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浙教版初中数学八年级下册第四单元《平行四边形》（困难）（含答案解析） 试卷
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这是一份浙教版初中数学八年级下册第四单元《平行四边形》（困难）（含答案解析），共36页。
浙教版初中数学八年级下册第四单元《平行四边形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第四单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=( )
A. 90°−12α B. 12α C. 90°+12α D. 360°−α
2. 若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为( )
A. 14或15 B. 13或14 C. 13或14或15 D. 14或15或16
3. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，EF//BD，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与△ADF面积相等的(除△ADF外)三角形有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
4. 如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105∘，点E在AD上，∠EBA=60∘，则EDCD的值是( )
A. 23
B. 12
C. 32
D. 22
5. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AC=8，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转45°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是( )
A. 先变大再变小 B. 先变小再变大 C. 逐渐变大 D. 不变
6. 下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的有( )
①正方形②长方形③等边三角形 ④线段⑤角⑥平行四边形
A. 5个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. 四边形ABCD中，AD//BC，当满足条件时，四边形ABCD是平行四边形( )
A. ∠A+∠C=180∘
B. ∠B+∠D =180∘
C. ∠A+∠B =180∘
D. ∠A+∠D =180∘
8. 已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，则下列结论不一定成立的是( )
A. AB//CD
B. ∠BAD=∠DCB
C. BD=AC
D. AD=BC
9. 如图，在Rt△ABC和Rt△AEF中，∠BAC=∠EAF=90∘，AB=AC=9，AE=AF=3，点M、N、P分别为EF、BC、CE的中点，若△AEF绕点A在平面内自由旋转，△MNP面积的最大值为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 20
10. 如图，在△ABC中，∠A=60°，D是边BC的中点，E是边AC上的一点，且AB+AE=CE，则DEAB的值为( )
A. 32
B. 5-12
C. 23
D. 12
11. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”时应假设( )
A. 没有一个角大于直角
B. 至多有一个角不小于直角
C. 每一个内角都为锐角
D. 至少有一个角大于直角
12. 用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是( )
A. a≤b
B. a≠b
C. a=b
D. a
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为___________。
14. 如图，四边形ABCD中，AB=AD=BC=13，CD=10，∠A=60°，BE⊥CD于E，点F在射线BE上．DF=41，将DF绕着点D顺时针旋转60°得到线段DM，则△ADM的面积为 ．
15. 如图，在边长为2的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为__________．
16. 如图，点A(0,4)，点B(3,0)，连结AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P.当AP⊥PB时，点P的坐标是____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．
(1)如图1.连接BD，若∠BAD=90°，求证：AD=CD．
(2)如图2，点P，Q分别在线段AD，DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=∠ABP+∠QBC；
(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
18. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．
(1)如图1，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；
(2)如图1，试说明：∠MBC+∠NDC的度数与α，β的数量关系．
(3)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；
(4)如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3：1：4，点E在边AD上，CE交BD于G，设BGGD=DEEA=k．
(1)求37k2+20的值；
(2)若点H分线段BE成BHHE=2的两段，且AH2+BH2+DH2=p2，试用含p的代数式表示△ABD三边长的平方和．
20. (本小题8.0分)
如图，线段CD是线段AB经过某种变换得到的图形．
(1)若点A与点C，点B与点D是对应点，第一象限内的点M的坐标为(m,n)，在这种变换下，点M的对应点N的坐标为______(用含m、n的式子表示)；
(2)若点A与点D、点B与点C是对应点，第一象限内的点M的坐标为(m,n)，在这种变换下，点M的对应点N的坐标为______(用含m、n的式子表示)；
(3)连接BD、AC，直接写出四边形ABDC的面积为______．
21. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD，AD=AC，AD⊥AC．
(1)如图1，点E在AD延长线上，CE//BD，求证：点D为AE中点；
(2)如图2，点E在AB中点，F是AC延长线上一点，且ED⊥EF，求证：ED=EF；
(3)在(2)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(先补全图形再解答)．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，等边ΔABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD和EF．
(1)求证：DE=CF；
(2)求EF的长；
(3)求四边形DEFC的面积．
24. (本小题8.0分)
如图所示，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=4，BO=6．
(1)求BC，AC的长．
(2)若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S△OBF:S△OCF=1:4，则CD的长为多少？(直接写出结果)．
25. (本小题8.0分)
如图①，A，B，C三点在一直线上，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G．
(1)判断AE=DC，BF=BG是否成立，请说明理由。
(2)如图②，若A，B，C不在同一直线上，请直接写出(1)的结论是否成立。
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的定义以及多边形的内角和、三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．
先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
【解答】
解：四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°−(∠A+∠D)=360°−α，
因为PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
所以∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠BCD)=12(360°−α)=180°−12α，
则∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(180°−12α)=12α.
