人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念综合训练题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等
B．单位向量
C．零向量与任意向量平行
D．若向量，满足，则
E．
2．下列说法中正确的个数是（ ）
①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2B．3C．4D．5
3．在平行四边形中，，若，则=（ ）
A．B．C．D．3
4．如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
7．为非零向量，“”为“共线”的
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件
8．下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．三个向量共面，即它们所在的直线共面
C．若，则存在唯一的实数，使
D．零向量是模为，方向任意的向量
9．下列条件中能得到的是（ ）
A．B．与的方向相同；
C．，为任意向量D．且
10．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心B．重心C．外心D．内心
11．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
12．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若都是单位向量，则；
③向量与相等．
则所有正确命题的序号是（ ）
A．①B．③
C．①③D．①②
二、填空题
13．已知为平面内两个不共线的向量，，若M，N，P三点共线，则λ=________.
14．已知四边形中，，且，则四边形ABCD的形状是___________.
15．已知四边形ABCD是矩形，设点集，集合且P，Q不重合，用列举法表示集合___________
16．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：
（1）是共线向量的有______；
（2）方向相反的向量有______；
（3）模相等的向量有______.
17．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
三、解答题
18．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
19．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
20．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用分别表示向量，；
（2）若，求实数t的值．
21．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点.作出向量.
参考答案：
1．C
利用单位向量的定义可判断AB；利用零向量的定义可判断CE；利用向量定义可判断D.
【详解】
对于A，单位向量是模长为1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A错误；
对于B，单位向量，故B错误；
对于C，零向量方向任意，故零向量与任意向量平行，故C正确；
对于D，若向量满足，只说明的大小相等，方向不一定，故D错误；
对于E，，故E错误；
故选：C
2．A
根据向量的定义判断．
【详解】
①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；
②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；
③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；
⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
正确的有两个．
故选：A．
3．B
由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解.
【详解】
，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
故选：B.
关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
4．D
由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.
【详解】
由题意，，.
故选：D.
5．C
根据单位向量的概念进行分析即可.
【详解】
单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，
故选：C．
6．A
由可得，结合可判断四边形ABCD的形状.
【详解】
∵ ，
∴ ，又，
∴ 四边形ABCD是梯形，
故选：A.
7．B
共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.
【详解】
分别表示与同方向的向量，
，则有共线，
而共线，则的方向不一定相同，即两向量不一定相等，
“”为“共线”的充分不必要条件.
故选:B.
本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.
8．D
假设为零向量，即可判断A选项；根据向量的特征，可判断B选项；根据共线向量定理，可判断C选项；根据零向量的定义，可判断D选项.
【详解】
A选项，若，则根据零向量方向的任意性，可的与共线，与共线；但与不一定共线，故A错；
B选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；
C选项，根据共线向量定理，若，其中，则存在唯一的实数使；故C错；
D选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为，方向任意的向量；即D正确.
故选：D.
本题主要考查向量相关命题的判定，熟记向量的概念，向量的特征，以及共线向量定理即可，属于基础题型.
9．D
根据相等向量的概念，即可得到结果.
【详解】
由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确.
故选：D.
10．B
本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】
本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.
11．D
根据向量的基本概念辨析可知.
【详解】
解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确.
故选：D
12．A
根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向与互为相反向量，故③错误．
故选：.
本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
13．-4
结合向量的共线性质和相等向量的运算即可得出结果.
【详解】
因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得=k，
所以，
又，为平面内两个不共线的向量，
可得，解得λ=-4.
故答案为：-4
14．等腰梯形
由，得到且，得出是梯形，再根据，得到四边形是等腰梯形.
【详解】
由题意，向量，可得且，
即线段平行于线段，且线段的长度是线段长度的一半，
所以四边形是梯形，
又因为，所以梯形的两个腰相等，所以四边形是等腰梯形.
故答案为：等腰梯形.
15．
根据集合的元素特征，列出集合的所有元素，由此可得集合.
【详解】
∵ 且P，Q不重合，，
∴，
故答案为：
16． 和，和 和，和
（1）通过表示向量的有线段的关系，利用向量共线的定义找出共线向量
（2）利用相反向量的定义，从找出相反向量．
（3）直接由图形中得出有线段的长度相等的即可.
【详解】
解:（1），，故和，和是共线向量.
（2）和，和是方向相反的向量.
（3）由勾股定理可得，模相等的向量有.
故答案为：（1）和，和；（2）和，和；（3）.
本题考查共线向量、相反向量的定义和向量的模长的定义，属于基础题．
17．.
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
18．（1），，，，，，；（2），，，，；（3）与.
（1）利用共线向量的定义，结合中位线的性质，得到答案；（2）利用中位线的性质结合点是的中点，得到答案；（3）结合相等向量的定义，得到答案.
【详解】
（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以.所以与共线的向量有：，，，，，，；
（2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，，，，；
（3）与相等的向量有：与.
19．（1）5；（2）2.
根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】
解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
20．（1），；（2）．
（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；
（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.
【详解】
（1）由题意，为的中点，，可得，，．
∵，
∴，
∴
（2）∵，
∴

∵，，共线，
由平面向量共线基本定理可知满足，
解得．
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.
21．作图见解析
根据题意画出图形，根据大小和方向作出向量即可.
【详解】
解：记千米，如图所示：
本题考查了数学阅读能力，考查了根据题意画图问题，注意向量的大小和方向是解题的关键.