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2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（将题中正确答案的序号填在题后的括号内。每小题3分，共18分）
1. 利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的根的情况是
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3. 抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是（ ）
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有点 D. y随x的增大而增大
4. 如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中没有能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D.
6. 如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
7. 一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是_____．
8. 若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 ________．
9. 已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n=_____．
10. 已知二次函数的图象上三点，，，则、、的大小关系是_____．
11. 烟花厂为2018年春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=+12t+0.1，若这种礼炮在点火升空到点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s．
12. 如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝的图象过点A，则k＝（ ）
A. 3 B. ﹣1.5 C. ﹣3 D. ﹣6
13. 如图是抛物线一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，没有等式的解集是______．
14. 如图，在ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=cm，则EF＋CF的长为_____cm．
三、解 答 题（每小题6分共24分）
15. 用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
16. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，求k的取值范围．
17. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①以坐标原点O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②作出△A1B1C1关于原点成对称的对称图形△A2B2C2．
（2）△A2B2C2中顶点B2坐标为 ．
18. 在一个没有透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．
（1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率；
（2）如果次随机摸出一个球（没有放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解）
四、解 答 题（每题8分。共16分）
19. 某地区2013年投入教育2500万元，2015年投入教育3025万元.
（1）求2013年至2015年该地区投入教育的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育多少万元.
20. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
五、解 答 题（每题9分，共18分）
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当时，自变量x取值范围．
六、解 答 题（每题10分，共20分）
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
24. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．
2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（将题中正确答案的序号填在题后的括号内。每小题3分，共18分）
1. 利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】用“配方法”解方程的过程如下：
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
两边同时加上，得：，
∴.
故选B.
2. 一元二次方程的根的情况是
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【正确答案】D
【分析】由根的判别式△判断即可．
【详解】解：△=b2-4ac=(-4)2-4×5=-4＜0，方程没有实数根．
故选择D．
本题考查了一元二次方程根与判别式的关系．
3. 抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是（ ）
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有点 D. y随x的增大而增大
【正确答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质解题．
【详解】抛物线y＝2x2， y＝x2 开口向上，对称轴是对称轴是y轴，有点，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，y＝－2x2，开口向下，对称轴是对称轴是y轴，有点，在y轴的左侧，y随x的增大而增大，
故抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是对称轴是y轴，
故选：B．
本题考查二次函数图象性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4. 如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】如图，由题意可设抛物线的解析式为，
∵由题意可知点A、B的坐标分别为（-5，-4）、（5，-4），且抛物线过点A、B，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为.
故选C.
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中没有能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D.
【正确答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项没有符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项没有符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项没有符合题意；
D、当=时，没有能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选D．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6. 如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，然后利用弧长计算公式求解，则劣弧BC的长是： =．
故选B．
考点：1、弧长的计算；2、圆周角定理
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
7. 一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是_____．
【正确答案】x1=﹣1，x2=2
【详解】解：方程可化为：，
∴或，
∴.
故答案为.
8. 若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 ________．
【正确答案】4
【分析】与x轴交点就是令y=0求解即可
【详解】解：，
令y=0，，
解得：，
所以A（-1，0），B（3，0），
所以AB=4，
故4．
本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，解题关键是熟练运用解一元二次方程求出抛物线与x轴交点坐标．
9. 已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n=_____．
【正确答案】-3
【详解】∵P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，
∴ ，解得： ，
∴m+n=-4+1=-3.
故答案为-3.
点睛：若点P（a，b）和点Q(m，n)关于原点对称，则：a+m=0，b+n=0.
10. 已知二次函数的图象上三点，，，则、、的大小关系是_____．
【正确答案】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故答案为．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
11. 烟花厂为2018年春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=+12t+0.1，若这种礼炮在点火升空到点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s．
【正确答案】4
【详解】∵，
∴当时，礼炮升到点，即从点火到引爆需要4秒钟.
故答案为4.
12. 如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝的图象过点A，则k＝（ ）
A. 3 B. ﹣1.5 C. ﹣3 D. ﹣6
【正确答案】C
【分析】根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出等量关系|k|=3，再根据图象所在的象限即可求出k的值．
【详解】解：解：依题意，有|k|=3，
∴k=±3，
又∵图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k=-3．
故选C．
此题考查了反比例函数比例系数k几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
13. 如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，没有等式的解集是______．
【正确答案】或
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为x＜﹣1或x＞3．
本题考查的是二次函数与没有等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形的思想方法．
14. 如图，在ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=cm，则EF＋CF的长为_____cm．
【正确答案】5
【详解】分析：∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD．
∵ABCD中，AB∥DC，∴∠FAD =∠AEB．∴∠BAF=∠AEB．
∴△BAE是等腰三角形，即BE=AB=6cm．
同理可证△CFE也是等腰三角形，且△BAE∽△CFE．
∵BC= AD=9cm，∴CE=CF=3cm．∴△BAE和△CFE的相似比是2：1．
∵BG⊥AE， BG=cm，∴由勾股定理得EG=2cm．∴AE=4cm．∴EF=2cm．
∴EF＋CF=5cm．
三、解 答 题（每小题6分共24分）
15. 用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
【正确答案】x1= ，x2=
【详解】试题分析：
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再按“公式法”解一元二次方程的一般步骤解答即可.
试题解析：
方程化为一般形式，得3x2+10x+5=0，
∵a=3，b=10，c=5，
∴b2﹣4ac=102﹣4×3×5=40，
∴，
∴.
16. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，求k的取值范围．
【正确答案】k＝．
【分析】根据判别式的意义得到△=0，即[-2（k-1）]2-4k2=0，解方程即可得到k的值．
【详解】∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2＝0，
解得k＝．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
17. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①以坐标原点O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②作出△A1B1C1关于原点成对称的对称图形△A2B2C2．
（2）△A2B2C2中顶点B2坐标为 ．
【正确答案】(1)见解析；（2）（1，6）
【详解】试题分析：
（1）①连接OA，过点O第三象限作A1O⊥AO，使A1O=AO即可得到点A1，同法作出点B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；②连接A1O并延长到A2，使A2O=A1O即可得到点A2，同法作出点B2、C2，再顺次连接这三点即可.
（2）根据（1）中所画图形，写出点B2的坐标即可.