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线A1N截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为13或14或15，
故选：C．
根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵EF//BD，
∴CFFD=CEBE=1，
∴点F是CD的中点，
∴S△ACF=S△ADF=12S△ACD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ACD=12S平行四边形ABCD，
同理可得，
△ACE，△ABE，△BCF，△BDF的面积均为▱ABCD面积的14，
∴与△ADF面积相等的三角形共5个，
故选：C．
可推出S△ACF=S△ADF=12S△ACD=14S平行四边形ABCD，进而得出△ACE，△ABE，△BCF，△BDF的面积均为▱ABCD面积的14，从而得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
4.【答案】D
【解析】如图，过点B作BH⊥AD于点H.设∠ADB=x，∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BC//AD，∠ADC=∠ABC=105∘，∴∠CBD=∠ADB=x．
∵AD=BD，∴∠DBA=∠DAB=180∘−x2，
∴x+180∘−x2=105∘，∴x=30∘，
∴∠ADB=30∘，∠DAB=75∘．
∵BH⊥AD，∴BD=2BH，DH=3BH．
∵∠EBA=60∘，∠DAB=75∘，∴∠AEB=45∘，
∴∠AEB=∠EBH=45∘，∴EH=BH，
∴DE=3BH−BH=(3−1)BH．
∵AB=BH2+AH2=BH2+(2BH−3BH)2= (6−2)BH=CD，
∴DECD=22.故选D．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，解题关键是证明△AFC的AC边上高是定值．
作FH⊥射线AC，垂足为H点，作CG⊥AB，垂足为G点，先证明△FCH≌△CEG，得出FH=CG，根据三角形面积公式可知，由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG(即FH)和AC始终保持不变，因此△AFC的面积也保持不变．
【解答】
解：作FH⊥射线AC，垂足为H点，作CG⊥AB，垂足为G点，则∠CGE=∠FHC=90°，
∵∠BAC=∠ECF=45°，∠ECF+∠FCH=∠BAC+∠AEC，
∴∠FCH=∠AEC，
由旋转可知：CE=CF，
∴△FCH≌△CEG(AAS)，
∴FH=CG，
由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG(即FH)和AC的长度始终保持不变，
因此△AFC的面积也保持不变．
故选D．
6.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念结合正方形、长方形、等边三角形、线段、角、平行四边形的性质即可解答．
【解答】解：∵绕某个点旋转180°能与自身重合的图形是中心对称图形，∴正方形、长方形、等边三角形、线段、角、平行四边形这六个图形中是中心对称图形的有正方形、长方形、线段、平行四边形四个图形．
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，四边形ABCD中，已经具备AD//BC，再根据选项，选择条件，推出AB//CD即可，只有D选项符合．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行，2、一组对边平行且相等，3、两组对边分别相等，4、对角线互相平分，5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
【解答】
解：A，错误，这样的四边形是等腰梯形．
B，错误，这样的四边形是等腰梯形．
C、错误，这样的四边形是等腰梯形．
D、正确，根据同旁内角互补，得出另一组对边也平行．
故选D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查平行四边形的判定和性质，根据性质可以推出此四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的即可推出A、B、D三项．
【解答】
解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，∠BAD=∠DCB，AD=BC．
所以，A、B、D三项均成立，
故选：C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判定△PMN的形状；连接AM、AN，BE，CF，首先证明△ABE≌△ACF，根据全等三角形的判定与性质和三角形的中位线性质证明△PMN是等腰直角三角形，然后根据勾股定理确定MN与PM的数量关系，利用三角形的面积公式求出△MNP的面积，最后求出MN的最大值，即可求解．
【解答】
解：连接AM、AN，BE，CF，如图：
∵∠BAC=90°，AB=AC=9，∠EAF=90°，AE=AF=3，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=AB2+AC2=92+92=92，EF=AE2+AF2=32+32=32，∠BAE+∠CAE=∠CAE+∠CAF=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
根据等腰直角三角形斜边上的中线性质可得：AM=12EF=322，AN=12BC=922，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF,
∴△ABE≌△ACFSAS，
∴∠ABE=∠ACF，BE=CF，
∴∠EBC+∠FCB=∠EBC+∠ACF+∠ACB
=∠EBC+∠ABE+∠ACB
=∠ABC+∠ACB
=45°+45°
=90°，
∵点M、N、P分别为EF、BC、CE的中点，
∴PM是△ECF的中位线，PN是△CBE的中位线，
∴PM//CF，PN//BE，PM=12CF，PN=12BE，
∴∠EPM=∠ECF，∠PNC=∠EBC，PM=PN，
根据三角形的外角性质可得∠EPN=∠PNC+∠PCN=∠EBC+∠PCB，
∴∠MPN=∠EPM+∠EPN
=∠ECF+∠EBC+∠PCB
=∠EBC+∠FCB
=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM2+PN2=MN2，即2PM2=MN2，
∴PM=22MN，
∴PN=PM=22MN，
∴S△PMN=12PM·PN=12×22MN×22MN=14MN2，
在△AEF旋转过程中，当M、A、N三点在同一条直线上，且M在NA的延长线上时，MN有最大值，最大值为AM+AN=322+922=62，
∴△MNP面积的最大值为14MN2=14×622=18．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】解：延长CA至F，使AF=AB，连接BF，过A作AG⊥BF，垂足为G，
∴BF=2BG，∠ABF=∠F，
∵∠BAC=∠F+∠ABF=60°，
∴∠ABF=30°，
∴BGAB=32，
∵AB+AE=CE，
∴AE=CE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF=2DE，
∴BG=DE，
∴DEAB=32．
延长CA至F，使AF=AB，连接BF，过A作AG⊥BF，垂足为G，结合∠BAC=60°利用三角形外角的性质可得BF=2BG，∠ABF=∠F=30°，可求得BGAB=32，再通过证明DE是△BCF的中位线，根据三角形中位线的性质可得DE=BG，进而可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形中位线，含30°角的直角三角形，证明DE是△BDF的中位线是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了用反证法证明命题的真假.反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立.注意在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】
解：用反证法证明“四边形中至少有一个角不小于直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角，即每一个角都是锐角．
故选C．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反证法，解题关键是掌握反证法的步骤，根据反证法的步骤来解答即可．
【解答】
解：反证法第一步是假设命题反面成立，
∴a⩾b的反面是a
13.【答案】40°
【解析】
【分析】
本题主要考查多边形的内角与外角，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【解答】
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，
∵五边形OAGFE内角和=(5−2)×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°−500°=40°，
故答案为40°．
14.【答案】20或40
【解析】
【分析】
分两种情况：当F在线段BE上时，连接BD，由AB=AD=13，∠DAB=60°，得△ABD是等边三角形，BD=13，又CD=10，BE⊥CD，可得S△BDF=12BF⋅DE=20，根据将DF绕着点D顺时针旋转60°得到线段DM，可得△ADM≌△BDF，从而S△ADM=S△BDF=20；当F在线段BE延长线上时，连接BE，同理可得DE=5，BE=12，EF=4，△BDF≌△ADM，即得S△ADM=S△BDF=12BF⋅DE=40．
