高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质习题

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A． eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π
2．函数y＝tan (x＋ eq \f(π,4) )的单调递增区间为( )
A.(kπ－ eq \f(π,4) ，kπ＋ eq \f(π,4) )(k∈Z)
B．(kπ－ eq \f(π,4) ，kπ＋ eq \f(3π,4) )(k∈Z)
C．(kπ－ eq \f(3π,4) ，kπ＋ eq \f(π,4) )(k∈Z)
D．(kπ－ eq \f(3π,4) ，kπ＋ eq \f(3π,4) )(k∈Z)
3．已知函数f(x)＝tan 2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是最小正周期为 eq \f(π,2) 的偶函数
B．f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C．f(x)是最小正周期为 eq \f(π,2) 的奇函数
D．f(x)是最小正周期为2π的奇函数
4．当－ eq \f(π,2) ＜x＜ eq \f(π,2) 时，函数y＝tan |x|的图象( )
A.关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
5．(多选)下列各式中正确的是( )
A．tan 735°＞tan 800° B．tan 1<－tan 2
C．tan eq \f(5π,7) ＜tan eq \f(4π,7) D．tan eq \f(9π,8) ＜tan eq \f(π,7)
6．函数y＝tan πx的最小正周期是________．
7．函数y＝tan (2x＋ eq \f(5π,12) )的定义域是________．
8．设函数f(x)＝tan ( eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ).
(1)求函数f(x)的周期；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
9.(多选)已知函数f(x)＝tan (2x－ eq \f(π,6) )，则( )
A.f(x)的周期为 eq \f(π,2)
B．f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,3)＋kπ，k∈Z))))
C．f( eq \f(π,4) )＞f(－ eq \f(π,3) )
D．f(x)在( eq \f(π,3) ， eq \f(π,2) )上单调递增
10．函数y＝tan (x－ eq \f(π,6) )，x∈(－ eq \f(π,6) ， eq \f(5π,12) )的值域为( )
A．(－ eq \r(3) ，1) B．(－1， eq \f(\r(3),3) )
C．(－∞，－ eq \r(3) )∪(1，＋∞) D．( eq \f(\r(3),3) ，1)
11．不等式tan (x＋ eq \f(π,4) )≥1的解集为________．
12．已知函数f(x)＝2tan ( eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ).
(1)求f(x)的最小正周期、定义域；
(2)若f(x)≥2，求x的取值范围．
13.已知函数f(x)＝2tan ωx，ω＞0，若f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) 上的最大值是2 eq \r(3) ，则ω＝________；若f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) 上单调递增，则ω的取值范围是________．
课时作业(四十一) 正切函数的性质与图象
1．解析：函数f(x)＝2tan ( eq \f(x,2) ＋ eq \f(π,4) )的最小正周期为 eq \f(π,\f(1,2)) ＝2π.
答案：C
2．解析：由kπ－ eq \f(π,2) ＜x＋ eq \f(π,4) ＜kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，可得kπ－ eq \f(3π,4) ＜x＜kπ＋ eq \f(π,4) (k∈Z)，所以函数y＝tan (x＋ eq \f(π,4) )的单调递增区间为(kπ－ eq \f(3π,4) ，kπ＋ eq \f(π,4) )(k∈Z).
答案：C
3．解析：f(x)＝tan 2x的最小正周期为T＝ eq \f(π,2) ，
令2x≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，∴x≠ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z，
所以函数的定义域 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)))) 关于原点对称．
又f(－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
答案：C
4．解析：由题意得定义域关于原点对称，又tan |－x|＝tan |x|，
故原函数是偶函数，其图象关于y轴对称．
答案：C
5．解析：对于A，tan 735°＝tan 15°，tan 800°＝tan 80°，tan 15°＜tan 80°，所以tan 735°＜tan 800°；
对于B，－tan 2＝tan (π－2)，而1＜π－2＜ eq \f(π,2) ，
所以tan 1＜－tan 2；
对于C， eq \f(π,2) ＜ eq \f(4π,7) ＜ eq \f(5π,7) ＜π，tan eq \f(4π,7) ＜tan eq \f(5π,7) ；
对于D，tan eq \f(9π,8) ＝tan eq \f(π,8) ＜tan eq \f(π,7) .
答案：BD
6．解析：函数y＝tan πx的最小正周期T＝ eq \f(π,π) ＝1.
答案：1
7．解析：函数y＝tan (2x＋ eq \f(5π,12) )的定义域满足2x＋ eq \f(5π,12) ≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，即x≠ eq \f(1,2) kπ＋ eq \f(π,24) ，k∈Z，所以函数y＝tan (2x＋ eq \f(5π,12) )的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(1,2)kπ＋\f(π,24)，k∈Z)) .
