山东省济南市莱芜区2022-2023学年上学期鲁教版七年级上册数学期末模拟试卷(含答案)

这是一份山东省济南市莱芜区2022-2023学年上学期鲁教版七年级上册数学期末模拟试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
济南市莱芜区2022-2023鲁教版七年级上册数学期末模拟试卷
（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（　　）
A．5m B．9m C．11m D．13m
3．如果点P（2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．0
4．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣6）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若一个正比例函数的图象经过A（4，﹣8），B（3，m）两点，则m的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
6．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
6. 7. 8.
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6，则△DEB的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连结CF．若CD＝，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
9．直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则下列结论不正确的是（　　）
A．AD＝AB+DE B．∠CAD＝∠CDA C．△ABC≌△CED D．∠BAC与∠CDE互余
11．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；
①A、B两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．
其中正确的结论有（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
10. 11. 12.
12．如图所示，已知点C（2，0），直线y＝﹣x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长取最小值时，点D的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．一个正数的两个平方根分别是a﹣1和﹣3，则a的值为 　 　．
14．如图，将三角形纸片ABC沿BD折叠，若∠2＝90°，∠A＝50°，则∠1的度数为 　 　°．

15．已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为　 　．
16．如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝　 　．

17．若直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，则另一条直角边长为 　 　．
18．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过　 　分钟时，两仓库快递件数相同．

三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：+++．



20．求x的值．
（1）8（x+1）2＝27； （2）4x2﹣16＝0．




21．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．







22．如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积．

23．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．





24．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定是可爱三角形，是否正确．并填空 　 　（填“正确”或“不正确”）；
②若三角形的三边长分别是4、2、，则该三角形 　 　（是或不是）可爱三角形；
（2）①若等腰三角形是可爱三角形，并且有一边长为，则周长为 　 　；
②若Rt△ABC是可爱三角形，且一条直角边长为，则斜边长为 　 　．











25．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条绿道骑行，图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的关系，根据图象回答下列问题：
（1）甲骑完全程用时　 　小时；甲的速度是　 　km/h；
（2）求甲、乙相遇的时间；
（3）求甲出发多长时间两人相距10千米．



















26．已知一次函数的图象经过点A（0，3），B（2，﹣3）．
（1）求函数的表达式．
（2）若P（1，y1），Q（3，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小关系．


























27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+10）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点C的坐标 　 　，AO与BC位置关系是 　 　；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，请探究∠CBQ、∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．



济南市莱芜区2022-2023鲁教版七年级上册数学期末试卷模拟
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知三角形三边的长度分别是2m，8m和xm，若x是奇数，则x可能等于（　　）
A．5m B．9m C．11m D．13m
【分析】先求出第三边的取值范围．再根据奇数的概念解答即可．
【解答】解：设第三边长为x，则8﹣2＜x＜8+2，
∴6＜x＜10，
又∵x为奇数，
∴x＝7或9，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系的运用．关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．如果点P（2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．0
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵P（2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
则a+b＝2﹣3＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣6）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点A（2，﹣6）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，关键是根据各象限内点的坐标特征解答．
5．若一个正比例函数的图象经过A（4，﹣8），B（3，m）两点，则m的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】由点A的坐标，利用待定系数法即可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m＝﹣6．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
将A（4，﹣8）代入y＝kx得：﹣8＝4k，
解得：k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
又∵点B（3，m）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，
∴m＝﹣2×3＝﹣6，
∴m的值为﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键．
6．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）

A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【分析】由三角形的稳定性即可得出答案．
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，加上窗钩AB构成了△AOB，而三角形具有稳定性是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6，则△DEB的周长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据角平分线的性质求出CD＝DE，根据等腰直角三角形的性质求出∠B＝∠CAB＝45°，求出∠EDB＝∠B＝45°，根据等腰三角形的判定得出DE＝BE＝CD，根据勾股定理求出AC＝AE＝BC，再求出△DEB的周长＝AB的长，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠C＝∠AED＝90°，
由勾股定理得：AC2＝AD2﹣CD2，AE2＝AD2﹣DE2，
∴AC＝AE，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE＝CD，
∵AB＝6，AC＝BC，
∴△DEB的周长＝DE+BE+BD＝CD+BE+BD＝BE+BC＝BE+AC＝BE+AE＝AB＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
8．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连结CF．若CD＝，则AD的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用“角边角”证明△ADC≌△BDF，根据全等三角形对应边相等可得DF＝CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝CF，然后根据AD＝AF+DF代入数据即可得解．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°＝∠BAD，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠CBE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴CD＝DF＝，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AC＝2AE，
在Rt△CDF中，CF＝＝2，
∵BE⊥AC，AE＝EC，
∴AF＝CF＝2，
∴AD＝AF+DF＝2+，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9．直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
【解答】解：A、直线l1：y＝kx+b中k＞0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＜0，b＜0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线l1：y＝kx+b中k＞0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＞0，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线l1：y＝kx+b中k＜0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＞0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线l1：y＝kx+b中k＜0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＜0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
10．如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则下列结论不正确的是（　　）

