2022-2023学年江苏省扬州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题卡上）
1. 抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（　　）
A. y轴 B. 直线x=﹣1 C. 直线x=1 D. 直线x=﹣3
2. 某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，8，9，16，12，7，10，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 10，12 B. 12， 11 C. 11，12 D. 12，12
3. 在一个没有透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A. 3 B. 8 C. 5 D. 10
4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

A. B. C. D.
5. 如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）

A. （2，5） B. （2.5，5） C. （3，5） D. （3，6）
6. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（没有计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）

A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 5πcm
7. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）

A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m
8. 二次函数图象上部分点坐标满足下表,则该函数图象的顶点坐标为
X
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-3
-2
-3
-6
-11
…

A. （﹣3，﹣3） B. （﹣2，﹣2） C. （﹣1，﹣3） D. （0，﹣6）
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共，30分.）
9. 当=_____时，关于的方程是一元二次方程．
10. 函数的顶点坐标是___________．
11. 关于x的一元二次方程的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．
12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为_____．
13. 如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=_________°．

14. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，则弦AB的长为_______cm．

15. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的函数关系式是____________________．
16. 某校要从四名学生中选拔一名参加“汉字听写”大赛，选择赛中每名学生的平均学生的平均成绩及其方差如表所示，如果要选一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是___．

甲
乙
丙
丁

8
9
9
8

1
1
1.2
1.3

17. 圆锥的侧面展开图的面积为18π，母线长为6，则圆锥的底面半径为________．
18. 如图，将边长为（）cm的正方形绕其旋转45°，则两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积为___________cm2．

三、解 答 题（本大题共10小题，共计96分.）
19. 解方程：（1） (x＋1)2－9＝0 ；（2）(x-4)2+2(x-4)=0
20. 一个没有透明的口袋中装有2个红球(记为红球1、红球2)、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；
（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列举法(画树状图或列表)求两次都摸到红球的概率．
21. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E 求证：
（1）；（2）

22. 为建设美丽家园，某企业逐年增加对环境保护的投入，2015年投入了400万元，到2017年投入了576万元．
（1）求2015年至2017年该单位环保投入的年平均增长率；
（2）该单位预计投入环保没有低于700万元，若希望继续保持前两年的年平均增长率，问该目标能否实现？请通过计算说明理由．
23. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．求证：MN是⊙O的切线．

24. 某商品进价为每件50元，售价为每件60元，每天可卖出190件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每天的利润为y元．
（1）求y关于x的关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为1980元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得利润？利润是多少元？
25. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
26. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．

27. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的值．
28. 如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x交点称为抛物线的没有动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有没有动点．






















2022-2023学年江苏省扬州市九年级下册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题卡上）
1. 抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（　　）
A. y轴 B. 直线x=﹣1 C. 直线x=1 D. 直线x=﹣3
【正确答案】C

【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定对称轴．
【详解】解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．
故选：C．
本题考查了抛物线的顶点式与抛物线的性质之间的关系，关键是明确抛物线的顶点坐标及开口方向．

2. 某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，8，9，16，12，7，10，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 10，12 B. 12， 11 C. 11，12 D. 12，12
【正确答案】C

【分析】将原数据按由小到大排列，处于最中间的数就是中位数，如果中间有两个数，则中位数就是两个数的平均数；众数是指在这一组数据中出现次数至多的数．
【详解】解：将数据有小到大排列为：7，8，9，10，12，12，14，16，
由此可知其中中位数为：11，
众数为：12，
故选：C ．
本题考察众数，中位数的概念，能熟练掌握众数和中位数的概念是解决本题的关键．


3. 在一个没有透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A. 3 B. 8 C. 5 D. 10
【正确答案】B

【详解】试题分析：在一个没有透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，而其概率为，因此可得=，解得n=8.
故选B．
考点：概率的求法
4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
5. 如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）

A. （2，5） B. （2.5，5） C. （3，5） D. （3，6）
【正确答案】B

【详解】试题分析：∵以原点O为位似，在象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选B．
考点：位似变换；坐标与图形性质．

6. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（没有计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）

