第四章末过关检测

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章末过关检测(四)　指数函数与对数函数一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a>0，化简 eq \r(a) × eq \r(a\r(a)) ＝(　　)A．a B．a eq \s\up6(\f(5,2))  C．a eq \s\up6(\f(5,4))  D．a eq \s\up6(\f(3,8)) 2．若xlog32＝1，则4x的值是(　　)A．9 B．3 C．2log32 D．2log233．函数f(x)＝ eq \r(x－1) ＋log3(4－x)的定义域为(　　)A．{x|10且a≠1)在区间[－2，2]上的最大值和最小值的和为 eq \f(10,3) ，则a的值可能是(　　)A. eq \f(1,3)  B． eq \f(\r(3),3)  C． eq \r(3)  D．312．已知函数f(x)＝log2(2x＋8x)－2x，以下判断正确的是(　　)A．f(x)是增函数 B．f(x)有最小值 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则a＝________．14．[2022·山东菏泽高一期中]若对任意的a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标为________．15．若方程x＝3－lg x的解在区间(k，k＋1)上，则整数k＝________．16．函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,－x2－2x＋1，x<0)) ，函数f(x)有________个零点，若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)化简求值：(1)( eq \r(8) )－ eq \f(2,3) － eq \r(3,4) ×2 eq \s\up6(\f(1,3)) ＋( eq \f(3,5) )0；(2)log23×log34＋lg 2＋lg 5.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2，9)(1)求实数a的值；(2)若f(2x－1)<3，求实数x的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性，并证明．20．(本小题满分12分)己知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1).(1)若函数f(x)的图象过点(0，2)，求b的值；(2)若函数f(x)在区间[2，3]上的最大值比最小值大 eq \f(a2,2) ，求a的值．21．(本小题满分12分)Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为Pt＝ eq \f(K,1＋C·e－rt) ，其中Pt是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，己知某地区的人口数据如下表；该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数Pt＝ eq \f(120,1＋0.5×e－0.05t) 能比较好地描述2010年起该地区的人口数量Pt(单位：万)与间隔年份t(单位：年)的关系．(1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数)；(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a(结果保留3位小数).参考数据：e－0.5≈0.607，e－1≈0.368，( eq \f(101.351,92.076) )0.1≈1.010.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2 eq \f(a－x,1＋x) 为奇函数．(1)求实数a的值；(2)若f(x)－m＋log2(x2＋4x＋3)≤0恒成立，求实数m的取值范围．章末过关检测(四)　指数函数与对数函数1．解析： eq \r(a) × eq \r(a\r(a)) ＝a eq \s\up6(\f(1,2)) ×a eq \s\up6(\f(3,4)) ＝a eq \s\up6(\f(5,4)) .答案：C2．解析：因xlog32＝1，则x＝ eq \f(1,log32) ＝log23，所以4x＝4log23＝(2log23)2＝32＝9.答案：A3．解析：由题意得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,4－x>0，)) 解得1≤x<4，所以函数的定义域为{x|1≤x<4}．答案：D4．解析：因为f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1>0，f(2)<0，所以f(x)的零点所在区间为(1，2).