A．AD＝AB+DE B．∠CAD＝∠CDA
C．△ABC≌△CED D．∠BAC与∠CDE互余
【分析】根据等腰三角形的性质可对B选项进行判断；利用等角的余角相等∠CAB＝∠DCE，则∠CAB+∠CDE＝90°，则可对D选项进行判断；接着利用“AAS”判断△ABC≌△CED，则可对C选项进行判断；根据全等三角形的性质得到AB＝CE，BC＝DE，则BE＝AB+DE，于是可对A选项进行判断．
【解答】解：∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，所以B选项不符合题意；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∵∠ACB+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠DCE，
∵∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠CAB+∠CDE＝90°，所以D选项不符合题意；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），所以C选项不符合题意；
∴AB＝CE，BC＝DE，
∴BE＝BC+CE＝AB+DE，
而AD＞BE，所以A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
11．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；
①A、B两城相距300千米；
②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；
③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；
④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．
其中正确的结论有（　　）

A．①②③④ B．①②④ C．①② D．②③④
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，小带行驶的时间为5小时，而小路是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比早小带到1小时，
∴①②都正确；
设小带车离开A城的距离y与t的关系式为y小带＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y小带＝60t，
设小路车离开A城的距离y与t的关系式为y小路＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得 ，
解得：，
∴y小路＝100t﹣100，
令y小带＝y小路，可得：60t＝100t﹣100，
解得：t＝2.5，
即小带、小路两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时小路出发时间为1.5小时，即小路车出发1.5小时后追上小带车，
∴③不正确；
令|y小带﹣y小路|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，
当100﹣40t＝50时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣50时，可解得t＝，
又当t＝时，y小带＝50，此时小路还没出发，
当t＝时，小路到达B城，y小带＝250；
综上可知当t的值为 或或或时，两车相距50千米，
∴④不正确；
故选：C．

【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．
12．如图所示，已知点C（2，0），直线y＝﹣x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长取最小值时，点D的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣2，0），点C关于直线AB的对称点C″（6，4），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，解求得K的坐标，进而求得C″的坐标，然后根据待定系数法求得直线C′C″的解析式，然后与直线AB的解析式联立，解方程组即可．
【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣2，0），点C关于直线AB的对称点C″，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
∴直线CC″的解析式为y＝x﹣2，
由解得：，
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，2），
∵K是CC″中点，
∴可得C″（6，4）．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
设直线C′C″的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线C′C″的解析式为y＝x+1，
解得，
∴D（，），
故选：D．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．一个正数的两个平方根分别是a﹣1和﹣3，则a的值为 　4　．
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可．
【解答】解：根据题意得：a﹣1+（﹣3）＝0，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
14．如图，将三角形纸片ABC沿BD折叠，若∠2＝90°，∠A＝50°，则∠1的度数为 　20　°．

【分析】由折叠的性质可得∠1＝∠ABD，∠A'＝∠A＝50°，再根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，

∵将三角形纸片ABC沿BD折叠，
∴∠1＝∠ABD，∠A'＝∠A＝50°，
∵∠BEA'＝90°，
∴∠A'BE＝90°﹣∠A'＝90°﹣50°＝40°，
∴∠1＝＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，明确折叠前后对应角相等是解题的关键．
15．已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为　y＝0.3x+6　．
【分析】弹簧总长＝挂上xkg的重物时弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长0.3xcm，
∴弹簧总长y＝0.3x+6．
故答案为：y＝0.3x+6．
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
16．如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝　70°　．

【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝35°，
∴∠GOH＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．

【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键．
17．若直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，则另一条直角边长为 　　．
【分析】根据题目中的数据和勾股定理，可以计算出另一条直角边长．
【解答】解：∵直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，
∴另一条直角边长为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
18．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过　20　分钟时，两仓库快递件数相同．

【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立，
解得，
∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：20
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：+++．
【分析】先计算绝对值和开方，再计算加减即可．
【解答】解：+++
＝﹣2+5+2﹣3
＝+2．
【点评】此题考查了绝对值、开方及加减混合运算能力，关键是能确定正确的运算顺序和能对以上知识熟练准确计算．
20．求x的值．
（1）8（x+1）2＝27；
（2）4x2﹣16＝0．
【分析】（1）根据平方根，即可解答；
（2）根据平方根，即可解答．
【解答】解：（1）8（x+1）2＝27，
（x+1）2＝，
x+1＝±，
∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣；
（2）4x2﹣16＝0，
4x2＝16，
x2＝4，
∴x＝±2．
【点评】本题考查了平方根，解题的关键是熟记平方根的定义．平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
21．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．

【分析】（1）根据ASA证明△BCA≌△DCE，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（ASA），
∴BC＝DC；
（2）∵△BCA≌△DCE，
∴∠B＝∠D＝15°，
∵∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝140°．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．

（2）△ABC的面积为3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
23．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．

