人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质精练

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1.函数f(x)＝cs x是( )
A．奇函数，且在区间(0， eq \f(π,2) )上单调递增
B．奇函数，且在区间(0， eq \f(π,2) )上单调递减
C．偶函数，且在区间(0， eq \f(π,2) )上单调递增
D．偶函数，且在区间(0， eq \f(π,2) )上单调递减
2．函数y＝－3sin x＋4(x∈[－π，π])的一个单调递增区间为( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D．[－π ，0]
3．在下列区间中，函数f(x)＝cs (x－ eq \f(π,12) )单调递增的区间是( )
A．(0， eq \f(π,2) ) B．( eq \f(π,2) ，π)
C．(π， eq \f(3π,2) ) D．( eq \f(3π,2) ，2π)
4．[2022·河北邯郸高一期中]已知a＝cs 46°，b＝sin 134°，c＝cs (－43°)，则( )
A.b＞c＞a B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
5．(多选)函数y＝sin x和y＝cs x具有相同单调性的区间是( )
A．(0， eq \f(π,2) ) B．( eq \f(π,2) ，π)
C．(－π，－ eq \f(π,2) ) D．(－ eq \f(π,2) ，0)
6．函数y＝－cs x的单调递增区间是________．
7．函数y＝－3sin x＋2的最小值为________．
8．已知函数f(x)＝3sin (2x＋ eq \f(π,3) ).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 上的最大值和最小值．
9.(多选)设函数f(x)＝sin (2x＋ eq \f(π,2) )＋1，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为2π
B．f(x)是奇函数
C．f(x)的一个最高点坐标为(π，2)
D．f(x)是偶函数
10．已知函数f(x)＝2cs2x－sin2x＋2，则f(x)的最大值为( )
A．－4 B．3 C．4 D．5
11．已知函数f(x)＝cs(2x＋ eq \f(π,3) )，则f(x)的单调递增区间为________；f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6))) 上的最小值是________．
12．已知函数f(x)＝3sin (ωx－ eq \f(π,6) )的最小正周期为π，其中ω＞0.
(1)求ω的值；
(2)当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 时，求函数f(x)的单调区间；
(3)求函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上的值域．
13.已知函数f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,3) )(ω＞0)在区间( eq \f(π,6) ， eq \f(π,2) )上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0， eq \f(7,3) ] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,3)))
C．[1，3] D．(0，3]
课时作业(四十) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
1．解析：由题意，函数f(x)＝cs x的定义域R，且f(－x)＝cs (－x)＝cs x＝f(x)，所以函数f(x)＝cs x为偶函数，又由余弦函数的性质，可得f(x)＝cs x在区间(0， eq \f(π,2) )为递减函数．
答案：D
2．解析：函数y＝－3sin x＋4的增区间，即y＝sin x的减区间，为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) ，k∈Z.
结合x∈[－π，π]，可得y＝sin x的减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) .
答案：C
3．解析：因为f(x)＝cs (x－ eq \f(π,12) )，令－π＋2kπ≤x－ eq \f(π,12) ≤2kπ，k∈Z，解得－ eq \f(11π,12) ＋2kπ≤x≤ eq \f(π,12) ＋2kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(11π,12)＋2kπ，\f(π,12)＋2kπ)) ，k∈Z，当k＝1时可得函数的一个单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13π,12)，\f(25π,12))) ，因为( eq \f(3π,2) ，2π) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13π,12)，\f(25π,12))) ，所以函数在( eq \f(3π,2) ，2π)上单调递增．
答案：D
4．解析：由题意得：b＝sin (180°－46°)＝sin 46°＝sin (90°－44°)＝cs 44°，c＝cs 43°，因为y＝cs x在(0°，90°)上单调递减，所以cs 43°＞cs 44°＞cs 46°，即c＞b＞a.
答案：B
5．解析：y＝sin x在(0， eq \f(π,2) )上单调递增，y＝cs x在(0， eq \f(π,2) )上单调递减，所以A不合题意，y＝sin x在( eq \f(π,2) ，π)上单调递减，y＝cs x在( eq \f(π,2) ，π)上单调递减，所以B符合题意，y＝sin x在(－π，－ eq \f(π,2) )上单调递减，y＝cs x在(－π，－ eq \f(π,2) )上单调递增，所以C不合题意，y＝sin x在(－ eq \f(π,2) ，0)上单调递增，y＝cs x在(－ eq \f(π,2) ，0)上单调递增，所以D符合题意．
答案：BD
6．解析：根据复合函数的单调性知，函数y＝－cs x的单调增区间对应函数y＝cs x的单调递减区间，根据余弦函数的单调性知，函数y＝cs x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，所以函数y＝－cs x的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
答案：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
7．解析：∵y＝－3sin x＋2，
∴当sin x＝1时，ymin＝－1.
