2022-2023学年河南省南阳市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年河南省南阳市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共54页。试卷主要包含了选一选，三象限B. ，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省南阳市九年级上册数学期末专项提升模拟题
（A卷）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】

A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
2. 如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝(　　)

A. 54° B. 72° C. 108° D. 144°
3. 在体检中，12名同学的血型结果为：A型3人，B型3人，AB型4人，O型2人，若从这12名同学中随机抽出2人，这两人的血型均为O型的概率为(　　)
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）

A. 3 B. C. D. 2
5. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )

A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
6. 已知一个直角三角形两条直角边的长恰好是方程x2-3x=4(x-3)的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是(　　)
A. 3 B. 4 C. 6 D. 2.5
7. 下列4个图形中，是对称图形但没有是轴对称图形是（）
A B. C. D.
8. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
9. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两个没有相等的实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是(　　)
A. －1 B. 3 C. 3或－1 D. －3或1
10. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）


A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 点(-2，5)关于原点对称的点的坐标是____．
12. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____．
13. 从－ ，0， ，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是________．
14. 已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣8，y1），B（﹣5，y2），则y1_____y2．（填“＞”“＜”或“=”）
15. 已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB度数为________．
16. 如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为________．

17. 如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为______．

18. 如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝________．

三、解 答 题(共8题，共96分)
19. 用适当的方法解下列方程：
(1)3x(x＋3)＝2(x＋3); (2)2x2－6x－3＝0.
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；
（2）求出点B旋转到点B1所的路径长．
21. 在一个没有透明的口袋中装有3个带号码的球，球号分别为2，3，4，这些球除号码没有同外其它均相同．甲、乙、两同学玩摸球游戏，游戏规则如下：
先由甲同学从中随机摸出一球，记下球号，并放回搅匀，再由乙同学从中随机摸出一球，记下球号．将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的作为个位上的数．若该两位数能被4整除，则甲胜，否则乙胜.
问：这个游戏公平吗？请说明理由．
22. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.

(1)判断DF与是⊙O的位置关系，并证明你的结论．
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
24. 为了落实的指示，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场发现，该产品每天的量y（千克）与价x（元/千克）有如下关系：y=﹣x+60．设这种产品每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品价定为每千克多少元时，每天的的利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的价没有能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克多少元？
25. 已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC；
当三角板绕点C旋转到CD与OA没有垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若没有成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，没有需证明．

26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积？并求出面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．









2022-2023学年河南省南阳市九年级上册数学期末专项提升模拟题
（A卷）
一、选一选（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 二次函数的图象如图，则函数的图象【 】

A. 、二、三象限 B. 、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 、三、四象限
【正确答案】C

【详解】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣＞0，＜0．∴＜0，
∴函数的图象二、三、四象限．故选C．
2. 如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝(　　)

A. 54° B. 72° C. 108° D. 144°
【正确答案】B

【详解】连接AO,BO,∠P=36°，所以∠AOB=144°，所以∠ACB=72°.故选B.
3. 在体检中，12名同学的血型结果为：A型3人，B型3人，AB型4人，O型2人，若从这12名同学中随机抽出2人，这两人的血型均为O型的概率为(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据题意可知，此题是没有放回实验，一共有12×11=132种情况，两人的血型均为O型的有两种可能性，从而可以求得相应的概率．
【详解】解：由题意可得，
P(A)=，
故选A.
本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）

A. 3 B. C. D. 2
【正确答案】A

【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．
∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°．
∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．
∵AD=6，∴AB=AD=3．
故选A．
5. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B

【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-3x=4(x-3)的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是(　　)
A. 3 B. 4 C. 6 D. 2.5
【正确答案】D

【分析】
【详解】x2-3x=4(x-3)，
x2-7x+12=0
（x-3(x-4)=0，
解得，x1=3，x2=4.
由勾股定理知，斜边是5，所以斜边上中线是2.5.
故选：D.
7. 下列4个图形中，是对称图形但没有是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
【详解】A、没有是轴对称图形，是对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项错误；
C、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，也是对称图形，没有符合题意，故此选项错误．
故选A．
此题主要考查了轴对称图形和对称图形，掌握好对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与原图重合．
8. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【详解】解：∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）．
∴得到的抛物线的解析式为．
故选B．
9. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两个没有相等的实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是(　　)
A. －1 B. 3 C. 3或－1 D. －3或1
【正确答案】B