本题考查四边形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类思想的应用．
【解答】
解：当F在线段BE上时，连接BD，如图：
∵AB=AD=13，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，BD=13，
∴BD=BC=13，
∵CD=10，BE⊥CD，
∴DE=CE=5，
∴BE=BD2−DE2=12，
∵DF=41，
∴EF=DF2−DE2=(41)2−52=4，
∴BF=BE−EF=8，
∴S△BDF=12BF⋅DE=12×8×5=20，
∵将DF绕着点D顺时针旋转60°得到线段DM，
∴∠FDM=60°，DF=DM，
∴∠FDB=∠MDA，
又AD=BD，
∴△ADM≌△BDF(SAS)，
∴S△ADM=S△BDF=20；
当F在线段BE延长线上时，连接DB，如图：
同理可得DE=5，BE=12，EF=4，△BDF≌△ADM(SAS)，
∴S△ADM=S△BDF=12BF⋅DE=12×(12+4)×5=40，
综上所述，△ADM的面积为20或40；
故答案为：20或40．
15.【答案】7
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段的性质，解答本题的关键是通过作辅助线，构造平行四边形；首先过点A作AH//BD，且AH=BD，连接CH交射线BD于F，在线段BF上截取FG=BD，首先证明AG=CG，然后证明四边形AHFG是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AG=FH，CH=CF+FH=CF+AG=CF+CG，再根据“两点之间线段最短”可知：此时CF+CG有最小值，最小值为线段CH的长，最后利用勾股定理求出线段CH的长，即可求解．
【解答】
解：过点A作AH//BD，且AH=BD，连接CH交射线BD于F，在线段BF上截取FG=BD，如图：
∵△ABC是边长为2的等边三角形，BD⊥AC于D，
∴BD垂直平分线段AC，∠ADB=90°，AB=AC=2，
∴AG=CG，AD=CD=12AC=12×2=1，BD=AB2−AD2=22−12=3，
∵GF=BD，AH=BD，
∴AH=GF，
又∵AH//GF，
∴四边形AHFG是平行四边形，
∴AG=FH，
∴CH=CF+FH=CF+AG=CF+CG，
根据“两点之间线段最短”可知：此时CF+CG有最小值，最小值为线段CH的长，
∵AH//BD，∠ADB=90°，
∴∠CAH=∠ADB=90°，
在Rt△CAH中，∠CAH=90°，AC=2，AH=BD=3，
∴CH=AC2+AH2=22+32=7，
∴CF+CG的最小值为7．
故答案为：7．
16.【答案】(4,2)．
【解析】解：∵点A(0,4)，点M是OA的中点，
∴OM=2，
∵点M、N分别是OA、AB的中点，
∴MN//OB，MN=12OB=1.5，
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=5，
∵∠APB=90°，点N是AB的中点，
∴PN=12AB=2.5，
则PM=PN+MN=4，
∴点P的坐标是(4,2)，
故答案为：(4,2)．
根据题意求出OM，根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出MN，根据直角三角形的性质求出PN，根据坐标与图形性质解答．
本题考查的是考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=90°，
∴∠BCD=∠BAD=90°，
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
BD=BDAB=BC,
∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)
∴AD=DC；
(2)证明：延长DC至点K，使CK=AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠BCK=180°，
∴∠BAD=∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
AB=CB∠BAP=∠BCKAP=CK,
∴△BPA≌△BKC(SAS)
∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，
∵PQ=AP+CQ，QK=CK+CQ，
∴PQ=QK
在△PBQ和△BKQ中，
BP=BKQP=QKBQ=BQ,
∴△PBQ≌△KBQ(SSS)
∴∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠CBQ=∠ABP+∠CBQ；
(3)解：∠PBQ=90°+12∠ADC，
理由如下：如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD+∠PAB=180°，
∴∠PAB=∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
AP=CK∠BAP=∠BCKAB=BC
∴△BPA≌△BKC(SAS)
∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，
∴∠PBK=∠ABC，
∵PQ=AP+CQ，
∴PQ=QK，
在△PBQ和△BKQ中，
BP=BKBQ=BQPQ=KQ,
∴△PBQ≌△KBQ(SSS)
∴∠PBQ=∠KBQ，
∴2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°，
∴2∠PBQ+(180°−∠ADC)=360°，
．
【解析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
(1)证明Rt△BAD≌Rt△BCD，根据全等三角形的性质证明结论；
(2)延长DC至点K，使CK=AP，连接BK，分别证明△BPA≌△BKC、△PBQ≌△KBQ，根据全等三角形的性质证明；
(3)在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，分别证明△BPA≌△BKC、△PBQ≌△KBQ，根据全等三角形的性质、四边形内角和为360°解答．
18.【答案】解：(1)由四边形内角和得，
∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，
∴∠MBC+∠NDC
=180°−∠ABC+180°−∠ADC
=360°−(∠ABC+∠ADC)
=360°−360°+α+β
=α+β
=120°；
(2)∠MBC+∠NDC=α+β，
理由：由四边形内角和得，
∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，
∴∠MBC+∠NDC
=180°−∠ABC+180°−∠ADC
=360°−(∠ABC+∠ADC)
=360°−360°+α+β
=α+β；
(3)如图1，连接BD，
由(2)得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，
在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°−∠BCD=180°−β，
在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°，
∴12(α+β)+180°−β+30°=180°，
∴β−α=60°；
(4)平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由(1)得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD−∠DHB=β−∠DHB，
∴∠CBE+β−∠DHB=12(α+β)，
∵α=β，
∴∠CBE+β−∠DHB=12(β+β)=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE//DF．
【解析】(1)∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，再根据∠MBC+∠NDC=180°−∠ABC+180°−∠ADC可得答案；
(2)由(1)的思路可得结论；
(3)连接BD，由(1)知∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线和外角的性质可得12(α+β)+180°−β+30°=180°，整理可得结论；
(4)由(1)知，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线和外角的性质则有∠CBE+β−∠DHB=12(β+β)=β，∠CBE=∠DHB，进而可得结论．
此题考查了平行线的判定，多边形的内角和公式，三角形外角性质，利用多边形的内角和公式是解题关键．
19.【答案】略解：(1)不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．
∵BGGD=DEEA=k，
∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是6kk+1．
∴△CDG的面积是1k+1，△CDE的面积为4kk+1，△DEG的面积是6k(k+1)2．
由此可得：1k+1+6k(k+1)2=4kk+1，
即4k2−3k−1=0，
∴k=1．
∴37k2+20=3．
(2)由(1)知：E、G分别为AD、BD的中点，
又∵点H分线段BE成BHHE=2的两段，
∴点H是△ABD的重心．
而当延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：2(AB2+BD2)=AD2+4BE2，类似地有2(BD2+AD2)=AB2+4DM22(AB2+AD2)=BD2+4AG2，其中点M为边AB的中点．
∴3(AB2+BD2+AD2)=4(BE2+DM2+AG2).
