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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂达标检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂达标检测题,共4页。
A. eq \f(\r(3),2) B. eq \f(1,2) C.- eq \f(\r(3),2) D.- eq \f(1,2)
2.sin 20°cs 10°+sin 10°sin 70°的值是( )
A. eq \f(1,4) B. eq \f(\r(3),2) C. eq \f(1,2) D. eq \f(\r(3),4)
3.已知角α为第二象限角,sin α= eq \f(3,5) ,则cs (α- eq \f(π,6) )的值为( )
A. eq \f(4+3\r(3),10) B. eq \f(4-3\r(3),10)
C. eq \f(3-4\r(3),10) D. eq \f(-4-3\r(3),10)
4.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α= eq \f(1,3) ,则cs (α-β)=( )
A. eq \f(2,9) B.- eq \f(2,9) C. eq \f(7,9) D.- eq \f(7,9)
5.(多选)下列各式化简正确的是( )
A.cs 80°cs 20°+sin 80°sin 20°=cs 60°
B.cs 15°=cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°
C.sin (α+45°)sin α+cs (α+45°)cs α=cs 45°
D.cs (α- eq \f(π,6) )= eq \f(1,2) cs α+ eq \f(\r(3),2) sin α
6.cs 165°=________.
7.已知cs (α- eq \f(π,3) )=cs α,则tan α=________.
8.已知sin α=- eq \f(3,5) ,cs β= eq \f(5,13) ,且α,β均为第四象限角,求cs (α-β).
9.已知sin (α+ eq \f(π,4) )= eq \f(4,5) ,α∈( eq \f(π,4) , eq \f(π,2) ),则cs α=( )
A. eq \f(\r(2),10) B. eq \f(3\r(2),10) C. eq \f(\r(2),2) D. eq \f(7\r(2),10)
10.(多选)已知cs α= eq \f(3,5) ,cs (α+β)=- eq \f(12,13) ,则cs β的值可能为( )
A.- eq \f(56,65) B.- eq \f(20,65) C.- eq \f(16,65) D. eq \f(15,65)
11.化简: eq \f(2cs 10°-sin 20°,cs 20°) =________.
12.已知α,β为锐角,cs α= eq \f(1,7) ,cs (α+β)=- eq \f(11,14) .
(1)求 eq \f(cs (α+\f(π,2))cs (α-π),sin (α-\f(3π,2))) 的值;
(2)求cs β的值.
13.已知2sin α-sin β= eq \r(3) ,2cs α-cs β=1,则cs (α-β)=( )
A.- eq \f(1,8) B.- eq \f(7,8)
C. eq \f(1,4) D. eq \f(\r(15),4)
课时作业(四十二) 两角差的余弦公式
1.解析:sin eq \f(8π,9) sin eq \f(2π,9) +cs eq \f(8π,9) cs eq \f(2π,9) =cs ( eq \f(8π,9) - eq \f(2π,9) )=cs eq \f(2π,3) =- eq \f(1,2) .
答案:D
2.解析:sin 20°cs 10°+sin 10°sin 70°=cs 70°cs 10°+sin 70°sin 10°=cs (70°-10°)=cs 60°= eq \f(1,2) .
答案:C
3.解析:∵sin α= eq \f(3,5) ,α是第二象限角,
∴cs α=- eq \f(4,5) ,
∴cs (α- eq \f(π,6) )=cs αcs eq \f(π,6) +sin αsin eq \f(π,6) =- eq \f(4,5) × eq \f(\r(3),2) + eq \f(3,5) × eq \f(1,2) = eq \f(3-4\r(3),10) .
答案:C
4.解析:∵角α与角β的终边关于y轴对称,
∴sin α=sin β= eq \f(1,3) ,cs α=-cs β,
∴cs (α-β)=cs αcs β+sin αsin β=-cs2α+sin2α=2sin2α-1= eq \f(2,9) -1=- eq \f(7,9) .
答案:D
5.解析:cs80°cs 20°+sin 80°sin 20°=cs (80°-20°)=cs 60°,A正确;cs 15°=cs (45°-30°)=cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°,B正确;sin (α+45°)sin α+cs (α+45°)cs α=cs (α+45°-α)=cs 45°,C正确;cs (α- eq \f(π,6) )=cs αcs eq \f(π,6) +sin αsin eq \f(π,6) = eq \f(\r(3),2) cs α+ eq \f(1,2) sin α,D错误.