试题解析：
（1）①如下图所示：△A1B1C1，即为所求三角形；
②如下图所示：△A2B2C2，即为所求三角形；
（2）如下图，△A2B2C2中顶点B2坐标为：（1，6）．
故答案为（1，6）．
．
18. 在一个没有透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．
（1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率；
（2）如果次随机摸出一个球（没有放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解）
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：
（1）由题意可知共有3种等可能结果出现，其中是红球的占了2种，由此即可得到所求概率为；
（2）由题意画出符合要求的树状图，根据树状图得到所有等可能的结果的种类，并找出两次都是红球的出现次数，即可得到所求概率.
试题解析：
（1）∵在一个没有透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，
∴摸出红球的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况，
∴两次都摸到红球的概率为：．
四、解 答 题（每题8分。共16分）
19. 某地区2013年投入教育2500万元，2015年投入教育3025万元.
（1）求2013年至2015年该地区投入教育的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育多少万元.
【正确答案】10%；3327.5万元
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育数额，即可列出方程求解．
（2）利用2016年的×（1+增长率）即可．
【详解】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为．
则，
解得（没有合题意舍去）．
答：这两年投入教育的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育3327.5万元．
20. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）；（2）菱形
【分析】（1）由旋转的性质可得出，再由三角形的内角和可求出，因此可证出是等边三角形，得到，即可解决问题；
（2）根据题意，证明，再证明，得到，即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意可得：
∵，
∴
∴是等边三角形
∴
（2）∵为等边三角形
∴
∵
∴
由题意得：，
∵是的中点
∴
∴
∴四边形是菱形
本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．
五、解 答 题（每题9分，共18分）
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
【正确答案】（1）见解析（2）2：3
【分析】（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
【详解】解：（1）证明：连接DO，
∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO．
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS）．
∴∠CDO=∠CBO=90°.
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.
（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB．
∵DE=2BC，∴ED=2CD．
∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．
∴AD：OC=DE：CE=2：3．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当时，自变量x的取值范围．
【正确答案】（1）， ；（2）；（3）．
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入函数解析式中求出a与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，，计算即可；
（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．
【详解】（1）∵A（﹣2，1），
∴将A坐标代入反比例函数解析式中，得，
∴反比例函数解析式为，
将B坐标代入，得，
∴B坐标（1，﹣2），将A与B坐标代入函数解析式中，得：，解得，
∴函数解析式为；
（2）设直线AB与y轴交于点C，令x=0，得y=﹣1，
∴点C坐标（0，﹣1），
∵==；
（3）由图象可得，当时，自变量x的取值范围．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
六、解 答 题（每题10分，共20分）
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
【正确答案】(1)10cm；(2) 当0≤t≤时，DE=t, 当＜t≤10时，DE=（10﹣t）=﹣t+；(3) t=；(4) 当0＜t≤时，S=t2，当≤t＜10时，S=（10﹣t）2．
【分析】（1）根据已知条件由“勾股定理”易得：AC=10cm；
（2）如图1和图2需分点E在AB上和BC上两种情况，相似三角形的性质即可求得对应的DE的长；
（3）如图3，由已知易证△CGF∽△CBA，从而可用含“t”的式子表达出GC的长，AD+DG+GC=BC=10及AD=t，DG=DE=t，即可求得对应的t的值；
（4）（2）、（3）可知当0＜t≤时，重叠部分就是正方形DEFG；当≤t＜10时，重叠部分是四边形DEMG；由已知条件分以上两种情况进行解答即可．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
根据勾股定理得：AC=10cm；
（2）分两种情况考虑：如图1所示，
过B作BH⊥AC，
∵S△ABC=AB·BC=AC•BH，
∴BH=，AH=，
∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABH，
∴，即 ，
解得：DE=，
则当0≤t≤时，DE=；
如图2所示，
同理得到△CED∽△CBH，
∴，即 ，
解得：DE=（10﹣t）=﹣，
则当＜t≤10时，DE=（10﹣t）=﹣；
（3）如图3所示，
如图3，当点F刚好落BC边上时，
∵∠C=∠C，∠EGC=∠ABC=90°，
∴△FGC∽△ABC，
∴，即 ，
∴GC=，
∵AD+DG+GC=AC=10，
∴，解得：；
（4）如图1所示，当0＜t≤时，S=DE2=；
如图2所示，当≤t＜10时，
∵EF∥CG，
∴△EFM∽△CGM∽△CBA，
∴，即 ，
解得：FM=，
∴S=S正方形DEFG-S△EFM
=DE2-DE·FM
=．
本题考查相似三角形的动态几何问题，掌握相似三角形的判定与性质，灵活分类讨论是解题关键．
24. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．
【正确答案】(1) y=﹣x+3;(2)m=2;(3)
【详解】试题分析：
（1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c列出方程组求得b、c的值即可得到抛物线的解析式，在所得抛物线的解析式中，由y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得B的坐标；有B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线BC的解析式；
（2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形可得，CM∥x轴，由点C的坐标（0，3）可得点M的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式解得x的值即可得到m的值；
（3）由已知把M、N的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出MN的长，根据题意可得MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得m的值.
试题解析：
（1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得，解得 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴点B的坐标（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
（2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，
∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3，
把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2，
∵点M没有能与点C重合，
∴点P的横坐标为m=2．
（3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，P的横坐标为m
∴M（m，﹣m2+2m+3），
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3．
∴N（m，﹣m+3），
∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，
∴MN=OC=3，
∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2﹣3m+3=0，无解，
或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化简得m2﹣3m﹣3=0，
解得m=，
∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，m的值为．
点睛：（1）解第2小题的关键是由“△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形”∠MNC是锐角可得∠NMC=90°，从而得到CM∥x轴；（2）解第3小题的关键是由“以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形”得到MN是OC的对边，从而得到MN=OC=3，这样即可列出关于“m”的方程解得m的值了.