【详解】试题解析：根据题意得△=（2m+3）2-4m2＞0，解得m＞-；
根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，
则2m+3=m2，
整理得m2-2m-3=0，即（m-3）（m+1）=0，
解得m1=3，m2=-1，
则m=3．故选B
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．
10. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）


A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
【正确答案】A

【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°，
由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．
故选A．
二、填 空 题(每小题3分，共24分)
11. 点(-2，5)关于原点对称的点的坐标是____．
【正确答案】

【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
点关于原点过对称的点的坐标是．
故．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，解题的关键是掌握平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
12. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____．
【正确答案】.x1＝－3，x2＝2

【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)，(2,0)，
∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程的解为
故
13. 从－ ，0， ，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是________．
【正确答案】

【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】根据无理数的意义和特点，可知无理数有－和π，故可求得抽到无理数的概率是.
故答案为.
此题主要考查了无理数的定义以及概率公式的应用，正确把握概率公式是解题关键．
14. 已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣8，y1），B（﹣5，y2），则y1_____y2．（填“＞”“＜”或“=”）
【正确答案】＜

【详解】函数对称轴方程是x=1,函数开口向下，所以x<0,y随x增大而增大.
y1＜y2.
故答案为<.
15. 已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB度数为________．
【正确答案】15°或105°

【详解】如图1中，∠BAC=∠-∠BAO=60°-45°=15°，

如图2中，∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°+15°=105°，

故答案为15或105．
16. 如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为________．

【正确答案】9

【详解】试题分析：如图：连接OG，∵BD=10，DF=4，∴⊙O的半径r=OD+DF=BD+DF=×10+4=9，∴OG=9，在Rt△GOD与Rt△ADO中，OD=OD，AO=GD，∠AOD=∠GDO=90°，∴△AOD≌△GDO，∴OG=AD=9，故答案为9．

考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．矩形的性质；5．几何图形问题．
17. 如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为______．

【正确答案】

【详解】试题解析：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，
∴OB= =，sin∠AOB=，∠AOB=30°．
同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．
∴∠AOC=∠AOB+（180°-∠COD）=30°+180°-60°=150°．
在△AOB和△OCD中，有 ,
∴△AOB≌△OCD（SSS）．
∴S阴影=S扇形OAC．
∴S扇形OAC=πR2=π×22=π．
本题考查了全等三角形的判定、解直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影=S扇形OAC．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据拆补法将没有规则的图形变成规则的图形，再套用规则图形的面积公式进行计算即可．
18. 如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝________．

【正确答案】32017

【详解】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线L相切，
∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，
∵∠AOO1=30°，
∴OO1=2O1A=2r1=2，
在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，
∴r2=3，
在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，
∴r3=9=32，
同理可得r4=27=33，
所以r2018=32017．
故答案为32017．

三、解 答 题(共8题，共96分)
19. 用适当的方法解下列方程：
(1)3x(x＋3)＝2(x＋3); (2)2x2－6x－3＝0.
【正确答案】(1) x1=-3，x2=;(2)

【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.
【详解】解：（1）3x(x＋3)＝2(x＋3)，
3x(x＋3)-2(x＋3)＝0，
(x＋3)(3x-2)＝0，
(x＋3)=0或(3x-2)＝0，
∴x1=-3，x2=.
（2）2x2－6x－3＝0，
a=2，b=-6，c=-3，
△=，
∴ ，
∴.
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；
（2）求出点B旋转到点B1所路径长．
【正确答案】（1）见解析；（2）π．

