45°没有合题意.分两种情况，①若∠PBQ=45°，可得BQ∥x轴，可证得△BPQ为等腰直角三角形，若△PAT与△BPQ相似，则△PAT也是等腰直角三角形，在分∠PAT为直角或∠PAT为直角两种情况求t值；②若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；现以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q1都在⊙F上，设⊙F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q2，根据圆周角定理可得∠PQ2B=∠PQ1B=45°，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，也分两种情况（i）△Q2PB∽△PAT，（ii）△Q2BP∽△PAT，根据三角形相似，利用相似的性质求t值.
试题解析：解：（1）设直线AB与x轴的交点为M，∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即点M的坐标为（-2,0）.
设直线AB的函数解析式为y=kx+b,将M（-2,0）和P（，2）两点坐标代入，
得，解得，故直线AB的函数解析式为y=x+2.
过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D,
根据条件可知△QDC为等腰直角三角形.
所以QD=,
设Q（m，m2），则C（m,m+2）,
∴QC=m+2-m2=
QD==.
故当m=时，点Q到直线AB的距离的，距离为.
∵∠APT=45°,∴△PBQ中必有一个内角等于45°，由图知∠BPQ=45°没有合题意.
①若∠PBQ=45°，过点B作x的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q、F，此时满足∠PBQ1=45°.
∵Q1（-2，4）、F（0，4），∴此时△BPQ1为等腰直角三角形，由题意可知△PAT也为等腰直角三角形.
（i）当∠PAT直角时，得PT=AT=1，此时t=1；
（ii）当∠PAT为直角时，得PT=2，此时t=0.
②若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；
现以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q1都在⊙F上，设⊙F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q2，
∵∠PQ2B=∠PQ1B所对的弧相同，
∴∠PQ2B=∠PQ1B=45°.
即这里的交点Q2也符合要求.
设Q2（n，n2）（-2
而-2
所以∠PBQ2=∠PFQ2=30°，则△PQ2B中，∠PQ2B=45°，∠PBQ2=30°.
（i）若△Q2PB∽△PAT，则过点A作y轴垂线，垂足为E.
则ET=AE=,OE=1，∴OT=-1,解得t=1-.
（ii）若△Q2BP∽△PAT，则过点T作直线AB的垂线，垂足为G.
设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=
∴a+a=，解得PT=a=-1
∴OT=OP-PT=3-,∴t=3-.
综上所述，所求t的值为t=1或t=0或t=1-或t=3-.
考点：二次函数、函数、圆、三角形相似综合题.
2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 一元二次方程4x2﹣1=0的解是（ ）
A. x1=1，x2=﹣1 B. x1=2，x2=﹣2 C. D.
2. 在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （1，3） B. （1，﹣3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3）
3. 若与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16
4. 给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 同圆中直径是最长的弦
C. 圆周角是圆心角的一半 D. 长度相等的弧是等弧
5. 某专卖店专营某品牌的运动鞋，店主对上一周中没有同尺码的运动鞋情况统计如下：
尺码
37
38
39
40
41
平均每天数量（双）
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加一些39码的运动鞋，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
6. 绿苑小区在设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ ）．
A B.