2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（共12小题；每小题3分,共36分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 方程5x2=x有两个没有相等的实数根
B. 方程x2﹣8=0有两个相等的实数根
C. 方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根
D. 当k＞时，方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个没有相等的实数根
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个全等三角形一定相似
B. 两个直角三角形一定相似
C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D. 相似的两个三角形没有一定全等
3. 顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）
A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
5. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 7200（1+x）=8450 B. 7200（1+x）2=8450
C. 7200+x2=8450 D. 8450（1﹣x）2=7200
6. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A. B. C. D. 2
7. 如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
8. 解一元二次方程x（x+3）=x得到它的根是（ ）
A. x=﹣3 B. x1=0或x2=﹣3 C. x=﹣2 D. x1=0或x2=﹣2
9. 某种药品原价为49元/盒，连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A 49（1﹣x）2=49﹣25 B. 49（1﹣2x）=25
C. 49（1﹣x）2=25 D. 49（1﹣x2）=25
10. 函数是（ ）
A. 函数 B. 二次函数 C. 反比例函数 D. 正比例函数
11. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
12. 若反比例函数的图象点（m，3m），其中m≠0，则此反比例函数图象（ ）
A. 、三象限 B. 、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
二、填 空 题（共10题；共30分）
13. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，BC=8cm，则DE=________．
14. 一个口袋有15个白球和若干个黑球，在没有允许将球倒出来数的前提下，小明为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从袋中摸出10个球，求出白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，没有断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别是0.4，0.3，0.2，0.3，0.3，根据上述数据，小明估计口袋中大约有 ________个黑球．
15. 若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是______．
16. 已知，则的值是_____．
17. 当m=________时，方程（m+1）x +（m﹣3）x﹣1=0是一元二次方程．
18. 方程的根是______．
19. 反比例函数点（－2，1），则函数 的图象点（-1，_____）．
20. 投影可分________ 和________ ；一个立体图形，共有________ 种视图．
21. 如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的Q点有___个
22. （2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．
三、解 答 题（共5题；共54分）
23. 某校初三举行毕业典礼，需要从九（1）班2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树形图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自没有同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
24. 某校初三学生进行校运会广播体操比赛，如果排成方阵（即正方形），则多出6人；如果每排减4人，排数多6，则缺2人．问该校初三学生共有多少人？
25. 如图，△ABC中，EF∥BC，FD∥AB，AE=12，BE=18，AF=14，CD=24，求线段FC，EF的长．
26. 已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE长．
27. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ；
（2）求的值；
（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．
2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（共12小题；每小题3分,共36分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 方程5x2=x有两个没有相等的实数根
B. 方程x2﹣8=0有两个相等的实数根
C. 方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根
D. 当k＞时，方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个没有相等实数根
【正确答案】A
【详解】A. 方程5x2=x可变形为5x2−x=0，
∴△=(−1)2−4×5×0=1>0，
∴该方程有两个没有相等的实数根，A正确；
B. 在方程x2−8=0中,△=02−4×1×(−8)=32>0，
∴该方程有两个没有相等的实数根，B错误；
C. 在方程2x2−3x+2=0中,△=(−3)2−4×2×2=−7<0，
∴该方程没有实数根，C错误；
D. 如要方程(k−1)x2+2x−3=0有两个没有相等的实数根，则△>0且k−1≠0，
∴△=22−4×(k−1)×(−3)=12k−8>0，k−1≠0，
解得：k>23且k≠1，D错误．
故选A.
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个全等的三角形一定相似
B. 两个直角三角形一定相似
C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D. 相似的两个三角形没有一定全等
【正确答案】B
【分析】根据相似三角形的判定和性质依次分析各项即可判断．
【详解】A、两个全等的三角形一定相似，C、两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，D、相似的两个三角形没有一定全等，均正确，没有符合题意；
B、两个直角三角形的对应角没有一定相等，因而没有一定相似，故错误，本选项符合题意．
故选B．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的运用是初中数学平面图形知识里的，是中考中的常见知识点，但一般学生往往会把全等和相似看作两个完全没有相关的概念，却没有了解全等是相似的特例．
3. 顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）
A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【正确答案】B
【详解】∵E，H是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选B.
4. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
【正确答案】B
【分析】首先过点A作AD⊥MN，求出最短距离AD的长度，然后在MN上去点E、F，是AE=AF=200，求出DE的长度，根据DF=DE得出EF的长度，然后计算出时间.
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
5. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 7200（1+x）=8450 B. 7200（1+x）2=8450
C. 7200+x2=8450 D. 8450（1﹣x）2=7200
【正确答案】B
【详解】根据增长后的产量=增长前的产量(1+增长率)n，可列方程为: 7200（1+x）2=8450.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
6. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】C
【详解】如图，连接AC、CF，
∵在矩形ABCD和矩形CEFG中，BC=AD=2，∠B=∠E=90°，
∴AC2=AB2+BC2=12+22=5，CF2=CE2+EF2=32+62=45，
∵=， ==，
∴，
∴△ABC∽△CEF，
∴∠ACB=∠CFE，
∵∠ECF+∠CFE=90°，
∴∠ACB+∠ECF=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AF===5，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF=；
故选C．
7. 如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【详解】解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
8. 解一元二次方程x（x+3）=x得到它的根是（ ）
A. x=﹣3 B. x1=0或x2=﹣3 C. x=﹣2 D. x1=0或x2=﹣2
【正确答案】D
【详解】∵x（x+3）=x,
∴x（x+3）-x=0,
∴x（x+2）=0,
∴x1=0或x2=﹣2
故选D.
9. 某种药品原价为49元/盒，连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. 49（1﹣x）2=49﹣25 B. 49（1﹣2x）=25
C. 49（1﹣x）2=25 D. 49（1﹣x2）=25
【正确答案】C
【详解】试题分析：次降价后的价格为49×（1﹣x），两次连续降价后售价在次降价后的价格的基础上降低x，为49×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是49（1﹣x）2=25．故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10. 函数是（ ）
A. 函数 B. 二次函数 C. 反比例函数 D. 正比例函数
【正确答案】C
【分析】根据反比例函数定义判断即可．
【详解】函数是反比例函数．
故选C．
本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫反比例函数．
11. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
【正确答案】D
【分析】
【详解】解：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求得结果.