【详解】试题分析：（1）根据旋转的性质，可得答案；
（2）根据线段旋转，可得圆弧，根据弧长公式，可得答案．
解：（1）如图：
；
（2）如图2：
，
OB==2，
点B旋转到点B1所的路径长=π．
考点：作图-旋转变换．
21. 在一个没有透明的口袋中装有3个带号码的球，球号分别为2，3，4，这些球除号码没有同外其它均相同．甲、乙、两同学玩摸球游戏，游戏规则如下：
先由甲同学从中随机摸出一球，记下球号，并放回搅匀，再由乙同学从中随机摸出一球，记下球号．将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的作为个位上的数．若该两位数能被4整除，则甲胜，否则乙胜.
问：这个游戏公平吗？请说明理由．
【正确答案】这个游戏没有公平，理由见解析．

【分析】用列表法或树状图法求出两位数的个数和两位数能被4整除的个数，从而求出甲胜和乙胜的概率，比较两概率是否相等，得出结论．
【详解】根据题意列出表格如下：
 
2
3
4
2
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（2，4）
（3，4）
（4，4）
共有9种可能.22，23，24，32，33，34，42，43，44
能被4整除有：24，32，44，
∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．
∵P（甲胜）≠P（乙胜），
∴这个游戏没有公平．
22. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月至多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果没有能，请问至少需要增加几名业务员？
【正确答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．

【详解】试题分析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司没有能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
试题解析：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
(1＋x)2＝1.21，1＋x＝±1.1，
x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(没有合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
(2) ∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员没有能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2.
答：至少需要增加2名业务员．

23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.

(1)判断DF与是⊙O的位置关系，并证明你的结论．
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
【正确答案】（1）详见解析；（2）4π－8.

【详解】试题分析：（1）连OD，AD,利用OD∥AC证明OD⊥DF.(2)利用扇形面积减去三角形面积求阴影部分面积.
试题解析：
（1）相切．证明：如图，连OD，AD，

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，∴D是BC的中点，
∵OA=OB∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线.
(2)解：∵∠CDF＝22.5°，DF⊥AC，∴∠C＝67.5°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝45°
连接OE，则∠BOE＝2∠BAC＝90°，∴∠AOE＝90°,
∴S阴影＝×4×4＝4π－8.
24. 为了落实的指示，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场发现，该产品每天的量y（千克）与价x（元/千克）有如下关系：y=﹣x+60．设这种产品每天的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品价定为每千克多少元时，每天的的利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的价没有能高于每千克35元，该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克多少元？
【正确答案】（1）w=﹣x2+80x﹣1200；（2）答：该产品价定为每千克40元时，每天利润，利润400元．（3）该农户想要每天获得300元的利润，价应定为每千克30元．

【详解】试题分析：依据“利润=售价﹣进价”可以求得y与x之间的函数关系式，然后利用函数的增减性确定“利润”．
解：（1）y=（x﹣20）w
=（x﹣20）（﹣2x+80）
=﹣2x2+120x﹣1600，
∴y与x的函数关系式为：
y=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2x2+120x﹣1600
=﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x=30时，y有值200，
∴当价定为30元/千克时，每天可获利润200元；
（3）当y=150时，可得方程：
﹣2（x﹣30）2+200=150，
解这个方程，得
x1=25，x2=35，
根据题意，x2=35没有合题意，应舍去，
∴当价定为25元/千克时，该农户每天可获得利润150元．
考点：二次函数的应用．
25. 已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC；
当三角板绕点C旋转到CD与OA没有垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若没有成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，没有需证明．

【正确答案】图②中OD＋OE＝OC成立．证明见解析；图③没有成立，有数量关系：OE－OD＝OC

【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA没有垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；转化得到结论．
【详解】解：图②中OD＋OE＝OC成立．
证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.
有△CPD≌△CQE，
∴DP＝EQ，
∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，
又∵OP＋OQ＝OC，
即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，
∴OD＋OE＝OC.
图③没有成立，
有数量关系：OE－OD＝OC
过点C分别作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=OC，
∴OD，OE，OC满足OE-OD=OC．

本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都没有改变，两组对应点连线的交点是旋转．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积？并求出面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

