2022-2023学年上海市复旦大学第二附属学校九年级上学期数学期末考考试含详解(1)

这是一份2022-2023学年上海市复旦大学第二附属学校九年级上学期数学期末考考试含详解(1)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在直角坐标平面内，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（ ）
A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位
C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位
2. 在中，，，，那么的长是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知二次函数的图象如图所示，则、、满足（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
4. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 如果、为实数，那么
B. 如果或，那么
C. 如果，且，那么的方向与的方向相同
D. 长度为1的向量叫做单位向量
5. 如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A. 4B. C. D. 8
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 三个点确定一个圆
B. 当点到圆心的距离小于半径时，点在圆外
C. 边长为的正六边形的边心距等于
D. 圆心角相等，它们所对的弧相等
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是______千米．
8. 二次函数的图象的顶点坐标是______．
9. 已知点P是线段AB黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝___．
10. 如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比______．
11. 如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
12. 已知二次函数图象的对称轴是直线，如果，那么______．（填“”或“”）
13. 已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为______．
14. 如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作，使得点在圆内，点在圆外，则半径的取值范围是______．
15. 如图，已知在中，，，．设，，试用向量、表示向量______．
16. 如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，长为6，则的长为______．
17. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则______．
18. 在中，，，，点在斜边上，把沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，当平行的直角边时，的长为______．
三、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
19. 计算：．
20. 如图，在中，点在边上，点、在边上，且，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的值．
21. 湖中小岛上码头处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面点处的快艇和湖岸处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，且在的正南方向1000米处．
（1）求湖岸与码头的距离（结果精确到1米，参考数据：）
（2）救援船平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
22. 已知：如图，是的直径，是上一点，，垂足为点，是的中点，与相交于点，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
23. 已知等腰中，，点、是边、上的点，且，联结、，交点为．
（1）若，求的值．
（2）若，求证：．
24. 如图，已知抛物线经过和两点，与轴交于、两点（在的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点与点重合，连接，求的正弦值；
（3）若轴交于点，若，求点坐标．
25. 如图，在中，，是边上的中线，，，点是延长线上的一动点，过点作，交的延长线于点．
（1）当点为的中点时，求的长；
（2）设，，求关于函数关系式，并写出的取值范围；
（3）过点作交于，当和相似时，求长．
2022学年第一学期初三年级数学学科第四次质量调研
一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 在直角坐标平面内，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（ ）
A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位
C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位
【答案】A
【分析】根据抛物线顶点平移路径即可判断．
【详解】解：将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
从到是向上平移1个单位，
抛物线是向上平移1个单位，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移要看顶点的平移；横坐标改变是左右平移，纵坐标改变是上下平移．
2. 在中，，，，那么的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】画出图形，利用三角函数的定义即可完成．
详解】如图所示，由正弦函数定义有：，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义，已知一个角及斜边，求此角的对边，则利用正弦函数可以解决．
3. 已知二次函数的图象如图所示，则、、满足（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【分析】根据开口方向可得a的符号，根据对称轴在y轴的哪侧可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，；对称轴在y轴右侧，a，b异号；抛物线与y轴的交点即为c的值．
4. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 如果、为实数，那么
B. 如果或，那么
C. 如果，且，那么的方向与的方向相同
D. 长度为1的向量叫做单位向量
【答案】C
【分析】由平面向量的性质，即可得A与B正确，又由长度为l的向量叫做单位向量，可得D正确，向量是有方向性的，所以C错误．
【详解】解∶A、根据向量的性质得，故本选项正确；
B、如果或，那么，故本选项正确；
C、因为向量是有方向性的，所以C错误；
D、长度为l的向量叫做单位向量， 故本选项正确．
故选∶ C．
【点睛】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．
5. 如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 三个点确定一个圆
B. 当点到圆心的距离小于半径时，点在圆外
C. 边长为的正六边形的边心距等于
D. 圆心角相等，它们所对的弧相等
【答案】C
【分析】分别根据确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质对各选项进行逐一判断．
【详解】解：A、只有不在同一条直线上的三点才可以确定一个圆，故错误，不合题意；
B、当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内，故错误，不合题意；
C、边长为R的正六边形的边心距等于，故正确，符合题意；
D、只有在同圆或等圆中圆心角相等，它们所对的弧相等，故错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是______千米．
【答案】60
【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．
【详解】解：设A、B两地的实际距离为
则：
解得千米
A、B两地的实际距离为千米
故答案为：.
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键．
8. 二次函数的图象的顶点坐标是______．
【答案】
【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解．
【详解】解：，
二次函数的图象的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查求二次函数的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键．
9. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝___．
【答案】2
【分析】根据黄金分割的定义可得，进而即可求解．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴，
∵AP1，
∴AB=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，掌握黄金分割点与黄金比的关系是解题的关键．
10. 如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比______．
【答案】
【分析】坡比斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为的形式即可．
【详解】∵一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，
∴坡比．
故答案为．
【点睛】本题考查了坡比的求法；坡比斜坡的垂直高度与水平宽度的比，熟练掌握坡比的公式并最终化成的形式是解题关键．
11. 如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
【答案】8
【详解】试题解析：这个多边形的边数是
故答案为8.