∵AH=23AG,BH=23BE,DH=23DM，AH2+BH2+DH2=p2，
∴BE2+DM2+AG2=94p2，
∴AB2+BD2+AD2=3p2．
【解析】(1)不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4.根据等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比，分别用k表示相关一些三角形的面积，从而得到关于k的方程，进行求解；
(2)根据(1)的结论，知E、G分别为AD、BD的中点，结合已知，得点H是△ABD的重心．延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK，构造平行四边形，根据平行四边形的性质和重心的性质进行分析求解．
此题综合运用了平行四边形的性质和三角形的重心的性质．
20.【答案】解：(1)(m−5,n−5)；
(2)(−m,−n)；
(3)10．
【解析】
【分析】
本题考查了利用平移变换作图，关键是根据中心对称的性质，面积求解．
(1)根据对应点的坐标利用平移的性质解答；
(2)根据中心对称的性质写出坐标即可；
(3)根据四边形的面积公式解答即可．
【解答】
解：(1)∵点A向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度点C，
∴点M的对应点N的坐标为(m−5,n−5)；
(2)∵点A与点D关于原点对称，
∴点M的对应点N的坐标为(−m,−n)；
(3)如图所示：
四边形ABDC的面积=12×2×1+12×2×1+2×2+2×2=10．
故答案为：(1)(m−5,n−5)；(2)(−m,−n)；(3)10．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，DC=AB，
∴∠EDC=∠DAB，
CE//BD，
∴∠E=∠ADB，
∴△EDC≌△DAB(AAS)，
∴ED=DA；
即点D为AE中点；
(2)证明：在▱ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，如图1所示：
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠CAE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°−∠CED，
在△CEF和△AED中，
∠CEF=∠AEDEC=AE∠ECF=∠EAD，
∴△CEF≌△AED(ASA)，
∴ED=EF；
(3)解：四边形ACPE为平行四边形，如图2，
理由如下：
由(2)知△CEF≌△AED，
∴CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP//AB，
∴FP=PB，
∴CP=12AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形．
【解析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)证明△EDC≌△DAB(AAS)，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
(3)根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=12AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形．
22.【答案】(1)证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．
在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=12AB，BE=12AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC//BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD//BC，即FD//BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．
(2)解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC=12AB=3，AC=3BC=33，
∴S平行四边形BCFD=3×33=93．
【解析】(1)在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC//BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD//BC，即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形．
(2)在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE=CF．
(2)∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，
∵BC=4，BD=2，
∴CD=42−22=23，
∵DE//CF，DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=23．
(3)过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC=90°，∠DCB=30°，
∴DH=12DC=3，
∵DE=CF=2，
∴S四边形DEFC=C⋅DH=2×3=23．
【解析】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
(1)利用三角形中位线定理即可解决问题．
(2)先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可．
(3)过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题．
24.【答案】解：(1)∵AO=4，BO=6，
∴AB=AO+BO=10，
∵BA=BC，
∴BC=10，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
由勾股定理得：CO=BC2−OB2=102−62=8，
AC=AO2+CO2=42+82=45．
(2)①分两种情况：
i)如图1，当AO=OE=4时，过O作ON⊥AC于N，
∴AN=EN，
∵DE⊥AC，
∴ON//DE，
∴AO=OD=4；
ii)当AO=AE=4时，如图2，
在△CAO和△DAE中，
∠A=∠A∠AOC=∠AED=90°AO=AE,
∴△CAO≌△DAE(AAS)，
∴AD=AC=45，
∴OD=45−4；
②分两种情况：
i)当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，
∵S△OBF：S△OCF=1：4，
∴BFCF=14，
∴BFCB=13，
∵CB=10，
∴BF=103，
∵EF⊥AC，
∴BG//AC，
∴∠GBF=∠ACB，
∵AE//BG，
∴∠A=∠DBG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵∠DGB=∠FGB，
∴∠BDG=∠BFG，
∴BD=BF=103，
∴OD=OB−BD=6−103=83，
∴CD=OC2+OD2=82+832=8103．
ii)当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，
同理得BFCF=14，
∵BC=10，
∴BF=2，
同理得：∠BFG=∠BDF，
∴BD=BF=2，
Rt△COD中，CD=CO2+OD2=82+6+22=82，
综上，CD的长为8103或82．
【解析】本题考查的考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论，三角形中位线定理有关知识．
(1)根据BA=BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；
(2)①分两种情况：AO=OE和AO=AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
i)当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得BFCF=14，可得BF=103，根据平行线的性质证明∠BDG=∠BFG，得BD=BF=103，最后利用勾股定理可得结论；
ii)当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理计算可得结论．
25.【答案】解：(1)AE=DC，BF=BG.理由如下：
∵△ABD，△BCE是等边三角形
∴AB=DB，EB=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
又∵∠ABD+∠EBD=∠EBC+∠EBD，
∴∠ABE=∠DBC
在△∠ABE和△DBC中
AB=DB ∠ABE=∠DBCEB=BC
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=DC，∠BAE=∠BDC，
∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABD=∠DBG=60°
在△ABF和△DBG中
∠ABD=∠DBG AB=DB∠BAE=∠BDC
∴△∠ABF≌△DBG(AAS)，
∴BF=BG；
(2)AE=DC仍成立，而BF=BG不成立．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；证明线段不相等是比较独特的，要注意掌握．
(1)易证△ABE≌△DBC，可得∠BDC=∠BAE，AE=DC，可证△BAF≌△BDG，可得BF=BG；
(2)易证△ABE≌△DBC，可得AE=DC，∠BAE=∠BDC，假设BG=BF，可证△ABF≌△DBG，进而可得∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，从而得到A、B、C在同一条直线上，这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾，故假设不成立．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)AE=DC，但BF≠BG．