答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(1,2)kπ＋\f(π,24)，k∈Z))
8．解析：(1)∵ω＝ eq \f(1,2) ，∴周期T＝ eq \f(π,ω) ＝ eq \f(π,\f(1,2)) ＝2π.
(2)令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝0，则x＝ eq \f(2π,3) ；令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,2) ，则x＝ eq \f(5π,3) ；
令 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ＝－ eq \f(π,2) ，则x＝－ eq \f(π,3) .
∴函数y＝tan ( eq \f(x,2) － eq \f(π,3) )的图象与x轴的一个交点坐标是( eq \f(2π,3) ，0)，在这个交点左，右两侧相邻的两条直线方程分别是x＝－ eq \f(π,3) ，x＝ eq \f(5π,3) ，从而得到函数y＝f(x)在一个周期(－ eq \f(π,3) ， eq \f(5π,3) )内的简图(如图).
9．解析：函数f(x)＝tan (2x－ eq \f(π,6) )的最小正周期为T＝ eq \f(π,2) ，故A正确；
由2x－ eq \f(π,6) ≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，得x≠ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,3)，k∈Z)))) ，故B错误；
f( eq \f(π,4) )＝tan (2× eq \f(π,4) － eq \f(π,6) )＝tan eq \f(π,3) ＝ eq \r(3) ，f(－ eq \f(π,3) )＝tan (－2× eq \f(π,3) － eq \f(π,6) )＝tan (－ eq \f(5π,6) )＝ eq \f(\r(3),3) ，所以f( eq \f(π,4) )＞f(－ eq \f(π,3) )，故C正确；
x∈( eq \f(π,3) ， eq \f(π,2) )时，2x－ eq \f(π,6) ∈( eq \f(π,2) ， eq \f(5π,6) )，所以f(x)在( eq \f(π,3) ， eq \f(π,2) )上单调递增，故D正确．
答案：ACD
10．解析：设z＝x－ eq \f(π,6) ，因为x∈(－ eq \f(π,6) ， eq \f(5π,12) )，所以z∈(－ eq \f(π,3) ， eq \f(π,4) )，因为正切函数y＝tan z在(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )上为单调递增函数，且tan (－ eq \f(π,3) )＝－ eq \r(3) ，tan eq \f(π,4) ＝1，所以tan z∈(－ eq \r(3) ，1).
∴函数y＝tan (x－ eq \f(π,6) )，x∈(－ eq \f(π,6) ， eq \f(5π,12) )的值域为(－ eq \r(3) ，1).
答案：A
11．解析：由已知可得kπ＋ eq \f(π,4) ≤x＋ eq \f(π,4) ＜kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，所以kπ≤x＜kπ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z.
答案：[kπ，kπ＋ eq \f(π,4) )，k∈Z
12．解析：(1)对于函数f(x)＝2tan ( eq \f(x,2) － eq \f(π,3) )，它的最小正周期为 eq \f(π,\f(1,2)) ＝2π，由 eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ≠kπ＋ eq \f(π,2) ，求得x≠2kπ＋ eq \f(5π,3) ，故它的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z)))) .
(2)f(x)≥2，即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))) ≥1，故 eq \f(π,4) ＋kπ≤ eq \f(x,2) － eq \f(π,3) 13．解析：因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) ，且在此区间上的最大值是2 eq \r(3) ，所以0≤ωx≤ eq \f(ωπ,3) ＜ eq \f(π,2) .
因为f(x)max＝2tan eq \f(ωπ,3) ＝2 eq \r(3) ，所以tan eq \f(ωπ,3) ＝ eq \r(3) ， eq \f(ωπ,3) ＝ eq \f(π,3) ，即ω＝1.
由kπ－ eq \f(π,2) ＜ωx＜kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，得 eq \f(kπ,ω) － eq \f(π,2ω) ＜x＜ eq \f(kπ,ω) ＋ eq \f(π,2ω) ，k∈Z.
令k＝0，得－ eq \f(π,2ω) ＜x＜ eq \f(π,2ω) ，即f(x)在区间(－ eq \f(π,2ω) ， eq \f(π,2ω) )上单调递增．
又因为f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) 上单调递增，所以 eq \f(π,3) < eq \f(π,2ω) ，即0＜ω＜ eq \f(3,2) .
所以ω的取值范围是0＜ω＜ eq \f(3,2) .
答案：1 0＜ω＜ eq \f(3,2)
练 基 础
提 能 力
培 优 生