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵AD∶BD=1∶2
∴AD∶AB=1∶3
∴
∵
∴
故选D.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的边长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
12. 若反比例函数的图象点（m，3m），其中m≠0，则此反比例函数图象（ ）
A. 、三象限 B. 、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据点在曲线图上点坐标满足方程的关系，把（m，3m）代入，得，即，
∵ m≠0，∴k=3m2＞0．
∴反比例函数图象过、三象限．
故选A．
二、填 空 题（共10题；共30分）
13. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，BC=8cm，则DE=________．
【正确答案】4cm
【详解】∵点D是边AB中点，DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线.
∵BC=8cm，
∴DE=8÷2=4cm.
14. 一个口袋有15个白球和若干个黑球，在没有允许将球倒出来数的前提下，小明为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从袋中摸出10个球，求出白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，没有断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别是0.4，0.3，0.2，0.3，0.3，根据上述数据，小明估计口袋中大约有 ________个黑球．
【正确答案】35
【详解】15÷0.3-15=35（个）
点睛：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，发生的频率在某个固置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越．
15. 若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是______．
【正确答案】k≥﹣4
【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根根的判别式可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出k的取值范围．上面两者情况即可得出结论．
【详解】解：当k＝0时，
原方程可整理得：4x﹣1＝0，(符合题意)，
当k≠0时，
∵关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，
∴△＝16+4k≥0，
解得：k≥﹣4，
综上可知：k的取值范围为：k≥﹣4，
故答案为k≥﹣4．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16. 已知，则的值是_____．
【正确答案】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：由，
得，，
，
故答案为．
本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．
17. 当m=________时，方程（m+1）x +（m﹣3）x﹣1=0是一元二次方程．
【正确答案】1
【详解】依题意得：m2+1=2且m+1≠0，解得m=1.
故答案为1.
18. 方程的根是______．
【正确答案】，
【分析】先利用解一元二次方程的方法求解即可得出答案．
【详解】解：．
移项，得．
两边同时开方，得．
则，．
故，．
此题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
19. 反比例函数点（－2，1），则函数 的图象点（-1，_____）．
【正确答案】-3
【详解】点（－2，1）代入反比例函数有k=-2,所以函数，当x=-1时，y=-3.
20. 投影可分为________ 和________ ；一个立体图形，共有________ 种视图．
【正确答案】 ①. 平行投影 ②. 投影 ③. 三
【分析】根据投影的分类：平行投影与投影直接填写；根据立体图形三视图的概念直接填写即可．
【详解】投影可分为平行投影和投影；一个立体图形，共有三种视图．
本题考查投影分类及立体图形的三视图，属于最基础知识，牢记相关概念是解决问题的关键．
21. 如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的Q点有___个
【正确答案】5．
【详解】如图，符合条件的Q点有5个．
当BP=BQ时，在AB，BC边上各有1点；
当BP=QP时，可由锐角三角函数求得点P到AB的距离为2，到CD的距离为4，到BC的距离为，到AD的距离为，故在BC，CD，DA边上各有1点；
当BQ=PQ时，BP的中垂线与AB，BC各交于1点，故在AB，BC边上各有1点．
又当Q在BC边上时，由于△BPQ是等边三角形，故3点重合．
因此，符合条件的Q点有5个．
22. （2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．
【正确答案】或．
【详解】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN没有为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∵BC=20，
∴在Rt△ABC中，，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，
∴在Rt△CFE中，，.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴，
∴在Rt△ODE中，.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∴在Rt△MFE中，，
∵∠DEO=∠EMF，
∴，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，.
综上所述，DO的长是或.
故本题应填写：或.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中没有易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，没有过利用锐角三角函数相对简便.
三、解 答 题（共5题；共54分）
23. 某校初三举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树形图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自没有同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
【正确答案】（1）画树状图见解析.
（2）2名主持人来自没有同班级的概率为．
（3）2名主持人恰好1男1女的概率为．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由选出的是2名主持人来自没有同班级的情况，然后由概率公式即可求得；
（3）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，然后由概率公式即可求得.
【详解】解：（1）画树状图得：
共有20种等可能的结果.
（2）∵2名主持人来自没有同班级的情况有12种，
∴2名主持人来自没有同班级的概率为：；
（3）∵2名主持人恰好1男1女的情况有12种，
∴2名主持人恰好1男1女的概率为：=．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；注意概率=所求情况数与总情况数之比.
24. 某校初三学生进行校运会广播体操比赛，如果排成方阵（即正方形），则多出6人；如果每排减4人，排数多6，则缺2人．问该校初三学生共有多少人？
【正确答案】262人
【分析】设出排成方阵（正方形）时有x排，每一排则有x人，多出6人，由此表示出总人数；再由每排减4人，排数多6，则缺2人，表示出总人数，根据总人数相等得到方程，即可解答．
【详解】设排成方阵（正方形）时有x排，每一排则有x人，根据题意列方程得，
x2+6=（x-4）（x+6）-2，
解得x=16；
学生的总人数为：162+6=262（人）．
答：初三学生的总人数为262人．
本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系并列出方程是关键．
25. 如图，△ABC中，EF∥BC，FD∥AB，AE=12，BE=18，AF=14，CD=24，求线段FC，EF的长．
【正确答案】21.
【详解】试题分析：由EF∥BC，FD∥AB，可以得到△AEF∽△ABC∽△FDC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求出线段EF和FC的长.
解：∵EF∥BC，FD∥AB，
∴四边形EBDF是平行四边形，
∴EF=BD，DF=BE=18，
设EF=x，
∵EF∥BC，FD∥AB，
∴△AEF∽△ABC∽△FDC，
∴ ，即 ，
解得x=16，即EF=16，
FC=AC﹣AF=21．
26. 已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
（2）解：∵∠BAD＝60°，
∴，
∵∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝90°－30°＝60°，
∴∠AEF＝180°－∠EAO－∠AOE＝180°－30°－60°＝90°．
∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在Rt△CEF中，．
27. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ；
（2）求的值；
（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．
【正确答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1
【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；
（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy-x2=0，即，求出的值即可解决问题；
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，
在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，
故∠BAD+∠ACB=180°．
（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．
∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，
∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，
∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，
∴，∴ ，
∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，
∴（负根已经舍弃），∴ ．
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．
由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，
∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，
∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，
∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，
∴△PA′D∽△PBC，
∴，
∴，即
∴PC=1．
本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（将题中正确答案的序号填在题后的括号内。每小题3分，共18分）
1. 利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的根的情况是
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3. 抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是（ ）
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有点 D. y随x的增大而增大
4. 如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中没有能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D.