答案：A5．解析：∵0<0.32<0.30＝1，30.3>30＝1∴01时，函数f(x)＝ax在[－2，2]上为增函数，则f(x)max＋f(x)min＝f(2)＋f(－2)＝a2＋ eq \f(1,a2) ＝ eq \f(10,3) ，解得a＝ eq \r(3) .综上所述，a＝ eq \f(\r(3),3) 或 eq \r(3) .答案：BC12．解析：由f(x)＝log2(2x＋23x)－log222x＝log2( eq \f(1,2x) ＋2x)，令μ＝2x>0为增函数；而t＝ eq \f(1,μ) ＋μ在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；所以t在x∈(－∞，0)上递减，在x∈(0，＋∞)上递增；又y＝log2t在定义域上递增，则y在x∈(－∞，0)上递减，在x∈(0，＋∞)上递增；所以f(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故最小值为f(0)＝1，f(－x)＝log2( eq \f(1,2－x) ＋2－x)＝log2(2x＋ eq \f(1,2x) )＝f(x)，故为偶函数．答案：BD13．解析：因为函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，f(2)＝4，所以a2＝4，解得a＝2.答案：214．解析：令loga(x－1)＝0，解得x＝2，则f(2)＝loga1＋1＝1，所以点P的坐标为(2，1).答案：(2，1)15．解析：令y＝x＋lg x－3，显然y在(0，＋∞)上递增，又y|x＝2＝lg 2－1<0，y|x＝3＝lg 3>0，所以函数y的零点在(2，3)内，故k＝2.答案：216．解析：由题，当x≥0时，f(x)＝2x，当x<0时，y＝－x2－2x＋1为二次函数，对称轴为x＝－1，且过(0，1)开口向下．故画出图象如图所示，故函数f(x)有1个零点．又f(x)＝m有三个不同的交点则由图象有y＝－x2－2x＋1最大值为 eq \f(4×（－1）×1－（－2）2,4×（－1）) ＝2.故m∈(1，2).答案：1　(1，2)17．解析：(1)原式＝2 eq \f(3,2) ×(－ eq \f(2,3) )－2 eq \s\up6(\f(2,3)) ×2 eq \s\up6(\f(1,3)) ＋1＝ eq \f(1,2) －2＋1＝－ eq \f(1,2) .(2)原式＝ eq \f(lg 3,lg 2) × eq \f(2lg 2,lg 3) ＋lg (2×5)＝2＋1＝3.18．解析：(1)依题意a>0且a≠1，f(2)＝a2＝9⇒a＝3，(2)∵f(x)＝3x在R上是增函数，且f(2x－1)<3＝f(1)，∴2x－1<1，∴x<1，∴所求的x取值范围是(－∞，1).19．解析：(1)由f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,1－x>0)) ，得－11时，f(x)在区间[2，3]上单调递增，此时f(x)min＝f(2)＝a2＋1，f(x)max＝f(3)＝a3＋1，所以a3＋1－(a2＋1)＝ eq \f(a2,2) ，解得：a＝ eq \f(3,2) 或0(舍去).综上：a＝ eq \f(1,2) 或 eq \f(3,2) .21．解析：(1)2030年即间隔年份为20年，该地区的人口数量P20＝ eq \f(120,1＋0.5×e－0.05×20) ＝ eq \f(120,1＋0.5×0.368) ≈101.351该地区2030年的人口数量大约为101.351万．(2)由表可知2020年的人口数量为92.076万，又由(1)知2030年的人口数量大约为101.351万，则有92.076×(1＋a)10＝101.351，即(1＋a)10＝ eq \f(101.351,92.076) ，解得a＝( eq \f(101.351,92.076) ) eq \s\up6(\f(1,10)) －1≈0.010，所以该地区2020年到2030的年平均增长率a大约为0.010.22．解析：(1)由题意得：f(－x)＝－f(x)，即log2 eq \f(a＋x,1－x) ＝－log2 eq \f(a－x,1＋x) ，解得：a＝±1，当a＝－1时， eq \f(a－x,1＋x) ＝－1<0，不合题意，舍去，所以a＝1，经检验符合题意；(2)由 eq \f(1－x,1＋x) >0，解得：－10得：x>－1或x<－3，综上：不等式中x∈(－1，1)，f(x)－m＋log2(x2＋4x＋3)≤0变形为m≥log2[(1－x)(x＋3)]，即m≥log2[(1－x)(x＋3)]恒成立，令g(x)＝log2(－x2－2x＋3)＝log2[－(x＋1)2＋4]，当x∈(－1，1)时，g(x)∈(－∞，2)，所以m≥2，实数m的取值范围为[2，＋∞).时间2010年2015年2020年…间隔年份t(单位：年)0510…人口数量Pt(单位：万)8086.36892.076…