答案：－1
8．解析：(1)因函数f(x)＝3sin (2x＋ eq \f(π,3) )，则周期T＝ eq \f(2π,2) ＝π，所以f(x)的最小正周期为π.
(2)当－ eq \f(π,4) ≤x≤ eq \f(π,4) 时，－ eq \f(π,6) ≤2x＋ eq \f(π,3) ≤ eq \f(5π,6) ，而正弦函数y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2))) 上递增，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6))) 上递减，且sin (－ eq \f(π,6) )＜sin eq \f(5π,6) ，
因此，当2x＋ eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,2) ，即x＝ eq \f(π,12) 时，sin (2x＋ eq \f(π,3) )取最大值1，则f(x)max＝3，当2x＋ eq \f(π,3) ＝－ eq \f(π,6) ，即x＝－ eq \f(π,4) 时，sin (2x＋ eq \f(π,3) )取最小值－ eq \f(1,2) ，则f(x)min＝－ eq \f(3,2) ，
所以f(x)的最大值为3，最小值为－ eq \f(3,2) .
9．解析：函数f(x)＝sin (2x＋ eq \f(π,2) )＋1＝cs 2x＋1，T＝ eq \f(2π,2) ＝π，所以2π也是f(x)的周期，故A正确；因为x∈R，f(－x)＝cs 2x＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误，D正确；因为x∈R，－1≤cs 2x≤1，所以0≤f(x)＝cs 2x＋1≤2，
所以f(π)＝cs 2π＋1＝2，f(x)的一个最高点坐标为(π，2)，故C正确．
答案：ACD
10．解析：f(x)＝2(1－sin2x)－sin2x＋2＝4－3sin2x，所以当sin2x＝0时，函数取最大值4.
答案：C
11．解析：由题意得2kπ－π≤2x＋ eq \f(π,3) ≤2kπ(k∈Z)，解得kπ－ eq \f(2π,3) ≤x≤kπ－ eq \f(π,6) (k∈Z)，因此函数f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2π,3)，kπ－\f(π,6))) (k∈Z)；
当－ eq \f(π,3) ≤x≤ eq \f(π,6) 时，－ eq \f(π,3) ≤2x＋ eq \f(π,3) ≤ eq \f(2π,3) ，
当2x＋ eq \f(π,3) ＝ eq \f(2π,3) 时，函数f(x)取得最小值－ eq \f(1,2) .
答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2π,3)，kπ－\f(π,6))) (k∈Z) － eq \f(1,2)
12．解析：(1)由函数f(x)的最小正周期为π，ω＞0，所以T＝ eq \f(2π,ω) ＝π，可得ω＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝3sin(2x－ eq \f(π,6) )，当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 时，有－ eq \f(π,2) ≤2x≤ eq \f(π,2) ，－ eq \f(2π,3) ≤2x－ eq \f(π,6) ≤ eq \f(π,3) ，
当－ eq \f(π,2) ≤2x－ eq \f(π,6) ≤ eq \f(π,3) ，可得－ eq \f(π,6) ≤x≤ eq \f(π,4) ，
故当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 时，函数f(x)的单调减区间为[－ eq \f(π,4) ，－ eq \f(π,6) )，单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4))) .
(3)当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 时，有0≤2x≤π，－ eq \f(π,6) ≤2x－ eq \f(π,6) ≤ eq \f(5π,6) ，
可得－ eq \f(1,2) ≤sin (2x－ eq \f(π,6) )≤1，
有－ eq \f(3,2) ≤f(x)≤3，
故函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)) .
13．解析：设f(x)的周期为T，因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,6))) ≤ eq \f(T,2) ，即 eq \f(π,3) ≤ eq \f(2π,2ω) ，解得0<ω≤3，由 eq \f(π,2) ＋2kπ≤ωx＋ eq \f(π,3) ≤ eq \f(3π,2) ＋2kπ，解得 eq \f(π,6ω) ＋ eq \f(2kπ,ω) ≤x≤ eq \f(7π,6ω) ＋ eq \f(2kπ,ω) (k∈Z)，
即f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(7π,6ω)＋\f(2kπ,ω))) 上单调递减，因为0＜ω≤3，显然k只能取0，所以 eq \f(π,6ω) ≤ eq \f(π,6) 且 eq \f(7π,6ω) ≥ eq \f(π,2) ，解得ω∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,3))) .
答案：B
练 基 础
提 能 力
培 优 生