6. 如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
7. 一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是_____．
8. 若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 ________．
9. 已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n=_____．
10. 已知二次函数的图象上三点，，，则、、的大小关系是_____．
11. 烟花厂为2018年春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=+12t+0.1，若这种礼炮在点火升空到点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s．
12. 如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝的图象过点A，则k＝（ ）
A. 3 B. ﹣1.5 C. ﹣3 D. ﹣6
13. 如图是抛物线一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，没有等式的解集是______．
14. 如图，在ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=cm，则EF＋CF的长为_____cm．
三、解 答 题（每小题6分共24分）
15. 用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
16. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，求k的取值范围．
17. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①以坐标原点O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②作出△A1B1C1关于原点成对称的对称图形△A2B2C2．
（2）△A2B2C2中顶点B2坐标为 ．
18. 在一个没有透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．
（1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率；
（2）如果次随机摸出一个球（没有放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解）
四、解 答 题（每题8分。共16分）
19. 某地区2013年投入教育2500万元，2015年投入教育3025万元.
（1）求2013年至2015年该地区投入教育的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育多少万元.
20. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
五、解 答 题（每题9分，共18分）
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当时，自变量x取值范围．
六、解 答 题（每题10分，共20分）
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
24. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．
2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（将题中正确答案的序号填在题后的括号内。每小题3分，共18分）
1. 利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】用“配方法”解方程的过程如下：
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
两边同时加上，得：，
∴.
故选B.
2. 一元二次方程的根的情况是
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【正确答案】D
【分析】由根的判别式△判断即可．
【详解】解：△=b2-4ac=(-4)2-4×5=-4＜0，方程没有实数根．
故选择D．
本题考查了一元二次方程根与判别式的关系．
3. 抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是（ ）
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有点 D. y随x的增大而增大
【正确答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质解题．
【详解】抛物线y＝2x2， y＝x2 开口向上，对称轴是对称轴是y轴，有点，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，y＝－2x2，开口向下，对称轴是对称轴是y轴，有点，在y轴的左侧，y随x的增大而增大，
故抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是对称轴是y轴，
故选：B．
本题考查二次函数图象性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4. 如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】如图，由题意可设抛物线的解析式为，
∵由题意可知点A、B的坐标分别为（-5，-4）、（5，-4），且抛物线过点A、B，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为.
故选C.
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中没有能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D.
【正确答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项没有符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项没有符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项没有符合题意；
D、当=时，没有能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选D．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6. 如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，然后利用弧长计算公式求解，则劣弧BC的长是： =．
故选B．
考点：1、弧长的计算；2、圆周角定理
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
7. 一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是_____．
【正确答案】x1=﹣1，x2=2
【详解】解：方程可化为：，
∴或，
∴.
故答案为.
8. 若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 ________．
【正确答案】4
【分析】与x轴交点就是令y=0求解即可
【详解】解：，
令y=0，，
解得：，
所以A（-1，0），B（3，0），
所以AB=4，
故4．
本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，解题关键是熟练运用解一元二次方程求出抛物线与x轴交点坐标．
9. 已知P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，则m+n=_____．
【正确答案】-3
【详解】∵P（m+2，3）和Q（2，n﹣4）关于原点对称，
∴ ，解得： ，
∴m+n=-4+1=-3.
故答案为-3.
点睛：若点P（a，b）和点Q(m，n)关于原点对称，则：a+m=0，b+n=0.
10. 已知二次函数的图象上三点，，，则、、的大小关系是_____．
【正确答案】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故答案为．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
11. 烟花厂为2018年春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=+12t+0.1，若这种礼炮在点火升空到点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s．
【正确答案】4
【详解】∵，
∴当时，礼炮升到点，即从点火到引爆需要4秒钟.
故答案为4.
12. 如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝的图象过点A，则k＝（ ）
A. 3 B. ﹣1.5 C. ﹣3 D. ﹣6
【正确答案】C
【分析】根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出等量关系|k|=3，再根据图象所在的象限即可求出k的值．
【详解】解：解：依题意，有|k|=3，
∴k=±3，
又∵图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k=-3．
故选C．
此题考查了反比例函数比例系数k几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
13. 如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，没有等式的解集是______．
【正确答案】或
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为x＜﹣1或x＞3．
本题考查的是二次函数与没有等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形的思想方法．
14. 如图，在ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=cm，则EF＋CF的长为_____cm．
【正确答案】5
【详解】分析：∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD．
∵ABCD中，AB∥DC，∴∠FAD =∠AEB．∴∠BAF=∠AEB．
∴△BAE是等腰三角形，即BE=AB=6cm．
同理可证△CFE也是等腰三角形，且△BAE∽△CFE．
∵BC= AD=9cm，∴CE=CF=3cm．∴△BAE和△CFE的相似比是2：1．
∵BG⊥AE， BG=cm，∴由勾股定理得EG=2cm．∴AE=4cm．∴EF=2cm．
∴EF＋CF=5cm．
三、解 答 题（每小题6分共24分）
15. 用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
【正确答案】x1= ，x2=
【详解】试题分析：
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再按“公式法”解一元二次方程的一般步骤解答即可.
试题解析：
方程化为一般形式，得3x2+10x+5=0，
∵a=3，b=10，c=5，
∴b2﹣4ac=102﹣4×3×5=40，
∴，
∴.
16. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，求k的取值范围．
【正确答案】k＝．
【分析】根据判别式的意义得到△=0，即[-2（k-1）]2-4k2=0，解方程即可得到k的值．
【详解】∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2＝0，
解得k＝．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
17. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①以坐标原点O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C1；
②作出△A1B1C1关于原点成对称的对称图形△A2B2C2．
（2）△A2B2C2中顶点B2坐标为 ．
【正确答案】(1)见解析；（2）（1，6）
【详解】试题分析：
（1）①连接OA，过点O第三象限作A1O⊥AO，使A1O=AO即可得到点A1，同法作出点B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；②连接A1O并延长到A2，使A2O=A1O即可得到点A2，同法作出点B2、C2，再顺次连接这三点即可.
（2）根据（1）中所画图形，写出点B2的坐标即可.