C. D.
7. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A. 100° B. 72° C. 64° D. 36°
8. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）
A. CE=DE B. CE=DE C. CE=3DE D. CE=2DE
9. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A，B分别是x轴和y轴上的点，且∠BAO=30°，以点A为圆心，BO长为半径画弧交AO于点C，分别以A，C为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则∠DAC的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，点A是直线y=x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
二、填 空 题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则________°．
12. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，则k的取值范围是_____．
13. 数据3，3，6，5，3的方差是_____．
14. 如图，是由大小完全相同的扇形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个扇形分别涂上其中的一种颜色，则最上方的扇形涂红色的概率是_____．
15. 已知圆锥底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为_____．
16. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）
17. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2acm2，则正八边形的面积_____cm2 （用a的代数式表示）．
18. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c； ④4a﹣2b+c＞0，其中正确有_____（填序号）．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°．
20. 解方程：
（1）x2﹣6x﹣1=0；
（2）x（x﹣3）=10．
21. 为传播数学文化，展现数学的内涵和魅力，提高学生的数学兴趣和素养，江苏教育出版社《时代学习报》与江苏省教育学会中学数学教学专业委员会共同举办初中数学文化节、初三数学应用与创新邀请赛，分别设有一、二、三等奖和纪念奖．某校参加此项比赛，获奖情况已绘制成如图所示的两幅没有完整的统计图，根据图中所示信息解答下列问题：
（1）该校一共有 名学生获奖；
（2）这次数学竞赛获二等奖人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整．
22. 已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，DBC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．
23. 甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字﹣7、﹣1、3和﹣2、1、6，这些卡片除数字外都相同．把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在第二象限的概率．
24. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
25. 某商店经销一种小家电，每个小家电成本为20元，市场发现，该种小家电每天的量y（个）与单价x（元）的函数图象如图．设这种小家电每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果物价部门规定这种小家电的单价没有高于32元，该商店这种小家电每天要获得400元的利润，单价应定为多少元？
26. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长．
27. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，动点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，并在达到点B后，立即以同样的速度返回向点C运动；同时动点M从点B出发，沿折线B﹣A﹣C以1cm/s的速度向点C运动，当点N回到点C时，两个动点同时停止运动．⊙M是以M为圆心，1cm为半径的圆，设运动时间为t（s） （t＞0）
（1）ta= ；
（2）当点M在线段AB上运动，且⊙M与BC相切时，求t的值；
（3）当t为何值时，⊙M与折线B﹣A﹣C的两个交点在等腰三角形ABC对称轴的同侧，且交点和点N的直线与⊙M相切？
28. 已知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若没有存在，请说明理由；
（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和，求点H的坐标及面积．
2022-2023学年江西省抚州市九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 一元二次方程4x2﹣1=0的解是（ ）
A. x1=1，x2=﹣1 B. x1=2，x2=﹣2 C. D.
【正确答案】D
【详解】4x2﹣1=0，
4x2=1，
x2=，
x=，
所以，，
故选D.
2. 在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （1，3） B. （1，﹣3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3）
【正确答案】A
【详解】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
由y=2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3），
故选A．
3. 若与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16
【正确答案】C
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵与的相似比为1：4，∴与的周长比为：1：4.
故选：C.
本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
4. 给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 同圆中直径是最长的弦
C. 圆周角是圆心角的一半 D. 长度相等的弧是等弧
【正确答案】B
【详解】A、没有在同一直线上三点确定一个圆，故错误；
B、同圆中，直径是最长的弦，正确；
C、同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，故错误；
D、在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，没有但长度相等，弯曲程度也要相同，故错误，
故选B．
本题考查了确定圆的条件、圆周角定理等知识，难度没有大，熟记有关性质及定理是解答本类题目的关键．
5. 某专卖店专营某品牌的运动鞋，店主对上一周中没有同尺码的运动鞋情况统计如下：
尺码
37
38
39
40
41
平均每天数量（双）
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加一些39码的运动鞋，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
【正确答案】C
【详解】作为店主，关心的是哪个尺码的运动鞋销量大，即众数，
一组数据中出现次数至多的数据叫做众数，
尺码为39的销量是大，即众数为39，
所以影响店主决策统计量是众数，
故选C.
6. 绿苑小区在设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】解：根据题意长比宽多10米．设绿地的宽为米，则长为（x+10）米，
由矩形绿地的面积为900平方米，面积=长×宽，可列方程.