理由①AE=DC．
∵△ABD和等边△BCE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，
AB=BD∠ABE=∠CBEBE=EC，
∴△ABE≌△DBC(SAS)．
∴AE=DC(全等三角形对应边相等)，
∠BAE=∠BDC(全等三角形对应角相等)．
②BF≠BG．
理由：若BG=BF，由(1)可知△ABE≌△DBC，
∴∠BAF=∠BDG，
又AB=DB
则△ABF与△DBG有两边和一边的对角对应相等．
∴∠ABF=∠DBG或∠ABG+∠DBG=180°(不合题意，舍去)
∴△ABF≌△DBG(SAS)．
∴∠ABF=∠DBG=60°(全等三角形对应角相等)．
∴∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，
所以A、B、C在同一条直线上，这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾，
∴BF≠BG．
浙教版初中数学八年级下册第四单元《平行四边形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第四单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=( )
A. 90°−12α B. 12α C. 90°+12α D. 360°−α
2. 若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为( )
A. 14或15 B. 13或14 C. 13或14或15 D. 14或15或16
3. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，EF//BD，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与△ADF面积相等的(除△ADF外)三角形有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
4. 如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105∘，点E在AD上，∠EBA=60∘，则EDCD的值是( )
A. 23
B. 12
C. 32
D. 22
5. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AC=8，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转45°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是( )
A. 先变大再变小 B. 先变小再变大 C. 逐渐变大 D. 不变
6. 下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的有( )
①正方形②长方形③等边三角形 ④线段⑤角⑥平行四边形
A. 5个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. 四边形ABCD中，AD//BC，当满足条件时，四边形ABCD是平行四边形( )
A. ∠A+∠C=180∘
B. ∠B+∠D =180∘
C. ∠A+∠B =180∘
D. ∠A+∠D =180∘
8. 已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，则下列结论不一定成立的是( )
A. AB//CD
B. ∠BAD=∠DCB
C. BD=AC
D. AD=BC
9. 如图，在Rt△ABC和Rt△AEF中，∠BAC=∠EAF=90∘，AB=AC=9，AE=AF=3，点M、N、P分别为EF、BC、CE的中点，若△AEF绕点A在平面内自由旋转，△MNP面积的最大值为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 20
10. 如图，在△ABC中，∠A=60°，D是边BC的中点，E是边AC上的一点，且AB+AE=CE，则DEAB的值为( )
A. 32
B. 5-12
C. 23
D. 12
11. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”时应假设( )
A. 没有一个角大于直角
B. 至多有一个角不小于直角
C. 每一个内角都为锐角
D. 至少有一个角大于直角
12. 用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是( )
A. a≤b
B. a≠b
C. a=b
D. a
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为___________。
14. 如图，四边形ABCD中，AB=AD=BC=13，CD=10，∠A=60°，BE⊥CD于E，点F在射线BE上．DF=41，将DF绕着点D顺时针旋转60°得到线段DM，则△ADM的面积为 ．
15. 如图，在边长为2的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为__________．
16. 如图，点A(0,4)，点B(3,0)，连结AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P.当AP⊥PB时，点P的坐标是____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．
(1)如图1.连接BD，若∠BAD=90°，求证：AD=CD．
(2)如图2，点P，Q分别在线段AD，DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=∠ABP+∠QBC；
(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
18. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．
(1)如图1，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；
(2)如图1，试说明：∠MBC+∠NDC的度数与α，β的数量关系．
(3)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；
(4)如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3：1：4，点E在边AD上，CE交BD于G，设BGGD=DEEA=k．
(1)求37k2+20的值；
(2)若点H分线段BE成BHHE=2的两段，且AH2+BH2+DH2=p2，试用含p的代数式表示△ABD三边长的平方和．
20. (本小题8.0分)
如图，线段CD是线段AB经过某种变换得到的图形．
(1)若点A与点C，点B与点D是对应点，第一象限内的点M的坐标为(m,n)，在这种变换下，点M的对应点N的坐标为______(用含m、n的式子表示)；
(2)若点A与点D、点B与点C是对应点，第一象限内的点M的坐标为(m,n)，在这种变换下，点M的对应点N的坐标为______(用含m、n的式子表示)；
(3)连接BD、AC，直接写出四边形ABDC的面积为______．
21. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD，AD=AC，AD⊥AC．
(1)如图1，点E在AD延长线上，CE//BD，求证：点D为AE中点；
(2)如图2，点E在AB中点，F是AC延长线上一点，且ED⊥EF，求证：ED=EF；
(3)在(2)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(先补全图形再解答)．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，等边ΔABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD和EF．
(1)求证：DE=CF；
(2)求EF的长；
(3)求四边形DEFC的面积．
24. (本小题8.0分)
如图所示，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=4，BO=6．
(1)求BC，AC的长．
(2)若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设DE交直线BC于点F，连结OF，CD，若S△OBF:S△OCF=1:4，则CD的长为多少？(直接写出结果)．
25. (本小题8.0分)
如图①，A，B，C三点在一直线上，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G．
(1)判断AE=DC，BF=BG是否成立，请说明理由。
(2)如图②，若A，B，C不在同一直线上，请直接写出(1)的结论是否成立。
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的定义以及多边形的内角和、三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．
先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
【解答】
解：四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°−(∠A+∠D)=360°−α，
因为PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
所以∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠BCD)=12(360°−α)=180°−12α，
则∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(180°−12α)=12α.