试题解析：
（1）①如下图所示：△A1B1C1，即为所求三角形；
②如下图所示：△A2B2C2，即为所求三角形；
（2）如下图，△A2B2C2中顶点B2坐标为：（1，6）．
故答案为（1，6）．
．
18. 在一个没有透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．
（1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸出红球的概率；
（2）如果次随机摸出一个球（没有放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解）
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：
（1）由题意可知共有3种等可能结果出现，其中是红球的占了2种，由此即可得到所求概率为；
（2）由题意画出符合要求的树状图，根据树状图得到所有等可能的结果的种类，并找出两次都是红球的出现次数，即可得到所求概率.
试题解析：
（1）∵在一个没有透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，
∴摸出红球的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况，
∴两次都摸到红球的概率为：．
四、解 答 题（每题8分。共16分）
19. 某地区2013年投入教育2500万元，2015年投入教育3025万元.
（1）求2013年至2015年该地区投入教育的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育多少万元.
【正确答案】10%；3327.5万元
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育数额，即可列出方程求解．
（2）利用2016年的×（1+增长率）即可．
【详解】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为．
则，
解得（没有合题意舍去）．
答：这两年投入教育的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育3327.5万元．
20. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）；（2）菱形
【分析】（1）由旋转的性质可得出，再由三角形的内角和可求出，因此可证出是等边三角形，得到，即可解决问题；
（2）根据题意，证明，再证明，得到，即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意可得：
∵，
∴
∴是等边三角形
∴
（2）∵为等边三角形
∴
∵
∴
由题意得：，
∵是的中点
∴
∴
∴四边形是菱形
本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．
五、解 答 题（每题9分，共18分）
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
【正确答案】（1）见解析（2）2：3
【分析】（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
【详解】解：（1）证明：连接DO，
∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO．
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS）．
∴∠CDO=∠CBO=90°.
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.
（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB．
∵DE=2BC，∴ED=2CD．
∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．
∴AD：OC=DE：CE=2：3．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当时，自变量x的取值范围．
【正确答案】（1）， ；（2）；（3）．
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入函数解析式中求出a与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，，计算即可；
（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．
【详解】（1）∵A（﹣2，1），
∴将A坐标代入反比例函数解析式中，得，
∴反比例函数解析式为，
将B坐标代入，得，
∴B坐标（1，﹣2），将A与B坐标代入函数解析式中，得：，解得，
∴函数解析式为；
（2）设直线AB与y轴交于点C，令x=0，得y=﹣1，
∴点C坐标（0，﹣1），
∵==；
（3）由图象可得，当时，自变量x的取值范围．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
六、解 答 题（每题10分，共20分）
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
【正确答案】(1)10cm；(2) 当0≤t≤时，DE=t, 当＜t≤10时，DE=（10﹣t）=﹣t+；(3) t=；(4) 当0＜t≤时，S=t2，当≤t＜10时，S=（10﹣t）2．
【分析】（1）根据已知条件由“勾股定理”易得：AC=10cm；
（2）如图1和图2需分点E在AB上和BC上两种情况，相似三角形的性质即可求得对应的DE的长；
（3）如图3，由已知易证△CGF∽△CBA，从而可用含“t”的式子表达出GC的长，AD+DG+GC=BC=10及AD=t，DG=DE=t，即可求得对应的t的值；
（4）（2）、（3）可知当0＜t≤时，重叠部分就是正方形DEFG；当≤t＜10时，重叠部分是四边形DEMG；由已知条件分以上两种情况进行解答即可．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
根据勾股定理得：AC=10cm；
（2）分两种情况考虑：如图1所示，
过B作BH⊥AC，
∵S△ABC=AB·BC=AC•BH，
∴BH=，AH=，
∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABH，
∴，即 ，
解得：DE=，
则当0≤t≤时，DE=；
如图2所示，
同理得到△CED∽△CBH，
∴，即 ，
解得：DE=（10﹣t）=﹣，
则当＜t≤10时，DE=（10﹣t）=﹣；
（3）如图3所示，
如图3，当点F刚好落BC边上时，
∵∠C=∠C，∠EGC=∠ABC=90°，
∴△FGC∽△ABC，
∴，即 ，
∴GC=，
∵AD+DG+GC=AC=10，
∴，解得：；
（4）如图1所示，当0＜t≤时，S=DE2=；
如图2所示，当≤t＜10时，
∵EF∥CG，
∴△EFM∽△CGM∽△CBA，
∴，即 ，
解得：FM=，
∴S=S正方形DEFG-S△EFM
=DE2-DE·FM
=．
本题考查相似三角形的动态几何问题，掌握相似三角形的判定与性质，灵活分类讨论是解题关键．
24. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．
【正确答案】(1) y=﹣x+3;(2)m=2;(3)
【详解】试题分析：
（1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c列出方程组求得b、c的值即可得到抛物线的解析式，在所得抛物线的解析式中，由y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得B的坐标；有B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线BC的解析式；
（2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形可得，CM∥x轴，由点C的坐标（0，3）可得点M的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式解得x的值即可得到m的值；
（3）由已知把M、N的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出MN的长，根据题意可得MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得m的值.
试题解析：
（1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得，解得 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴点B的坐标（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
（2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，
∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3，
把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2，
∵点M没有能与点C重合，
∴点P的横坐标为m=2．
（3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，P的横坐标为m
∴M（m，﹣m2+2m+3），
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3．
∴N（m，﹣m+3），
∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，
∴MN=OC=3，
∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2﹣3m+3=0，无解，
或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化简得m2﹣3m﹣3=0，
解得m=，
∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，m的值为．
点睛：（1）解第2小题的关键是由“△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形”∠MNC是锐角可得∠NMC=90°，从而得到CM∥x轴；（2）解第3小题的关键是由“以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形”得到MN是OC的对边，从而得到MN=OC=3，这样即可列出关于“m”的方程解得m的值了.