【正确答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）点P时，S四边形APCD=；（3）当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．

【详解】试题分析：（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=﹣1， y=﹣+9=-+4x+5，
（2）当y=0时，-+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=-+4x+5+x﹣5=-+5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD=×AC×PD=2（-+5x）=-2+10x，
∴当x=时， ∴S四边形APCD=，
（3）如图，

过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，
∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
考点：（1）待定系数法求函数关系式；（2）函数极值额确定方法；（3）平行四边形的性质和判定



















2022-2023学年河南省南阳市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
第I卷（选一选）

评卷人
得分



一、单 选 题
1．已知A（﹣3，2）关于x轴对称点为A'，则点A'的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
2．下列算式正确的个数是（       ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．已知，，是抛物线上的点，则（       ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（　　）

A．55° B．45° C．35° D．25°
6．将抛物线如何平移可得到抛物线（       ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
7．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（     ）

A． B． C． D．
8． 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣2b＋c﹣3＝0；②9a﹣3b＋c＞0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝4有两个没有相等实数根；④b＝4a．其中正确的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选一选）

评卷人
得分



二、填 空 题
11．如图，⊙O是ABC的外接圆，∠OBC＝20°，则∠A=_______°．

12．抛物线y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是直线__
13．如图，在中，点在边上，，连接交于点，则与的长度之比为______．

14．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的方程的解为_______________ .

15．如图，矩形中，，，E是边的中点，点P在边上，设，若以点D为圆心，为半径的与线段只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是______．

评卷人
得分



三、解 答 题
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧网格的交点，，，请完成下列填空：

(1)请用尺规作图（没有写作法，保留作图痕迹）的方法作出该弧所在圆心点的位置；
(2)并写出圆心坐标是______，的半径是______；
(3)求弧的长．
18．已知二次函数的解析式是．

(1)用配方法将化成的形式；
(2)在直角坐标系中，画出它的图象；
(3)当为何值时，函数值；
(4)当时，观察图象直接写出函数值的取值的范围．
19．如图，中，顶点的坐标是，轴，交轴于点，顶点的纵坐标是-4，的面积是24．反比例函数的图象点和，求：

（1）反比例函数的表达式；（2）所在直线的函数表达式．
20．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边的长为米（要求），矩形的面积为平方米．

(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)要想使花圃的面积，边的长应为多少米？
21．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD＝∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB＝弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠D＝，求线段AF的长．

22．（1）如图1所示，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请填空： =_____（直接写出答案）；
（2）如图2所示，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，连接AO1，DC1，请你猜想线段AO1与DC1之间的数量关系，并证明之；
（3）如图3所示，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点B，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，则的值是否为定值？若是定值，请求出该值；若没有是定值，请简述理由．

23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0，3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP＇C，那么是否存在点P，使四边形POP＇C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，使△BPC的面积，求出点P的坐标和△BPC的面积值．


答案：
1．D

【分析】
根据对称的定义即可得出答案．
【详解】
解：∵A（﹣3，2）关于x轴对称点为A'，
∴点A'的坐标为：（﹣3，﹣2）．
故选：D．

本题考查的是对称，记住口诀：关于x轴对称x坐标没有变，关于y轴对称y坐标没有变．
2．A

【分析】
根据算术平方根，负整数指数幂，有理数的乘方，二次根式有意义的条件，合并同类项的计算法则求解判断即可．
【详解】
解：，故①计算错误，没有符合题意；
，故②计算正确，符合题意；
，故③计算错误，没有符合题意；
没有意义，故④计算错误，没有符合题意；
，故⑤计算错误，没有符而合题意；
故选：A．

本题主要考查了算术平方根，负整数指数幂，有理数的乘方，二次根式有意义的条件，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．C

【分析】
画出树状图即可求解.
【详解】
解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝；
故选C．

本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.
4．B

【分析】
先求出抛物线的对称轴，可得点关于对称轴的对称点为，再由抛物线开口向下，可得在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，即可求解．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为 ，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，
∵ ，
∴．
故选：B

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．C

【分析】
证出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．
【详解】
∵AB是的直径，




故选C.