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线A1N截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为13或14或15，
故选：C．
根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵EF//BD，
∴CFFD=CEBE=1，
∴点F是CD的中点，
∴S△ACF=S△ADF=12S△ACD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ACD=12S平行四边形ABCD，
同理可得，
△ACE，△ABE，△BCF，△BDF的面积均为▱ABCD面积的14，
∴与△ADF面积相等的三角形共5个，
故选：C．
可推出S△ACF=S△ADF=12S△ACD=14S平行四边形ABCD，进而得出△ACE，△ABE，△BCF，△BDF的面积均为▱ABCD面积的14，从而得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
4.【答案】D
【解析】如图，过点B作BH⊥AD于点H.设∠ADB=x，∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BC//AD，∠ADC=∠ABC=105∘，∴∠CBD=∠ADB=x．
∵AD=BD，∴∠DBA=∠DAB=180∘−x2，
∴x+180∘−x2=105∘，∴x=30∘，
∴∠ADB=30∘，∠DAB=75∘．
∵BH⊥AD，∴BD=2BH，DH=3BH．
∵∠EBA=60∘，∠DAB=75∘，∴∠AEB=45∘，
∴∠AEB=∠EBH=45∘，∴EH=BH，
∴DE=3BH−BH=(3−1)BH．
∵AB=BH2+AH2=BH2+(2BH−3BH)2= (6−2)BH=CD，
∴DECD=22.故选D．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，解题关键是证明△AFC的AC边上高是定值．
作FH⊥射线AC，垂足为H点，作CG⊥AB，垂足为G点，先证明△FCH≌△CEG，得出FH=CG，根据三角形面积公式可知，由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG(即FH)和AC始终保持不变，因此△AFC的面积也保持不变．
【解答】
解：作FH⊥射线AC，垂足为H点，作CG⊥AB，垂足为G点，则∠CGE=∠FHC=90°，
∵∠BAC=∠ECF=45°，∠ECF+∠FCH=∠BAC+∠AEC，
∴∠FCH=∠AEC，
由旋转可知：CE=CF，
∴△FCH≌△CEG(AAS)，
∴FH=CG，
由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG(即FH)和AC的长度始终保持不变，
因此△AFC的面积也保持不变．
故选D．
6.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念结合正方形、长方形、等边三角形、线段、角、平行四边形的性质即可解答．
【解答】解：∵绕某个点旋转180°能与自身重合的图形是中心对称图形，∴正方形、长方形、等边三角形、线段、角、平行四边形这六个图形中是中心对称图形的有正方形、长方形、线段、平行四边形四个图形．
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，四边形ABCD中，已经具备AD//BC，再根据选项，选择条件，推出AB//CD即可，只有D选项符合．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行，2、一组对边平行且相等，3、两组对边分别相等，4、对角线互相平分，5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
【解答】
解：A，错误，这样的四边形是等腰梯形．
B，错误，这样的四边形是等腰梯形．
C、错误，这样的四边形是等腰梯形．
D、正确，根据同旁内角互补，得出另一组对边也平行．
故选D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查平行四边形的判定和性质，根据性质可以推出此四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的即可推出A、B、D三项．
【解答】
解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，∠BAD=∠DCB，AD=BC．
所以，A、B、D三项均成立，
故选：C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判定△PMN的形状；连接AM、AN，BE，CF，首先证明△ABE≌△ACF，根据全等三角形的判定与性质和三角形的中位线性质证明△PMN是等腰直角三角形，然后根据勾股定理确定MN与PM的数量关系，利用三角形的面积公式求出△MNP的面积，最后求出MN的最大值，即可求解．
【解答】
解：连接AM、AN，BE，CF，如图：
∵∠BAC=90°，AB=AC=9，∠EAF=90°，AE=AF=3，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=AB2+AC2=92+92=92，EF=AE2+AF2=32+32=32，∠BAE+∠CAE=∠CAE+∠CAF=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
根据等腰直角三角形斜边上的中线性质可得：AM=12EF=322，AN=12BC=922，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF,
∴△ABE≌△ACFSAS，
∴∠ABE=∠ACF，BE=CF，
∴∠EBC+∠FCB=∠EBC+∠ACF+∠ACB
=∠EBC+∠ABE+∠ACB
=∠ABC+∠ACB
=45°+45°
=90°，
∵点M、N、P分别为EF、BC、CE的中点，
∴PM是△ECF的中位线，PN是△CBE的中位线，
∴PM//CF，PN//BE，PM=12CF，PN=12BE，
∴∠EPM=∠ECF，∠PNC=∠EBC，PM=PN，
根据三角形的外角性质可得∠EPN=∠PNC+∠PCN=∠EBC+∠PCB，
∴∠MPN=∠EPM+∠EPN
=∠ECF+∠EBC+∠PCB
=∠EBC+∠FCB
=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM2+PN2=MN2，即2PM2=MN2，
∴PM=22MN，
∴PN=PM=22MN，
∴S△PMN=12PM·PN=12×22MN×22MN=14MN2，
在△AEF旋转过程中，当M、A、N三点在同一条直线上，且M在NA的延长线上时，MN有最大值，最大值为AM+AN=322+922=62，
∴△MNP面积的最大值为14MN2=14×622=18．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】解：延长CA至F，使AF=AB，连接BF，过A作AG⊥BF，垂足为G，
∴BF=2BG，∠ABF=∠F，
∵∠BAC=∠F+∠ABF=60°，
∴∠ABF=30°，
∴BGAB=32，
∵AB+AE=CE，
∴AE=CE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF=2DE，
∴BG=DE，
∴DEAB=32．
延长CA至F，使AF=AB，连接BF，过A作AG⊥BF，垂足为G，结合∠BAC=60°利用三角形外角的性质可得BF=2BG，∠ABF=∠F=30°，可求得BGAB=32，再通过证明DE是△BCF的中位线，根据三角形中位线的性质可得DE=BG，进而可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形中位线，含30°角的直角三角形，证明DE是△BDF的中位线是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了用反证法证明命题的真假.反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立.注意在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】
解：用反证法证明“四边形中至少有一个角不小于直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角，即每一个角都是锐角．
故选C．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反证法，解题关键是掌握反证法的步骤，根据反证法的步骤来解答即可．
【解答】
解：反证法第一步是假设命题反面成立，
∴a⩾b的反面是a
13.【答案】40°
【解析】
【分析】
本题主要考查多边形的内角与外角，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【解答】
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，
∵五边形OAGFE内角和=(5−2)×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°−500°=40°，
故答案为40°．
14.【答案】20或40
【解析】
【分析】
分两种情况：当F在线段BE上时，连接BD，由AB=AD=13，∠DAB=60°，得△ABD是等边三角形，BD=13，又CD=10，BE⊥CD，可得S△BDF=12BF⋅DE=20，根据将DF绕着点D顺时针旋转60°得到线段DM，可得△ADM≌△BDF，从而S△ADM=S△BDF=20；当F在线段BE延长线上时，连接BE，同理可得DE=5，BE=12，EF=4，△BDF≌△ADM，即得S△ADM=S△BDF=12BF⋅DE=40．