故选B．
7. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A. 100° B. 72° C. 64° D. 36°
【正确答案】C
【详解】试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．
8. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）
A. CE=DE B. CE=DE C. CE=3DE D. CE=2DE
【正确答案】B
【详解】试题解析：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB===，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴，设BE=x，则AE=，即，解得x=，∴，∴CE=DE，故选B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A，B分别是x轴和y轴上的点，且∠BAO=30°，以点A为圆心，BO长为半径画弧交AO于点C，分别以A，C为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则∠DAC的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】作DH⊥AC于H，设OB=m，
在Rt△AOB中，∵∠OAB=30°，
∴AO=OB=m，
∵DC=DA，DH⊥AC，AC=OB=m，
∴AH=CH=m，
∵DC=DA=OA=m，
∴cos∠DAC=，
故选B．
10. 在平面直角坐标系中，点A是直线y=x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【正确答案】A
【详解】连结AB、BC，如图，
∵点A在直线y=x上，
∵∠AOB=45°，
作BH⊥OA于H，
∴△BOH为等腰直角三角形，
∴BH=，
∵直线AC与⊙B相切，切点为C，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴AC=，
当AB最小时，AC的值最小，
而点A在H点时，AB最小，此时AB=BH=2，
∴AC的最小值为=，
故选A．
本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质等，正确地画出图形并图形确定出点A的位置是解题的关键.
二、填 空 题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则________°．
【正确答案】60°
【详解】根据角30°，45°，60°的三角函数值，可知α的值为60°.
故答案为60°.
12. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，则k的取值范围是_____．
【正确答案】k＞2
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0没有实数根，
∴△＜0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）＜0，
解得k＞2，
故答案为k＞2．
13. 数据3，3，6，5，3的方差是_____．
【正确答案】1.6
【详解】∵，
∴=1.6，
故答案为1.6.
本题考查了方差的计算，熟知方差的求解过程以及方差的计算公式是解题的关键.
14. 如图，是由大小完全相同的扇形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个扇形分别涂上其中的一种颜色，则最上方的扇形涂红色的概率是_____．
【正确答案】
【详解】因为有红色、黄色、蓝色三种颜色可以涂，所以最上方的扇形涂颜色有三种可能，
涂红色是其中的一种可能，
所以最上方的扇形涂红色的概率是，
故答案为.
15. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为_____．
【正确答案】12
【详解】圆锥的底面周长为2π×5=10π，
设该圆锥的母线长为x，则有
=10π，
∴x=12，
故答案为12.
16. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）
【正确答案】大楼AB的高度大约是（29+6）米．
【详解】试题分析:延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,则GH=DE=15米,EG=DH,设BH=x米,则CH=米,在直角三角形BCH中,BC=12米,由勾股定理得出方程,解方程求出BH=6米,CH=6,得出BG,EG的长度,证明三角形AEG是等腰直角三角形,得出AG=EG=6+20(米),即可得出大楼AB的高度.
试题解析: 延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,如图所示:
则GH=DE=15米,EG=DH,因为梯坎坡度=1:,所以BH:CH=1:,
设BH=x米,则CH=米, 在直角三角形BCH中,BC=12米,
由勾股定理得:,解得:x=6,所以BH=6米,CH=6米,
所以BG=GH-BH=15-6=9(米),EG=DH=CH=6+20(米),
因为α是45°,所以∠ EAG=,
所以三角形AEG是等腰直角三角形,
所以AG=AG+BG=6+20+9=29+6(米).
17. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2acm2，则正八边形的面积_____cm2 （用a的代数式表示）．
【正确答案】4a
【详解】连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
∵正八边形每个内角为： =135°，
∴∠HGM=45°，
∴MH=MG，
设MH=MG=x，
则HG=AH=AB=GF=x，
∴BG•GF==2（+1）x2=2a，
四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=a，
∴正八边形的面积为：2a+2a=4a（cm2），
故答案为4a．
18. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c； ④4a﹣2b+c＞0，其中正确有_____（填序号）．
【正确答案】②③④
【详解】①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①错误；
②∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确，
所以本题正确的有：②③④，
故答案为②③④．
本题主要考查抛物线与二次函数系数之间的关系，解题的关键是要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，点的关系．
三、解 答 题（本大题共10小题，共76分）
19. 计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°．
【正确答案】﹣1.5.
【详解】试题分析：把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可.
试题解析：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
=
=1.5.
20. 解方程：
（1）x2﹣6x﹣1=0；
（2）x（x﹣3）=10．
【正确答案】（1）x1=3+，x2=3﹣；（2）x1=5，x2=﹣2．
【详解】试题分析：（1）利用配方法进行求解即可；
（2）整理成一般形式后再利用因式分解法进行求解即可.
