人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式当堂检测题

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1.已知x＞－2，则x＋ eq \f(4,x＋2) 的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．当0＜x＜2时，x(2－x)的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
3．设m＞0，n＞0，且m＋2n＝1，则 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) 的最小值为( )
A．4 B．3＋ eq \r(2)
C．3＋2 eq \r(2) D．6
4．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为m1，m2，则下列结论正确的是( )
A.m1＝m2 B．m1＞m2
C．m2＞m1 D．m1，m2的大小无法确定
5．(多选)已知正数a，b满足2a＋b＝1，则( )
A.ab的最大值为 eq \f(1,8)
B．4a2＋b2的最小值为 eq \f(1,2)
C． eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) 的最小值为8
D．a＋ eq \f(1,a) 的最小值为2
6．已知x，y>0，且满足 eq \f(x,3) ＋ eq \f(y,4) ＝1，则xy的最大值为________．
7．若a，b>0，且ab＝a＋b，则a＋4b的最小值是________．
8．已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2，
(1)求 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) 的最小值；
(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值．
9.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则 eq \f(a,a＋b) 有( )
A．最大值 eq \f(1,5) B．最小值 eq \f(1,5)
C．最大值 eq \f(1,4) D．最小值 eq \f(1,4)
10．(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.ab≥ eq \f(1,4) B．a2＋b2≥ eq \f(1,2)
C． eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≥ eq \r(2) D． eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,b＋1) ≥ eq \f(4,3)
11．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则当a＝________时， eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(4,a＋b) 的最小值为________．
12．在抗击疫情中，某市根据需要迅速启动“方舱医院”建设，在方舱医院中建设1000个长方体形状、高度恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元．为了充分利用资源，每个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，正面用木质纤维板隔离，每米造价60元，两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元．设每个房间正面木质纤维板长度为x米，一侧面高密度合成板的长度为y米．
(1)用x，y表示每个房间造价W；
(2)当每个房间面积最大时，求x的值．
13.已知x＞0，y＞0，若不等式 eq \f(1,x) ＋ eq \f(3,y) ≥ eq \f(m,2x＋y) 恒成立，则m的最大值是________．
课时作业(十一) 基本不等式的应用
1．解析：因为x＞－2，所以x＋2＞0，
所以x＋ eq \f(4,x＋2) ＝x＋2＋ eq \f(4,x＋2) －2≥2 eq \r(（x＋2）·\f(4,x＋2)) －2＝2，
当且仅当x＋2＝ eq \f(4,x＋2) ，即x＝0时取等号，
所以x＋ eq \f(4,x＋2) 的最小值为2.
答案：A
2．解析：∵0＜x＜2，∴2－x＞0，又x＋(2－x)＝2，
∴x(2－x)≤ eq \f([x＋（2－x）]2,4) ＝1，当且仅当x＝2－x，即x＝1时等号成立，
所以x(2－x)的最大值为1.
答案：B
3．解析：由 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) ＝( eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) )(m＋2n)＝3＋ eq \f(2n,m) ＋ eq \f(m,n) ≥3＋2 eq \r(\f(2n,m)·\f(m,n)) ＝3＋2 eq \r(2) ，当且仅当m＝ eq \r(2) n＝ eq \r(2) －1时等号成立．
答案：C
4．解析：根据题意可得m1＝ eq \f(20＋20,\f(20,a)＋\f(20,b)) ＝ eq \f(2ab,a＋b) ≤ eq \f(2ab,2\r(ab)) ＝ eq \r(ab) ，当且仅当a＝b时等号成立，
m2＝ eq \f(6a＋6b,12) ＝ eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) ，当且仅当a＝b时等号成立，
由题意可得a≠b，所以m1≤ eq \r(ab) ，m2＞ eq \r(ab) ，则m2＞m1.
答案：C
5．解析：A.由2a＋b＝1≥2 eq \r(2ab) ，则ab≤ eq \f(1,8) ，当且仅当2a＝b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，正确；
B．由4a2＋b2≥ eq \f(（2a＋b）2,2) ＝ eq \f(1,2) ，当且仅当2a＝b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，正确；
C．由 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ＝( eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) )(2a＋b)＝4＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4a,b) ≥4＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b)) ＝8，当且仅当2a＝b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，正确；
D．由a＋ eq \f(1,a) ≥2 eq \r(a·\f(1,a)) ＝2，当且仅当a＝1时等号成立，而2a＋b＝1且a，b＞0，所以等号取不到，即a＋ eq \f(1,a) ＞2，无最小值，错误．
答案：ABC
6．解析：∵x，y>0，
∴ eq \f(x,3) ＋ eq \f(y,4) ＝1≥2 eq \r(\f(xy,12)) ，得xy≤3，当且仅当 eq \f(x,3) ＝ eq \f(y,4) 即x＝ eq \f(3,2) ，y＝2时，取“＝”号，∴xy的最大值为3.
答案：3
7．解析：由题设， eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，则a＋4b＝(a＋4b)( eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) )＝5＋ eq \f(4b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥5＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(a,b)) ＝9，
当且仅当a＝2b时等号成立，
∴a＋4b最小值为9.