本题考查四边形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类思想的应用．
【解答】
解：当F在线段BE上时，连接BD，如图：
∵AB=AD=13，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，BD=13，
∴BD=BC=13，
∵CD=10，BE⊥CD，
∴DE=CE=5，
∴BE=BD2−DE2=12，
∵DF=41，
∴EF=DF2−DE2=(41)2−52=4，
∴BF=BE−EF=8，
∴S△BDF=12BF⋅DE=12×8×5=20，
∵将DF绕着点D顺时针旋转60°得到线段DM，
∴∠FDM=60°，DF=DM，
∴∠FDB=∠MDA，
又AD=BD，
∴△ADM≌△BDF(SAS)，
∴S△ADM=S△BDF=20；
当F在线段BE延长线上时，连接DB，如图：
同理可得DE=5，BE=12，EF=4，△BDF≌△ADM(SAS)，
∴S△ADM=S△BDF=12BF⋅DE=12×(12+4)×5=40，
综上所述，△ADM的面积为20或40；
故答案为：20或40．
15.【答案】7
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段的性质，解答本题的关键是通过作辅助线，构造平行四边形；首先过点A作AH//BD，且AH=BD，连接CH交射线BD于F，在线段BF上截取FG=BD，首先证明AG=CG，然后证明四边形AHFG是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AG=FH，CH=CF+FH=CF+AG=CF+CG，再根据“两点之间线段最短”可知：此时CF+CG有最小值，最小值为线段CH的长，最后利用勾股定理求出线段CH的长，即可求解．
【解答】
解：过点A作AH//BD，且AH=BD，连接CH交射线BD于F，在线段BF上截取FG=BD，如图：
∵△ABC是边长为2的等边三角形，BD⊥AC于D，
∴BD垂直平分线段AC，∠ADB=90°，AB=AC=2，
∴AG=CG，AD=CD=12AC=12×2=1，BD=AB2−AD2=22−12=3，
∵GF=BD，AH=BD，
∴AH=GF，
又∵AH//GF，
∴四边形AHFG是平行四边形，
∴AG=FH，
∴CH=CF+FH=CF+AG=CF+CG，
根据“两点之间线段最短”可知：此时CF+CG有最小值，最小值为线段CH的长，
∵AH//BD，∠ADB=90°，
∴∠CAH=∠ADB=90°，
在Rt△CAH中，∠CAH=90°，AC=2，AH=BD=3，
∴CH=AC2+AH2=22+32=7，
∴CF+CG的最小值为7．
故答案为：7．
16.【答案】(4,2)．
【解析】解：∵点A(0,4)，点M是OA的中点，
∴OM=2，
∵点M、N分别是OA、AB的中点，
∴MN//OB，MN=12OB=1.5，
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=5，
∵∠APB=90°，点N是AB的中点，
∴PN=12AB=2.5，
则PM=PN+MN=4，
∴点P的坐标是(4,2)，
故答案为：(4,2)．
根据题意求出OM，根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出MN，根据直角三角形的性质求出PN，根据坐标与图形性质解答．
本题考查的是考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=90°，
∴∠BCD=∠BAD=90°，
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
BD=BDAB=BC,
∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)
∴AD=DC；
(2)证明：延长DC至点K，使CK=AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠BCK=180°，
∴∠BAD=∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
AB=CB∠BAP=∠BCKAP=CK,
∴△BPA≌△BKC(SAS)
∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，
∵PQ=AP+CQ，QK=CK+CQ，
∴PQ=QK
在△PBQ和△BKQ中，
BP=BKQP=QKBQ=BQ,
∴△PBQ≌△KBQ(SSS)
∴∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠CBQ=∠ABP+∠CBQ；
(3)解：∠PBQ=90°+12∠ADC，
理由如下：如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD+∠PAB=180°，
∴∠PAB=∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
AP=CK∠BAP=∠BCKAB=BC
∴△BPA≌△BKC(SAS)
∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，
∴∠PBK=∠ABC，
∵PQ=AP+CQ，
∴PQ=QK，
在△PBQ和△BKQ中，
BP=BKBQ=BQPQ=KQ,
∴△PBQ≌△KBQ(SSS)
∴∠PBQ=∠KBQ，
∴2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°，
∴2∠PBQ+(180°−∠ADC)=360°，
．
【解析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
(1)证明Rt△BAD≌Rt△BCD，根据全等三角形的性质证明结论；
(2)延长DC至点K，使CK=AP，连接BK，分别证明△BPA≌△BKC、△PBQ≌△KBQ，根据全等三角形的性质证明；
(3)在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，分别证明△BPA≌△BKC、△PBQ≌△KBQ，根据全等三角形的性质、四边形内角和为360°解答．
18.【答案】解：(1)由四边形内角和得，
∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，
∴∠MBC+∠NDC
=180°−∠ABC+180°−∠ADC
=360°−(∠ABC+∠ADC)
=360°−360°+α+β
=α+β
=120°；
(2)∠MBC+∠NDC=α+β，
理由：由四边形内角和得，
∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，
∴∠MBC+∠NDC
=180°−∠ABC+180°−∠ADC
=360°−(∠ABC+∠ADC)
=360°−360°+α+β
=α+β；
(3)如图1，连接BD，
由(2)得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，
在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°−∠BCD=180°−β，
在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°，
∴12(α+β)+180°−β+30°=180°，
∴β−α=60°；
(4)平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由(1)得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD−∠DHB=β−∠DHB，
∴∠CBE+β−∠DHB=12(α+β)，
∵α=β，
∴∠CBE+β−∠DHB=12(β+β)=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE//DF．
【解析】(1)∠ABC+∠ADC=360°−(α+β)，再根据∠MBC+∠NDC=180°−∠ABC+180°−∠ADC可得答案；
(2)由(1)的思路可得结论；
(3)连接BD，由(1)知∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线和外角的性质可得12(α+β)+180°−β+30°=180°，整理可得结论；
(4)由(1)知，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线和外角的性质则有∠CBE+β−∠DHB=12(β+β)=β，∠CBE=∠DHB，进而可得结论．
此题考查了平行线的判定，多边形的内角和公式，三角形外角性质，利用多边形的内角和公式是解题关键．
19.【答案】略解：(1)不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．
∵BGGD=DEEA=k，
∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是6kk+1．
∴△CDG的面积是1k+1，△CDE的面积为4kk+1，△DEG的面积是6k(k+1)2．
由此可得：1k+1+6k(k+1)2=4kk+1，
即4k2−3k−1=0，
∴k=1．
∴37k2+20=3．
(2)由(1)知：E、G分别为AD、BD的中点，
又∵点H分线段BE成BHHE=2的两段，
∴点H是△ABD的重心．
而当延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：2(AB2+BD2)=AD2+4BE2，类似地有2(BD2+AD2)=AB2+4DM22(AB2+AD2)=BD2+4AG2，其中点M为边AB的中点．
∴3(AB2+BD2+AD2)=4(BE2+DM2+AG2).