试题解析：（1）x2-6x-1=0，
x2-6x=1，
x2﹣6x+9=10，
（x﹣3）2=10，
x﹣3=±，
所以x1=3+，x2=3﹣；
（2）x2﹣3x﹣10=0，
（x﹣5）（x+2）=0，
x﹣5=0或x+2=0，
所以x1=5，x2=﹣2．
21. 为传播数学文化，展现数学的内涵和魅力，提高学生的数学兴趣和素养，江苏教育出版社《时代学习报》与江苏省教育学会中学数学教学专业委员会共同举办初中数学文化节、初三数学应用与创新邀请赛，分别设有一、二、三等奖和纪念奖．某校参加此项比赛，获奖情况已绘制成如图所示的两幅没有完整的统计图，根据图中所示信息解答下列问题：
（1）该校一共有 名学生获奖；
（2）这次数学竞赛获二等奖人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整．
【正确答案】（1）200；（2）这次数学竞赛获二等奖人数是40人；（3）补图见解析.
【详解】试题分析：（1）用一等奖的人数除以对应的百分比求出该校共有多少学生获奖；
（2）根据三等奖、纪念奖的百分比分别求出三等奖、纪念奖的人数，然后用总的获奖人数减去一等奖、三等奖、纪念奖的人数即可得到二等奖的人数；
（3）根据（2）中二等奖的人数补全条形统计图即可.
试题解析：（1）获奖学生总人数为20÷10%=200（人），
故答案为200；
（2）获三等奖人数为200×24%=48人，
纪念奖的人数为200×46%=92人，
这次数学竞赛获二等奖人数是200﹣（20+48+92）=40人；
（3）补全条形图如下：
本题考查了条形统计图、扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．
22. 已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）DE=1.5．
【分析】（1）在△ABD与△CBA中，有∠B=∠B，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；
（2）由（1）知△ABD∽△CBA，又DE∥AB，易证△CDE∽△CBA，则：△ABD∽△CDE，然后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．
【详解】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1
∴AB：CB=BD：BA
∵∠ABD=∠CBA
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴△ABD∽△CDE
∴AB：BD=CD：D
∴2：1=3：DE
∴DE=1.5．
23. 甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字﹣7、﹣1、3和﹣2、1、6，这些卡片除数字外都相同．把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在第二象限的概率．
【正确答案】（1）有9种等可能的结果，具体见解析；（2）这些点落在第二象限的概率为．
【详解】试题分析：（1）画树状图（或列表）即可得到所有可能的坐标的结果，根据树状图写出对应的坐标即可；
（2）根据第二象限点的坐标特征找出在第二象限的坐标个数，根据概率公式进行计算即可得.
试题解析：（1）画树状图：
共有9种等可能的结果：
（﹣7，﹣2），（﹣7，1），（﹣7，6），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，6），（3，﹣2），（3，1），（3，6）；
（2）这些点落在第二象限有（﹣7，1），（﹣7，6），（﹣1，1），（﹣1，6）共4个，
所以这些点落在第二象限的概率=．
24. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
【正确答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）□ABCD周长是5.
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x＝2代入x2﹣mx+＝0中，得：4﹣2m+＝0，
解得：m＝，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×＝5．
本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出m的值是解题关键
25. 某商店经销一种小家电，每个小家电的成本为20元，市场发现，该种小家电每天的量y（个）与单价x（元）的函数图象如图．设这种小家电每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果物价部门规定这种小家电的单价没有高于32元，该商店这种小家电每天要获得400元的利润，单价应定为多少元？
【正确答案】（1）w=﹣2x2+140x﹣2000；（2）该商店这种小家电每天要获得400元的利润，单价应定为30元．
【详解】试题分析：（1）先求得量y（个）与单价x（元）的函数关系式，再根据“利润=量×（单价-成本）”即可得；
（2）将w=400代入（1）中的关系式，解方程后进行比较即可得.