本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．
6．B

【分析】
原抛物线的顶点为（0，0），平移后的抛物线顶点为（-4，-1），由顶点的平移规律确定抛物线的平移规律即可．
【详解】
解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2(x+4)2-1的顶点坐标为（-4，-1），
点（0，0）需要先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到点（-4，-1）．
故抛物线y=2x2先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=2(x+4)2-1．
故选B．

考查了二次函数图象与几何变换，在寻找图形的平移规律时，需要把图形的平移规律理解为某个点的平移规律．
7．B

【分析】
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】
解：如图，作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．

本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
8．C

【详解】
试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选C．

考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题
9．B

【分析】
过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，
当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，
∴PD=BD=x，
∴y=•x•x=；

当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，
∴PD=CD=4﹣x，
∴y=•（4﹣x）•x=，
故选B．

10．C

【分析】
根据顶点坐标即可判断①；当x＝﹣2时，y＝3，即可判断②；当x＝﹣3时，y＞0，即可判断③；根据对称轴即可判断④．
【详解】
解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，函数的值为3，
∴顶点为（﹣2，3），
∴4a﹣2b＋c＝3，
∴4a﹣2b＋c﹣3＝0，故①正确；
∵抛物线开口向下，且与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，
∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b＋c＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，顶点为（﹣2，3），
∴抛物线与直线y＝4没有交点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝4没有实数根，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a，故④正确；
故选：C．

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．70

【详解】
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=20°，OB=CO，
∴∠OCB=∠OBC=20°，
∴∠BOC=180°-20°-20°=140°，
∴∠A=70°，
故70
12．x=1．

【详解】
试题解析：y=a（x+1）（x-3）
=ax2-2ax-3a
由公式x=-得，
抛物线的对称轴为x=1．
考点：二次函数的性质．
13．

【分析】
先根据平行四边形的性质得到，再证明△ADF∽△EBF，得到，然后根据，推出，由此即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴△ADF∽△EBF，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．

本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
14．x1＝﹣3，x2＝1

【分析】
关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标，由此即可得到答案．
【详解】
∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=﹣3，x2=1．
故答案为x1=﹣3，x2=1．

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
15．x=或

【分析】
根据题意，当与AE相切时，由相似三角形的性质，可得：，从而求出x的值，当过点E时，x=PD=DE，当过点A时，x=PD=AD，进而求出x满足的条件.
【详解】
如图1，当与AE相切时，设切点为G，连接DG，
∵，
∴DG=DP=x，
∵∠DAG=∠AEB，∠AGD=∠B=90°，
∴∆AGD～∆EBA，
∴，
∴，解得：x=，
如图2，当过点E时，与线段AE有两个公共点，连接DE，此时，PD=DE=5，
∴x=PD=5
如图3，当过点A时，与线段AE有1个公共点，此时，PD=AD=6，
∴x=PD=6，
综上所述：当与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件是：x=或；
故答案是：x=或.

图1                                                                      图2

图3

本题主要考查圆的切线的性质和相似三角形的性质的综合，根据题意，画出图形，数形，是解题的关键.
16．,

【分析】
括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将角的三角函数值代入求出x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可．
【详解】
原式=
=
=
=，
当时，
原式．

本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算，角的三角函数值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)（2，0），
(3)

【分析】
（1）只需要作AB，BC的垂直平分线，两者的交点即为点D；
（2）根据（1）所作即可得到答案；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°，然后利用弧长公式求解即可．
(1)
解：如图所示，点D即为所求；

(2)
解：由（1）可知点D的坐标为（2，0），
∴，
故（2，0），；
(3)
解：如图所示，连接AD，CD，
∴，，
∴，
∴∠ADC=90°，
∴．


本题主要考查了坐标与图形，找圆心，勾股定理与勾股定理的逆定理，求弧长，正确找到圆心的位置是解题的关键．
18．(1)
(2)见解析
(3)或
(4)