2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（共12小题；每小题3分,共36分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 方程5x2=x有两个没有相等的实数根
B. 方程x2﹣8=0有两个相等的实数根
C. 方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根
D. 当k＞时，方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个没有相等的实数根
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个全等三角形一定相似
B. 两个直角三角形一定相似
C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D. 相似的两个三角形没有一定全等
3. 顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）
A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
5. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 7200（1+x）=8450 B. 7200（1+x）2=8450
C. 7200+x2=8450 D. 8450（1﹣x）2=7200
6. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A. B. C. D. 2
7. 如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
8. 解一元二次方程x（x+3）=x得到它的根是（ ）
A. x=﹣3 B. x1=0或x2=﹣3 C. x=﹣2 D. x1=0或x2=﹣2
9. 某种药品原价为49元/盒，连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A 49（1﹣x）2=49﹣25 B. 49（1﹣2x）=25
C. 49（1﹣x）2=25 D. 49（1﹣x2）=25
10. 函数是（ ）
A. 函数 B. 二次函数 C. 反比例函数 D. 正比例函数
11. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
12. 若反比例函数的图象点（m，3m），其中m≠0，则此反比例函数图象（ ）
A. 、三象限 B. 、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
二、填 空 题（共10题；共30分）
13. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，BC=8cm，则DE=________．
14. 一个口袋有15个白球和若干个黑球，在没有允许将球倒出来数的前提下，小明为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从袋中摸出10个球，求出白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，没有断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别是0.4，0.3，0.2，0.3，0.3，根据上述数据，小明估计口袋中大约有 ________个黑球．
15. 若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是______．
16. 已知，则的值是_____．
17. 当m=________时，方程（m+1）x +（m﹣3）x﹣1=0是一元二次方程．
18. 方程的根是______．
19. 反比例函数点（－2，1），则函数 的图象点（-1，_____）．
20. 投影可分________ 和________ ；一个立体图形，共有________ 种视图．
21. 如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的Q点有___个
22. （2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．
三、解 答 题（共5题；共54分）
23. 某校初三举行毕业典礼，需要从九（1）班2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树形图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自没有同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
24. 某校初三学生进行校运会广播体操比赛，如果排成方阵（即正方形），则多出6人；如果每排减4人，排数多6，则缺2人．问该校初三学生共有多少人？
25. 如图，△ABC中，EF∥BC，FD∥AB，AE=12，BE=18，AF=14，CD=24，求线段FC，EF的长．
26. 已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE长．
27. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ；
（2）求的值；
（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．
2022-2023学年吉林省松原市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（共12小题；每小题3分,共36分）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 方程5x2=x有两个没有相等的实数根
B. 方程x2﹣8=0有两个相等的实数根
C. 方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根
D. 当k＞时，方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个没有相等实数根
【正确答案】A
【详解】A. 方程5x2=x可变形为5x2−x=0，
∴△=(−1)2−4×5×0=1>0，
∴该方程有两个没有相等的实数根，A正确；
B. 在方程x2−8=0中,△=02−4×1×(−8)=32>0，
∴该方程有两个没有相等的实数根，B错误；
C. 在方程2x2−3x+2=0中,△=(−3)2−4×2×2=−7<0，
∴该方程没有实数根，C错误；
D. 如要方程(k−1)x2+2x−3=0有两个没有相等的实数根，则△>0且k−1≠0，
∴△=22−4×(k−1)×(−3)=12k−8>0，k−1≠0，
解得：k>23且k≠1，D错误．
故选A.
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 两个全等的三角形一定相似
B. 两个直角三角形一定相似
C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D. 相似的两个三角形没有一定全等
【正确答案】B
【分析】根据相似三角形的判定和性质依次分析各项即可判断．
【详解】A、两个全等的三角形一定相似，C、两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，D、相似的两个三角形没有一定全等，均正确，没有符合题意；
B、两个直角三角形的对应角没有一定相等，因而没有一定相似，故错误，本选项符合题意．
故选B．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的运用是初中数学平面图形知识里的，是中考中的常见知识点，但一般学生往往会把全等和相似看作两个完全没有相关的概念，却没有了解全等是相似的特例．
3. 顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）
A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【正确答案】B
【详解】∵E，H是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选B.
4. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
【正确答案】B
【分析】首先过点A作AD⊥MN，求出最短距离AD的长度，然后在MN上去点E、F，是AE=AF=200，求出DE的长度，根据DF=DE得出EF的长度，然后计算出时间.
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
5. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 7200（1+x）=8450 B. 7200（1+x）2=8450
C. 7200+x2=8450 D. 8450（1﹣x）2=7200
【正确答案】B
【详解】根据增长后的产量=增长前的产量(1+增长率)n，可列方程为: 7200（1+x）2=8450.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
6. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】C
【详解】如图，连接AC、CF，
∵在矩形ABCD和矩形CEFG中，BC=AD=2，∠B=∠E=90°，
∴AC2=AB2+BC2=12+22=5，CF2=CE2+EF2=32+62=45，
∵=， ==，
∴，
∴△ABC∽△CEF，
∴∠ACB=∠CFE，
∵∠ECF+∠CFE=90°，
∴∠ACB+∠ECF=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AF===5，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF=；
故选C．
7. 如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【详解】解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
8. 解一元二次方程x（x+3）=x得到它的根是（ ）
A. x=﹣3 B. x1=0或x2=﹣3 C. x=﹣2 D. x1=0或x2=﹣2
【正确答案】D
【详解】∵x（x+3）=x,
∴x（x+3）-x=0,
∴x（x+2）=0,
∴x1=0或x2=﹣2
故选D.
9. 某种药品原价为49元/盒，连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. 49（1﹣x）2=49﹣25 B. 49（1﹣2x）=25
C. 49（1﹣x）2=25 D. 49（1﹣x2）=25
【正确答案】C
【详解】试题分析：次降价后的价格为49×（1﹣x），两次连续降价后售价在次降价后的价格的基础上降低x，为49×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是49（1﹣x）2=25．故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10. 函数是（ ）
A. 函数 B. 二次函数 C. 反比例函数 D. 正比例函数
【正确答案】C
【分析】根据反比例函数定义判断即可．
【详解】函数是反比例函数．
故选C．
本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫反比例函数．
11. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
【正确答案】D
【分析】
【详解】解：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求得结果.