12. 已知二次函数图象的对称轴是直线，如果，那么______．（填“”或“”）
【答案】
【分析】由对称轴直线，可知在对称轴右侧随的增大而减小，从而判断在对称轴左侧，随的增大而增大，故可判断．
【详解】解：对称轴直线，，
在对称轴右侧随的增大而减小，
在对称轴左侧，随的增大而增大，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，找到二次函数的对称轴并判断出点的位置是解题的关键．
13. 已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为______．
【答案】2
【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果．
【详解】与两圆外切，
,
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了两圆位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键．
14. 如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作，使得点在圆内，点在圆外，则半径的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理得出的长，利用以为圆心，为半径作，使得点在圆内，点在圆外，得出的取值范围即可．
【详解】解：如图，连接，
矩形矩形中，，，
，
以以为圆心，为半径作，使得点在圆内，点在圆外，
半径的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出的取值范围是解题关键．
15. 如图，已知在中，，，．设，，试用向量、表示向量______．
【答案】
【分析】首先由，得到，由，，即可求得，由相似三角形的对应边成比例，即可得到，；即可求得．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的意义与运算．此题难度一般，解题时要注意数形结合思想的应用．
16. 如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，长为6，则的长为______．
【答案】1
【分析】连接，由是的重心，可证是的中位线，从而可求出的长．延长交于F点，连接DF，利用三角形重心的定义和性质得到，，再证明得到即可．
【详解】解：连接，延长交于F点，连接DF，如图，
∵是的重心，
∴D、E分别是、的中点，
∴是中位线，
∴．
∵P点是的重心，
∴F点为的中点，，
∵Q点是的重心，
∴点Q在中线上，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
17. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“相反点”，例如：直线上存在“相反点”．若二次函数的图象上存在唯一“相反点”，则______．
【答案】
【分析】将代入中得，即，将二次函数的图象上存在唯一“相反点”，转化为方程有两个相等的实数根，，求解即可．
【详解】解：将代入中，
得，即，
二次函数的图象上存在唯一“相反点”，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程根的判别式，解题的关键是将函数问题转化为方程问题．
18. 在中，，，，点在斜边上，把沿直线翻折，使得点落在同一平面内点处，当平行的直角边时，的长为______．
【答案】1或3
【分析】如图1，当，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据三角形的面积公式得到，由相似三角形的性质即可得到结论；如图2，当，根据折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，于是得到，推出，于是得到．
【详解】解：中，，，，
，，
①如图1，当，
，
把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
②如图2，当，
把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，
，，，
，
，
，
，
综上所述：的长为：1或3，
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
19. 计算：．
【答案】
【分析】先将各角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20. 如图，在中，点在边上，点、在边上，且，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）16
【分析】（1）由可得，再结合已知比例，可得，即可得证；
（2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．
【小问1详解】
证明：，
，
又，
，
．
【小问2详解】
解：，，
，
，
又，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题．
21. 湖中小岛上码头处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面点处的快艇和湖岸处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，且在的正南方向1000米处．
（1）求湖岸与码头的距离（结果精确到1米，参考数据：）
（2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【答案】（1）1732m
（2）6min内可以将该游客送上救援船
【分析】（1）延长到点，使于，设，则，，，在中，，即可求出，根据中，即可求出湖岸与码头的距离；
（2）设快艇将游客送上救援船时间为分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= ，列出方程，求出时间，再和5分钟进行比较即可求解．
【小问1详解】
解：延长到点，使于，
由题易知：，，
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：设快艇将游客送上救援船时间为，
则，
，
解得：，
6min内可以将该游客送上救援船．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．
22. 已知：如图，是的直径，是上一点，，垂足为点，是的中点，与相交于点，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由是的中点，根据垂径定理的推论，得，，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）由，利用同角的余角相等得到，，在，即可得到的值．
【小问1详解】
解：设，则
是中点
且
在中，
，
解得：，
；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 已知等腰中，，点、是边、上的点，且，联结、，交点为．
（1）若，求的值．
（2）若，求证：．
【答案】（1）1 （2）见解析
【分析】（1）作，交延长线于，证明，根据相似三角形的性质得出，则，进而得出；
（2）根据已知条件证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质以及 ，即可得证．
【小问1详解】
解：作，交延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又 ，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24. 如图，已知抛物线经过和两点，与轴交于、两点（在的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点与点重合，连接，求的正弦值；
（3）若轴交于点，若，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）点E的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法即可求解抛物线的表达式；
（2）如下图，过点C作于点H，先求出点M，N的坐标，从而求得 ，，，利用待定系数法求得直线为：，进而求得，，，根据面积公式即可求得，从而即可得解；
（3）先证，得，，进而得，利用面积求得，设点E的坐标为，则点，进而有方程，解方程即可得解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过和两点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式；
【小问2详解】
解：如下图，过点C作于点H，
在抛物线中，令，则，
解得，，
∴，
又∵，
∴，，，
设直线为：，
∵过和，
∴，
解得，
∴直线为：，
令，则，解得，
∴，
∴，，
∴，即
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵轴， 轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵，
∴，
设点E的坐标为，则点，
∵轴，
∴，
解得，
当时，，
当，，
∴点E的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、待定系数法求一次函数与二次函数、相似三角形的判定及性质以及正弦，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，在中，，是边上的中线，，，点是延长线上的一动点，过点作，交的延长线于点．
（1）当点为的中点时，求的长；
（2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）过点作交于，当和相似时，求的长．
【答案】（1）
（2）关于的函数关系式，的取值范围为
（3）的长为4或
【分析】（1）由勾股定理可求得的长，由直角三角形斜边上中线的性质可得，则可得，由相似三角形的性质即可求得的长度，从而求得结果；
（2）由，即可求得的长度，从而由即可求得关于的函数关系式，由在延长线上的一动点，即可写出的取值范围；
（3）分，两种情况，利用相似三角形的性质即可完成求解．
【小问1详解】
解：， ，，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
即，
点为的中点，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
点是延长线上的一动点，
；
关于的函数关系式，的取值范围为；
【小问3详解】
解：若，如图，
则，
，
，，
，，
，
，
，
；
若，如图
则，，
，，
，
，
即，
，
化简得：，
解得：，（舍去）
．
综上，的长为4或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，正确运用相似三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论．