【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）先列表，然后描点，连线即可；
（3）根据（2）中函数图象求解即可；
（4）根据（2）中函数图象求解即可．
(1)
解：由题意得：；
(2)
解：列表如下：


-1
0
1
2
3



0
-3
-4
-3
0


函数图象如下所示：

(3)
解：由（2）中函数图象可知当或时，；
(4)
解：由（2）中函数图象可知当时，．

本题主要考查了把二次函数化为顶点式，画二次函数图象，图象法解没有等式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
19．（1）；（2）

【分析】
(1)根据题意得出，平行四边形的面积得出，继而知点坐标，从而得出反比例函数解析式；
(2)先根据反比例函数解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得．
【详解】
(1)∵顶点的坐标是，顶点的纵坐标是-4，
∴，
又的面积是24，
∴，
则，
∴，
∴反比例函数解析式为；
(2)由题意知的纵坐标为-4，
∴其横坐标为-2，
则，
设所在直线解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以所在直线解析式为．

本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和函数解析式的方法．
20．(1)S=-2x2+36x(0＜x＜12)．
(2)AB边的长为9米

【分析】
（1）因为AB=x米，所以BC为（36-2x）米，由长方形的面积列式即可；
（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a（x-h）2+k，因为a=-2＜0抛物线开口向下，函数有值，即当x=h时，取得值．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，
∴CD=AB=x（米）．
∵矩形除AD边外的三边总长为36米，
∴BC=36-2x（米）．
∴S=x（36-2x）=-2x2+36x．
∵0＜x＜36-2x,
∴自变量x的取值范围是0＜x＜12．
(2)
∵S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，且x=9在0＜x＜12的范围内，
∴当x=9时，S取值．
即AB边的长为9米时，花圃的面积．

本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有值．求（小）值有三种方法，种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比用公式法简便．
21．(1)见解析；（2）.

【分析】
（1）连接OC，BC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据弧CB＝弧CE得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】

（1）证明：连接OC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠1+∠3＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2．
∵∠DCB＝∠BAC＝∠1．
∴∠DCB+∠3＝90°．
∴OC⊥DF．
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OCD中，OC＝3，sinD＝．
∴OD＝5，AD＝8．
∵弧CB＝弧CE，
∴∠2＝∠4．
∴∠1＝∠4．
∴OC∥AF．
∴△DOC∽△DAF．
∴=．
∴AF＝．

本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（1）；（2）（3）

【分析】
（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质计算即可；
（2）根据旋转变换的性质得到∠ABO=∠O1B，C1，根据正方形的性质得到，证明△ABO1∽△DBC1，根据相似三角形的性质解答；
（3）根据正弦的定义和矩形的性质证明△AEB∽△DFB，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，△AOD是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为；
（2）∵△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，
∴∠ABO=∠O1BC1，
∴∠ABO1=∠DBC1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，又，
∴，又∠ABO1=∠DBC1，
∴△ABO1∽△DBC1，
∴；
（3）在Rt△EBF中，∠EBF=30°，
∴=，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，
∴，
∴，
∵∠EBF=∠ABD，
∴∠EBA=∠FBD，
∴△AEB∽△DFB，
∴．
23．（1）二次函数的表达式为；（2）存在，P点的坐标为；（3）点P的坐标为，的面积值为．

【分析】
（1）根据待定系数法，可求得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的关系，可得答案；
（3）根据面积的和，可得二次函数，根据二次函数的性质即可求出答案．
【详解】
（1）将B、C两点坐标代入得，解得
所以二次函数的表达式为．
（2）如图，

存在点P，使四边形POP＇C为菱形．
设P点坐标为，PP＇交CO于E，
若四边形POP＇C是菱形，则有PC=PO．
连接PP＇则于E
OE=CE=，
．
，解得，（没有合题意，舍去）
P点的坐标为
（3）如图，

过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P，易得，直线BC的解析式为，则点Q的坐标为．

当时，的面积，此时点P的坐标为，的面积值为．

本题考查了二次函数综合，利用待定系数法求函数的解析式；利用菱形的性质以及利用面积的和得出二次函数是解题的关键．