答案:ABC
6.解析:cs 165°=cs (180°-15°)=-cs 15°=-cs (45°-30°)
=-(cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°)
=-( eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) + eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) )
=- eq \f(\r(6)+\r(2),4) .
答案:- eq \f(\r(6)+\r(2),4)
7.解析:cs (α- eq \f(π,3) )=cs αcs eq \f(π,3) +sin α·sin eq \f(π,3) = eq \f(1,2) cs α+ eq \f(\r(3),2) sin α=cs α,所以 eq \f(\r(3),2) sin α= eq \f(1,2) cs α,所以 eq \f(sin α,cs α) = eq \f(\r(3),3) ,即tan α= eq \f(\r(3),3) .
答案: eq \f(\r(3),3)
8.解析:由已知得:cs α= eq \f(4,5) ,sin β=- eq \f(12,13) ,所以cs (α-β)=cs αcs β+sin αsin β= eq \f(4,5) × eq \f(5,13) +(- eq \f(3,5) )×(- eq \f(12,13) )= eq \f(20,65) + eq \f(36,65) = eq \f(56,65) .
9.解析:由α∈( eq \f(π,4) , eq \f(π,2) ),得α+ eq \f(π,4) ∈( eq \f(π,2) , eq \f(3π,4) )则cs (α+ eq \f(π,4) )=- eq \r(1-sin2(α+\f(π,4))) =- eq \f(3,5) ,
csα=cs [(α+ eq \f(π,4) )- eq \f(π,4) ]=cs (α+ eq \f(π,4) )cs eq \f(π,4) +sin (α+ eq \f(π,4) )sin eq \f(π,4) =- eq \f(3,5) × eq \f(\r(2),2) + eq \f(4,5) × eq \f(\r(2),2) = eq \f(\r(2),10) .
答案:A
10.解析:因cs α= eq \f(3,5) ,则sin α=± eq \r(1-cs2α) =± eq \f(4,5) ,又cs(α+β)=- eq \f(12,13) ,则sin (α+β)=± eq \r(1-cs2(α+β)) =± eq \f(5,13) ,cs(α+β)cs α=- eq \f(12,13) × eq \f(3,5) =- eq \f(36,65) ,而cs β=cs [(α+β)-α]=cs (α+β)cs α+sin (α+β)sin α,
sin α与sin (α+β)同号,即sin (α+β)sin α= eq \f(20,65) ,则cs β=- eq \f(16,65) ,
sin α 与sin (α+β)异号,即sin (α+β)sin α=- eq \f(20,65) ,则cs β=- eq \f(56,65) ,
所以cs β的值可能为- eq \f(56,65) 或- eq \f(16,65) .
答案:AC
11.解析:原式= eq \f(2cs (30°-20°)-sin 20°,cs 20°)
= eq \f(2cs 30°cs 20°+2sin 30°sin 20°-sin 20°,cs 20°)
= eq \f(\r(3)cs 20°+sin 20°-sin 20°,cs 20°)
= eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°) = eq \r(3) .
答案: eq \r(3)
12.解析:(1)因为α为锐角,
所以sin α>0,sin α= eq \r(1-cs2α) = eq \r(1-(\f(1,7))2) = eq \f(4\r(3),7) ,
eq \f(cs(α+\f(π,2))cs (α-π),sin (α-\f(3π,2))) = eq \f(-sin α·(-cs α),cs α) =sin α
= eq \f(4\r(3),7) .
(2)因为α,β为锐角,所以0<α+β<π,sin (α+β)>0,
所以sin (α+β)= eq \r(1-cs2(α+β)) = eq \r(1-(-\f(11,14))2) = eq \f(5\r(3),14) ,
所以csβ=cs [(α+β)-α]=cs (α+β)cs α+sin (α+β)sin α,
=- eq \f(11,14) × eq \f(1,7) + eq \f(5\r(3),14) × eq \f(4\r(3),7) = eq \f(1,2) .
13.解析:由2sin α-sin β= eq \r(3) ,2cs α-cs β=1,
两边平方后相加得4sin2α+4cs2α+cs2β+sin2β-4sinαsin β-4cs αcs β=4,
即5-4sin αsin β-4cs αcs β=4得sin αsin β+cs αcs β= eq \f(1,4) ,
所以cs (α-β)= eq \f(1,4) .
答案:C
练 基 础
提 能 力
培 优 生
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