【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝5米，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC＝90°即可；
（2）由三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
∴AC＝＝＝5（米），
∵CD＝3米，AD＝4米，
∴AD2+CD2＝AC2＝25，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：图中阴影部分土地的面积＝AC×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定是可爱三角形，是否正确．并填空 　正确　（填“正确”或“不正确”）；
②若三角形的三边长分别是4、2、，则该三角形 　是　（是或不是）可爱三角形；
（2）①若等腰三角形是可爱三角形，并且有一边长为，则周长为 　　；
②若Rt△ABC是可爱三角形，且一条直角边长为，则斜边长为 　2或2　．
【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，再由可爱三角形的定义即可得出结论；
②由42+（2）2＝2×（2）2，即可得出结论；
（2）①设等腰三角形的两个相等边长为x，由可爱三角形的定义得x2+x2＝2x2，则这个等腰三角形为等边三角形，即可求解；
②设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为：c，则a2+b2＝c2，a2+c2＝2b2，得b＝a，c＝a，进而求解即可．
【解答】解：（1）①设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形一定是可爱三角形，
故答案为：正确；
②∵42+（2）2＝40，2×（2）2＝40，
∴42+（2）2＝2×（2）2，
∴该三角形是可爱三角形，
故答案为：是；
（2）①设等腰三角形的两个相等边长为x，
∵等腰三角形是可爱三角形，
∴x2+x2＝2x2，
∴这个等腰三角形为等边三角形，
∴周长为：3×＝，
故答案为：；
②设Rt△ABC的两直角边分别为：a、b，斜边为：c，
则a2+b2＝c2③，
∴等腰直角三角形不是可爱三角形，
∵Rt△ABC是可爱三角形，设b＞a，
∴a2+c2＝2b2④，
由③④得：b＝a，c＝a，
∴a：b：c＝1：：，
∴当a＝2时，c＝2×＝2，
当b＝2时，c＝＝2，
故答案为：2或2．
【点评】本题考查了勾股定理、新定义“可爱三角形”、等腰三角形的性质等知识，理解新定义“可爱三角形”的定义是解题的关键．
25．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条绿道骑行，图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的关系，根据图象回答下列问题：
（1）甲骑完全程用时　3　小时；甲的速度是　10　km/h；
（2）求甲、乙相遇的时间；
（3）求甲出发多长时间两人相距10千米．

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲骑完全程所用的时间和速度；
（2）根据相同时间甲、乙的速度之比等于路程之比可求出乙的速度，则可求出甲、乙相遇的时间；
（3）分甲、乙相遇前和相遇后两种情况列出方程可求出答案．
【解答】解：（1）由图象可知，甲骑完全程用时3小时，
甲的速度是＝10（km/h）．
故答案为：3；10．
（2）由题意可知，乙到A地时，甲距离A地18千米处，
∵相同时间甲、乙的速度之比等于路程之比，
∴V乙＝＝×10＝（km/h），
∴相遇时间为30÷（+10）＝（h）；
（3）①甲、乙相遇前，30﹣（10+）x＝10，
解得，x＝；
②甲、乙相遇后，且未到A地时，（10+）（x﹣）＝10，
解得，x＝；
综合以上可得，当x＝或（h）时，两人相距10千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．已知一次函数的图象经过点A（0，3），B（2，﹣3）．
（1）求函数的表达式．
（2）若P（1，y1），Q（3，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小关系．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用（1）中的解析式分别计算出自变量为1和3对应的函数值，从而得到y1与y2的大小关系．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把A（0，3），B（2，﹣3）分别代入得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣3x+3；
（2）当x＝1时，y1＝﹣3×1+3＝0；
当x＝3时，y2＝﹣3×3+3＝﹣6，
所以y1＞y2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+10）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点C的坐标 　（0，﹣5）　，AO与BC位置关系是 　AO∥BC　；
（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，请探究∠CBQ、∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据偶次方、算术平方根的非负性分别求出a、c，得到点C的坐标，根据点的坐标特征判断AO与BC位置关系；
（2）分0＜t＜5、t＞5两种情况，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵（a+10）2+＝0，（a+10）2≥0，≥0，
∴a+10＝0，c+5＝0，
解得，a＝﹣10，c＝﹣5，
∴点C的坐标为（0，﹣5），
∵B（﹣5，﹣5），C（0，﹣5），
∴AO∥BC，
故答案为：（0，﹣5）；AO∥BC；
（2）设t秒后，S△PAB＝4S△QBC，
此时，AP＝2t，OQ＝t，
当0＜t＜5时，AP＝2t，QC＝5﹣t，
则×2t×5＝4××（5﹣t）×5，
解得，t＝，
则AP＝2t＝，
∴AP＝10﹣AP＝，
∴点P的坐标为（﹣，0），
当t＞5时，AP＝2t，QC＝t﹣5，
则×2t×5＝4××（t﹣5）×5，
解得，t＝10，
∴点P的坐标为（﹣，0）或（10，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ或∠BQP+∠OPQ+∠CBQ＝180°．
理由如下：①如图2所示，当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ，
∴∠OPQ+∠CBQ＝∠PQH+∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ；
②如图3所示，当点Q在点C的下方时，过Q点作HJ∥AO，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ，
∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ＝180°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ或∠BQP+∠OPQ+∠CBQ＝180°．


【点评】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、平行线的性质，掌握偶次方和算术平方根的非负性、平行线的性质定理是解题的关键．