∵AH=23AG,BH=23BE,DH=23DM，AH2+BH2+DH2=p2，
∴BE2+DM2+AG2=94p2，
∴AB2+BD2+AD2=3p2．
【解析】(1)不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4.根据等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比，分别用k表示相关一些三角形的面积，从而得到关于k的方程，进行求解；
(2)根据(1)的结论，知E、G分别为AD、BD的中点，结合已知，得点H是△ABD的重心．延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK，构造平行四边形，根据平行四边形的性质和重心的性质进行分析求解．
此题综合运用了平行四边形的性质和三角形的重心的性质．
20.【答案】解：(1)(m−5,n−5)；
(2)(−m,−n)；
(3)10．
【解析】
【分析】
本题考查了利用平移变换作图，关键是根据中心对称的性质，面积求解．
(1)根据对应点的坐标利用平移的性质解答；
(2)根据中心对称的性质写出坐标即可；
(3)根据四边形的面积公式解答即可．
【解答】
解：(1)∵点A向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度点C，
∴点M的对应点N的坐标为(m−5,n−5)；
(2)∵点A与点D关于原点对称，
∴点M的对应点N的坐标为(−m,−n)；
(3)如图所示：
四边形ABDC的面积=12×2×1+12×2×1+2×2+2×2=10．
故答案为：(1)(m−5,n−5)；(2)(−m,−n)；(3)10．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，DC=AB，
∴∠EDC=∠DAB，
CE//BD，
∴∠E=∠ADB，
∴△EDC≌△DAB(AAS)，
∴ED=DA；
即点D为AE中点；
(2)证明：在▱ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，如图1所示：
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠CAE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°−∠CED，
在△CEF和△AED中，
∠CEF=∠AEDEC=AE∠ECF=∠EAD，
∴△CEF≌△AED(ASA)，
∴ED=EF；
(3)解：四边形ACPE为平行四边形，如图2，
理由如下：
由(2)知△CEF≌△AED，
∴CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP//AB，
∴FP=PB，
∴CP=12AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形．
【解析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)证明△EDC≌△DAB(AAS)，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
(3)根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=12AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形．
22.【答案】(1)证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．
在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=12AB，BE=12AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC//BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD//BC，即FD//BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．
(2)解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC=12AB=3，AC=3BC=33，
∴S平行四边形BCFD=3×33=93．
【解析】(1)在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC//BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD//BC，即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形．
(2)在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE=CF．
(2)∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，
∵BC=4，BD=2，
∴CD=42−22=23，
∵DE//CF，DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=23．
(3)过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC=90°，∠DCB=30°，
∴DH=12DC=3，
∵DE=CF=2，
∴S四边形DEFC=C⋅DH=2×3=23．
【解析】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
(1)利用三角形中位线定理即可解决问题．
(2)先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可．
(3)过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题．
24.【答案】解：(1)∵AO=4，BO=6，
∴AB=AO+BO=10，
∵BA=BC，
∴BC=10，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
由勾股定理得：CO=BC2−OB2=102−62=8，
AC=AO2+CO2=42+82=45．
(2)①分两种情况：
i)如图1，当AO=OE=4时，过O作ON⊥AC于N，
∴AN=EN，
∵DE⊥AC，
∴ON//DE，
∴AO=OD=4；
ii)当AO=AE=4时，如图2，
在△CAO和△DAE中，
∠A=∠A∠AOC=∠AED=90°AO=AE,
∴△CAO≌△DAE(AAS)，
∴AD=AC=45，
∴OD=45−4；
②分两种情况：
i)当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，
∵S△OBF：S△OCF=1：4，
∴BFCF=14，
∴BFCB=13，
∵CB=10，
∴BF=103，
∵EF⊥AC，
∴BG//AC，
∴∠GBF=∠ACB，
∵AE//BG，
∴∠A=∠DBG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵∠DGB=∠FGB，
∴∠BDG=∠BFG，
∴BD=BF=103，
∴OD=OB−BD=6−103=83，
∴CD=OC2+OD2=82+832=8103．
ii)当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，
同理得BFCF=14，
∵BC=10，
∴BF=2，
同理得：∠BFG=∠BDF，
∴BD=BF=2，
Rt△COD中，CD=CO2+OD2=82+6+22=82，
综上，CD的长为8103或82．
【解析】本题考查的考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论，三角形中位线定理有关知识．
(1)根据BA=BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；
(2)①分两种情况：AO=OE和AO=AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
i)当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得BFCF=14，可得BF=103，根据平行线的性质证明∠BDG=∠BFG，得BD=BF=103，最后利用勾股定理可得结论；
ii)当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理计算可得结论．
25.【答案】解：(1)AE=DC，BF=BG.理由如下：
∵△ABD，△BCE是等边三角形
∴AB=DB，EB=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
又∵∠ABD+∠EBD=∠EBC+∠EBD，
∴∠ABE=∠DBC
在△∠ABE和△DBC中
AB=DB ∠ABE=∠DBCEB=BC
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=DC，∠BAE=∠BDC，
∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABD=∠DBG=60°
在△ABF和△DBG中
∠ABD=∠DBG AB=DB∠BAE=∠BDC
∴△∠ABF≌△DBG(AAS)，
∴BF=BG；
(2)AE=DC仍成立，而BF=BG不成立．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；证明线段不相等是比较独特的，要注意掌握．
(1)易证△ABE≌△DBC，可得∠BDC=∠BAE，AE=DC，可证△BAF≌△BDG，可得BF=BG；
(2)易证△ABE≌△DBC，可得AE=DC，∠BAE=∠BDC，假设BG=BF，可证△ABF≌△DBG，进而可得∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，从而得到A、B、C在同一条直线上，这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾，故假设不成立．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)AE=DC，但BF≠BG．
理由①AE=DC．
∵△ABD和等边△BCE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，
AB=BD∠ABE=∠CBEBE=EC，
∴△ABE≌△DBC(SAS)．
∴AE=DC(全等三角形对应边相等)，
∠BAE=∠BDC(全等三角形对应角相等)．
②BF≠BG．
理由：若BG=BF，由(1)可知△ABE≌△DBC，
∴∠BAF=∠BDG，
又AB=DB
则△ABF与△DBG有两边和一边的对角对应相等．
∴∠ABF=∠DBG或∠ABG+∠DBG=180°(不合题意，舍去)
∴△ABF≌△DBG(SAS)．
∴∠ABF=∠DBG=60°(全等三角形对应角相等)．
∴∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，
所以A、B、C在同一条直线上，这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾，
∴BF≠BG．
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