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵AD∶BD=1∶2
∴AD∶AB=1∶3
∴
∵
∴
故选D.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的边长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
12. 若反比例函数的图象点（m，3m），其中m≠0，则此反比例函数图象（ ）
A. 、三象限 B. 、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据点在曲线图上点坐标满足方程的关系，把（m，3m）代入，得，即，
∵ m≠0，∴k=3m2＞0．
∴反比例函数图象过、三象限．
故选A．
二、填 空 题（共10题；共30分）
13. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，BC=8cm，则DE=________．
【正确答案】4cm
【详解】∵点D是边AB中点，DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线.
∵BC=8cm，
∴DE=8÷2=4cm.
14. 一个口袋有15个白球和若干个黑球，在没有允许将球倒出来数的前提下，小明为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从袋中摸出10个球，求出白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，没有断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别是0.4，0.3，0.2，0.3，0.3，根据上述数据，小明估计口袋中大约有 ________个黑球．
【正确答案】35
【详解】15÷0.3-15=35（个）
点睛：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，发生的频率在某个固置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越．
15. 若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是______．
【正确答案】k≥﹣4
【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根根的判别式可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出k的取值范围．上面两者情况即可得出结论．
【详解】解：当k＝0时，
原方程可整理得：4x﹣1＝0，(符合题意)，
当k≠0时，
∵关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，
∴△＝16+4k≥0，
解得：k≥﹣4，
综上可知：k的取值范围为：k≥﹣4，
故答案为k≥﹣4．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16. 已知，则的值是_____．
【正确答案】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：由，
得，，
，
故答案为．
本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．
17. 当m=________时，方程（m+1）x +（m﹣3）x﹣1=0是一元二次方程．
【正确答案】1
【详解】依题意得：m2+1=2且m+1≠0，解得m=1.
故答案为1.
18. 方程的根是______．
【正确答案】，
【分析】先利用解一元二次方程的方法求解即可得出答案．
【详解】解：．
移项，得．
两边同时开方，得．
则，．
故，．
此题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
19. 反比例函数点（－2，1），则函数 的图象点（-1，_____）．
【正确答案】-3
【详解】点（－2，1）代入反比例函数有k=-2,所以函数，当x=-1时，y=-3.
20. 投影可分为________ 和________ ；一个立体图形，共有________ 种视图．
【正确答案】 ①. 平行投影 ②. 投影 ③. 三
【分析】根据投影的分类：平行投影与投影直接填写；根据立体图形三视图的概念直接填写即可．
【详解】投影可分为平行投影和投影；一个立体图形，共有三种视图．
本题考查投影分类及立体图形的三视图，属于最基础知识，牢记相关概念是解决问题的关键．
21. 如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的Q点有___个
【正确答案】5．
【详解】如图，符合条件的Q点有5个．
当BP=BQ时，在AB，BC边上各有1点；
当BP=QP时，可由锐角三角函数求得点P到AB的距离为2，到CD的距离为4，到BC的距离为，到AD的距离为，故在BC，CD，DA边上各有1点；
当BQ=PQ时，BP的中垂线与AB，BC各交于1点，故在AB，BC边上各有1点．
又当Q在BC边上时，由于△BPQ是等边三角形，故3点重合．
因此，符合条件的Q点有5个．
22. （2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．
【正确答案】或．
【详解】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN没有为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∵BC=20，
∴在Rt△ABC中，，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，
∴在Rt△CFE中，，.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴，
∴在Rt△ODE中，.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∴在Rt△MFE中，，
∵∠DEO=∠EMF，
∴，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，.
综上所述，DO的长是或.
故本题应填写：或.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中没有易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，没有过利用锐角三角函数相对简便.
三、解 答 题（共5题；共54分）
23. 某校初三举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树形图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自没有同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
【正确答案】（1）画树状图见解析.
（2）2名主持人来自没有同班级的概率为．
（3）2名主持人恰好1男1女的概率为．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由选出的是2名主持人来自没有同班级的情况，然后由概率公式即可求得；
（3）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，然后由概率公式即可求得.
【详解】解：（1）画树状图得：
共有20种等可能的结果.
（2）∵2名主持人来自没有同班级的情况有12种，
∴2名主持人来自没有同班级的概率为：；
（3）∵2名主持人恰好1男1女的情况有12种，
∴2名主持人恰好1男1女的概率为：=．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；注意概率=所求情况数与总情况数之比.
24. 某校初三学生进行校运会广播体操比赛，如果排成方阵（即正方形），则多出6人；如果每排减4人，排数多6，则缺2人．问该校初三学生共有多少人？
【正确答案】262人
【分析】设出排成方阵（正方形）时有x排，每一排则有x人，多出6人，由此表示出总人数；再由每排减4人，排数多6，则缺2人，表示出总人数，根据总人数相等得到方程，即可解答．
【详解】设排成方阵（正方形）时有x排，每一排则有x人，根据题意列方程得，
x2+6=（x-4）（x+6）-2，
解得x=16；
学生的总人数为：162+6=262（人）．
答：初三学生的总人数为262人．
本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系并列出方程是关键．
25. 如图，△ABC中，EF∥BC，FD∥AB，AE=12，BE=18，AF=14，CD=24，求线段FC，EF的长．
【正确答案】21.
【详解】试题分析：由EF∥BC，FD∥AB，可以得到△AEF∽△ABC∽△FDC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求出线段EF和FC的长.
解：∵EF∥BC，FD∥AB，
∴四边形EBDF是平行四边形，
∴EF=BD，DF=BE=18，
设EF=x，
∵EF∥BC，FD∥AB，
∴△AEF∽△ABC∽△FDC，
∴ ，即 ，
解得x=16，即EF=16，
FC=AC﹣AF=21．
26. 已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
（2）解：∵∠BAD＝60°，
∴，
∵∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝90°－30°＝60°，
∴∠AEF＝180°－∠EAO－∠AOE＝180°－30°－60°＝90°．
∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在Rt△CEF中，．
27. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ；
（2）求的值；
（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．
【正确答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1
【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；
（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy-x2=0，即，求出的值即可解决问题；
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，
在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，
故∠BAD+∠ACB=180°．
（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．
∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，
∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，
∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，
∴，∴ ，
∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，
∴（负根已经舍弃），∴ ．
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．
由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，
∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，
∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，
∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，
∴△PA′D∽△PBC，
∴，
∴，即
∴PC=1．
本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题．
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