试题解析：（1）设y=kx+b，
则，
解得：，
则y=﹣2x+100（20≤x≤50），
所以w=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000；
（2）根据题意，得：﹣2x2+140x﹣2000=400，
解得：x=30或x=40，
因为x≤32，
所以x=30，
答：该商店这种小家电每天要获得400元的利润，单价应定为30元．
26. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED，AB的延长线相交于F，且AE=5，EF=12，求BF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）BF=.
【分析】（1）连接OD，推出∠ODA=∠OAD=∠EAD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理求得AF=13，设⊙O的半径为r，则有OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，通过证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形对应边成比例进而求得r的值即可得..
【详解】解：（1）如图，∵DE⊥AC，
∴∠AEF=90°
连接OD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠DAE=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠ODF=∠AEF=90°，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线；
（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF==13，
设⊙O的半径为r，
∴OD=r，OF=13﹣r，BF=AF﹣AB=13﹣2r，
由（1）知，OD∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴r=，
∴BF=13﹣r=.
27. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，动点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，并在达到点B后，立即以同样的速度返回向点C运动；同时动点M从点B出发，沿折线B﹣A﹣C以1cm/s的速度向点C运动，当点N回到点C时，两个动点同时停止运动．⊙M是以M为圆心，1cm为半径的圆，设运动时间为t（s） （t＞0）
（1）ta= ；
（2）当点M在线段AB上运动，且⊙M与BC相切时，求t的值；
（3）当t为何值时，⊙M与折线B﹣A﹣C的两个交点在等腰三角形ABC对称轴的同侧，且交点和点N的直线与⊙M相切？
【正确答案】（1）；（2）t=；（3）满足条件的t的值为s或s或s．
【详解】试题分析：（1）作AH⊥BC用H，根据等腰三角形的性质以及勾股定理分别求得BH、AH的长，再利用正切的定义即可求得；
（2）作MK⊥BC于K，根据⊙M与BC相切，则可得MK=1，再根据si=，即可得；
（3）分0＜t≤4， 4＜t≤8，进行讨论即可得
试题解析：（1）如图1中，作AH⊥BC用H．
∵AB=AC=5，AH⊥BC，
∴BH=CH=BC=4，AH==3，
∴ta=，
故答案为；
（2）如图2中，作MK⊥BC于K，
∵⊙M与BC相切，
∴MK=1，
∵si=，
∴BM=，
∴t=s时，⊙M与BC相切；
（3）如图设⊙M交AB于P、G，连接GN，
①当0＜t≤4时，如果NG是⊙M的切线，则GN⊥AB，则有co=，
∴，
解得：t=，
②当PN是切线时，同法可得，，
解得t=．
③当4＜t≤8时，同法可得，或，
解得t=3（没有合题意舍弃）或t=，
综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．
28. 已知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若没有存在，请说明理由；
（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和，求点H的坐标及面积．
【正确答案】（1）二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；（2）D（0，﹣1）或D（0，6）；（3）面积为1.5，H（1，0）．
【详解】试题分析：（1）由已知利用待定系数法进行求解即可得解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出△CHF与△HFE的面积之和的函数关系式，即可求出值.
试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，
∴A（1，0），B（2，0），
∴，
∴，
∴二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；
（2）∵二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC=2，
∵A（1，0），B（2，0）
∴OB=2，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，
∴∠DCB=∠ABC=45°
∴设D（0，d），d＞﹣2，
∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB=1，BC=2，CD=d+2，
∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，
∴①△DCB∽△ABC，
∴=1，
∴CD=AB=1，
∴d+2=1，
∴d=﹣1，
∴D（0，﹣1）；
②△BCD∽△ABC，
∴，
∴，
∴d=6，
∴D（0，6）；
（3）如图，
∵CE∥轴，
∴令y=﹣2，
∴﹣2=﹣x2+3x﹣2，
∴x=0（舍）或x=3，
∴E（3，﹣2），
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y=x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），
∵点F是线段BC上点，
∴0＜m＜2，HF=﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）=﹣m2+2m，
∴S△CHF+S△EHF=HF×3=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣2m+1）+=﹣（m﹣1）2+，
∴m=1时，△CHF与△HFE的面积之和，面积为，此时，H（1，0）．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法，极值的确定，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是表示出HF．
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