答案：9
8．解析：(1) ∵ eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ＝ eq \f(1,2) (a＋2b)( eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) )＝ eq \f(1,2) (5＋ eq \f(2b,a) ＋ eq \f(2a,b) )
∵a＞0，b＞0，∴ eq \f(1,2) (5＋ eq \f(2b,a) ＋ eq \f(2a,b) )≥ eq \f(1,2) (5＋2 eq \r(\f(2b,a)·\f(2a,b)) )＝ eq \f(9,2) ，
当且仅当 eq \f(2b,a) ＝ eq \f(2a,b) ，即a＝b＝ eq \f(2,3) 时，等号成立．
∴ eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) 的最小值为 eq \f(9,2) ；
(2)∵a2＋4b2＋5ab＝(a＋2b)2＋ab＝4＋ab，
又a＋2b＝2≥2 eq \r(2ab) ，∴ab≤ eq \f(1,2) ，故a2＋4b2＋5ab≤4＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(9,2) ，
当且仅当a＝2b，即a＝1，b＝ eq \f(1,2) 时，等号成立．
故a2＋4b2＋5ab取得最大值 eq \f(9,2) .
9．解析：因为a2－b＋4＝0，所以b＝a2＋4，
所以 eq \f(a,a＋b) ＝ eq \f(a,a＋a2＋4) ＝ eq \f(1,a＋\f(4,a)＋1) ，
因为a＞0，所以a＋ eq \f(4,a) ＋1≥2 eq \r(a·\f(4,a)) ＋1＝5，当且仅当a＝ eq \f(4,a) ，即a＝2时等号成立，
所以 eq \f(a,a＋b) ＝ eq \f(1,a＋\f(4,a)＋1) ≤ eq \f(1,5) ，当且仅当a＝2时等号成立．
答案：A
10．解析：依题意，正实数a，b满足a＋b＝1，
所以ab≤( eq \f(a＋b,2) )2＝ eq \f(1,4) ，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，所以A选项错误．
eq \f(a2＋b2,2) ≥( eq \f(a＋b,2) )2＝ eq \f(1,4) ，a2＋b2≥ eq \f(1,2) ，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，所以B选项正确．
( eq \f(\r(a)＋\r(b),2) )2≤ eq \f(a＋b,2) ＝ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(a)＋\r(b),2) ≤ eq \f(\r(2),2) ， eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \r(2) ，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，所以C选项错误．
eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,b＋1) ＝ eq \f(1,3) ·( eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,b＋1) )·(a＋1＋b＋1)
＝ eq \f(1,3) (2＋ eq \f(b＋1,a＋1) ＋ eq \f(a＋1,b＋1) )≥ eq \f(1,3) (2＋2 eq \r(\f(b＋1,a＋1)·\f(a＋1,b＋1)) )＝ eq \f(4,3) ，
当且仅当 eq \f(b＋1,a＋1) ＝ eq \f(a＋1,b＋1) ，a＋1＝b＋1，a＝b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，所以D选项正确．
答案：BD
11．解析：∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，ab＝1，
eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(4,a＋b) ＝ eq \f(ab,a) ＋ eq \f(ab,b) ＋ eq \f(4,a＋b) ＝a＋b＋ eq \f(4,a＋b) ≥2 eq \r(（a＋b）×\f(4,a＋b)) ＝4，
当且仅当a＋b＝2时取等号，结合ab＝1，解得a＝b＝1，等号成立．
答案：1 4
12．解析：(1)根据题意，只需要计算正面、两个侧面和一个顶面的造价，则有：
W＝60x＋60y＋30xy(x＞0，y＞0)，
(2)根据题意，每个房间造价不超过960元，则有：W＝60x＋60y＋30xy≤960，
即有：2(x＋y)＋xy≤32，
设每个房间的面积为S，则有：S＝xy，
则有：4 eq \r(xy) ＋xy≤2(x＋y)＋xy≤32，当且仅当x＝y＝4时，取得“＝”
解得： eq \r(xy) ≤4故S≤16
当每个房间面积最大时，x＝4.
13．解析：∵x＞0，y＞0，不等式 eq \f(1,x) ＋ eq \f(3,y) ≥ eq \f(m,2x＋y) 恒成立，
∴m≤( eq \f(1,x) ＋ eq \f(3,y) )(2x＋y)恒成立，
又( eq \f(1,x) ＋ eq \f(3,y) )(2x＋y)＝5＋ eq \f(y,x) ＋ eq \f(6x,y) ≥5＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(6x,y)) ＝5＋2 eq \r(6) ，
当且仅当 eq \f(y,x) ＝ eq \f(6x,y) 即y＝ eq \r(6) x时取等号，
∴( eq \f(1,x) ＋ eq \f(3,y) )(2x＋y)的最小值为5＋2 eq \r(6) ，
所以m≤5＋2 eq \r(6) ，即m的最大值为5＋2 eq \r(6) .
答案：5＋2 eq \r(6)
练 基 础
提 能 力
培 优 生