A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 5πcm
【正确答案】B

【分析】圆锥的底面周长=扇形的弧长，据此列等式求出r的值．
【详解】解： ，解得r=10c．
故选：B．
本题考查圆锥的有关计算．

7. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）

A. ﹣20m B. 10m C. 20m D. ﹣10m
【正确答案】C

【详解】解：根据题意，把y=﹣4直接代入解析式y=﹣x2
解得x=±10，
所以A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
即可得水面宽度AB为20m．
故选C.
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．

8. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表,则该函数图象的顶点坐标为
X
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-3
-2
-3
-6
-11
…

A. （﹣3，﹣3） B. （﹣2，﹣2） C. （﹣1，﹣3） D. （0，﹣6）
【正确答案】B

【详解】∵x=−3和−1时的函数值都是−3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=−2，
∴顶点坐标为(−2,−2).
故选B.
点睛: 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共，30分.）
9. 当=_____时，关于的方程是一元二次方程．
【正确答案】4

【详解】关于x的方程是一元二次方程，得m-2=2，
解得m=4．
故答案：4．
本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟练掌握此概念．
10. 函数的顶点坐标是___________．
【正确答案】(-1,3)

【详解】根据二次函数的顶点坐标确定方法，直接得出二次函数的顶点坐标是：(−1, 3).
故答案为(−1, 3).
11. 关于x的一元二次方程的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．
【正确答案】-2

【分析】将代入得出m的值，然后解方程即可得出另一个根的值.
【详解】由题意把代入方程得：
，解得：，
∴原方程为：，解此方程得：，
∴原方程的另一根为：-2.
12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为_____．
【正确答案】3

【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4k=0，然后解一元方程即可求解．
【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4k=0，
解得k=3．
故答案为:3.
13. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=_________°．

【正确答案】125．

【分析】连接OD，根据圆的切线定理和等腰三角形的性质可得出答案.
【详解】连接OD，

则∠ODC=90°，∠COD=70°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为125．
考点：切线的性质．
14. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，则弦AB的长为_______cm．

【正确答案】8

【详解】连接OA、OC根据切线的性质可知△OAC是直角三角形，OC垂直平分AB，根据勾股定理及垂径定理即可解答．
解：连接OA、OC，

∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，
∵OA=5cm，OC=3cm，
∴AC==4cm，
∵AB是大圆的弦，OC过圆心，OC⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=8cm．
15. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的函数关系式是____________________．
【正确答案】y=2(x-1)2+3

【详解】将二次函数y=2x2的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据“上加下减，左加右减”的原则可得新函数的关系式为y=2(x-1)2+3.
16. 某校要从四名学生中选拔一名参加“汉字听写”大赛，选择赛中每名学生的平均学生的平均成绩及其方差如表所示，如果要选一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是___．

甲
乙
丙
丁

8
9
9
8

1
1
1.2
1.3

【正确答案】乙

【详解】∵9>8，
∴乙、丙两名学生的平均成绩高于甲、丁两名学生，
又∵10即图象在x轴的上方，．
故答案为．
16. 如图，AB为⊙0的弦，AB=6，点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的值是______________．

【正确答案】3

【分析】根据中位线定理得到MN的时，AC，当AC时是直径，从而求得直径后就可以求得值．
【详解】解：因为点M、N分别是AB、BC的中点，
由三角形的中位线可知：MN=AC，
所以当AC为直径时，MN．这时∠B=90°
又因为∠ACB=45°，AB=6 解得AC=6
MN长的值是3．
故3．

本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值，难度没有大．
17. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分没有受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移8米，半圆的直径为4米，则圆心O所的路线长是__米

【正确答案】8+2π

【详解】如下图所示，由题意可知，圆心O在工件移动过程所的路线包括：线段O1O2，弧O2O3和线段O3O4三个部分，而线段O1O2=AB=半圆的弧长，
∴圆心O的路线长=（米）.
故答案为.

18. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（，0）、（3，0）、（0，5），点D在象限，且∠ADB=60°，则线段CD的长的最小值为__．
【正确答案】2-2

【分析】
【详解】如图，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，

∵A（，0）、B（3，0），
∴E（2，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2，1），
∵C（0，5），
∴PC==2，
又∵PD=PA=2，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）
∴CD最小值为：2-2；
故答案为2-2．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
19. （1）
（2）
【正确答案】（1）13 （2）

【详解】试题分析：
（1）0指数幂和负整数指数幂的意义按实数的相关运算法则计算即可；
（2）按分式的相关运算法则计算即可.
试题解析：
（1）原式=
=
（2）原式=
=
=.
20. 先化简，再求值：，其中m满足一元二次方程m2-2m-8=0.
【正确答案】，-

【详解】试题分析：
先将原式按分式的相关运算法则化简，然后解方程求出m的值，再将使原分式有意义的m的值代入化简后的式子计算即可.
试题解析：
原式=
=
=
解方程m2-2m-8=0得：m=4或m=-2，
∵当m=-2时，原分式无意义，
∴m=4，
∴原式=.
21. 某校有A、B两个阅览室，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个阅览室阅读．
（1）下列中，是必然的为（ ）
A．甲、乙同学都在A阅览室 B．甲、乙、丙同学中至少两人在A阅览室
C．甲、乙同学在同一阅览室 D．甲、乙、丙同学中至少两人在同一阅览室
（2）用画树状图的方法求甲、乙、丙三名学生在同一阅览室阅读的概率．
【正确答案】（1）D （2）

【详解】（1）有甲、乙、丙三名同学，只有A、B两个阅览室，那么至少有2名同学在同一阅览室，据此判断A、B、C、D哪一项是符合题意的，并做出选择；
（2）用树状图列举出所有情况共8种，然后数一数甲、乙、丙三名同学在同一阅览室的情况数是2种，根据概率的公式计算即可得解.
解：（1）A．甲、乙同学都在A阅览室是随机；
B．甲、乙、丙同学中至少两人在A阅览室是随机；
C．甲、乙同学在同一阅览室是随机；
D．甲、乙、丙同学中至少两人在同一阅览室是必然.
故选D.
（2）用树状图分析如下：

∴P三名学生在同一阅览室=.
答：甲、乙、丙三名学生在同一阅览室阅读的概率是.
22. 为了开展阳光体育运动，某市教体局做了一个随机，内容是：每天锻炼是否超过1h及锻炼未超过1h的原因．他们随机了600名学生，用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图（图1、图2）．


根据图示，请回答以下问题：
（1）“没时间”的人数是 　 ，并补全频数分布直方图；
（2）2016年该市中小学生约40万人，按此，可以估计2016年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有 　 万人；
（3）在（2）的条件下，如果计划2018年该市中小学生每天锻炼未超过1h的人数降到7.5万人，求2016年至2018年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率．
【正确答案】（1）300 （2）10 （3）50%

【详解】试题分析：
（1）由扇形统计图中的信息可得被的600人中，锻炼没有超过1h的人有450人，频数直方图中的信息即可得到“没有时间”的人数为300人，由此即可补全频数直方图；
（2）由扇形统计图可知，每天锻炼超过1h的约为，由此估计出全市中小学生每天锻炼超过1h的人数为40×=10（万人）；
（3）由（2）中结果可知，每天锻炼没有超过1h小时的中小学生约有30万人，设平均每年降低的百分率为x，则由题意可得，解方程，并实际意义检验即可得到所求的百分率.
试题解析：
（1）由两幅统计图中的信息可得：（人），即每天锻炼没有超过1h的人属于“没时间”的有300人，由此补充完整频数直方图如下：

（2）由题意可得：40×=10（万人），即全市中小学生每天锻炼超过1h的约有10万人；
（3）设平均每年降低的百分率为x，则由题意可得：
，解得：（没有合题意，舍去），
∴年平均降低的百分率为50%.
23. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

【正确答案】（1）证明见解析（2）-1

【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．

24. 如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．

（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度；
（2）求A、B两点间的距离（结果到0.1米，参考数据：≈1.732）．
【正确答案】（1）30．（2）34.6米．

【分析】（1）根据角度的三角函数值即可求解；
（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：．
∴tan∠ABC=，
∴∠ABC=30°；
故30；
（2）设过点P水平线为PQ，则由题意得：

45°



在Rt△PBH中，
在Rt△PBA中，
答：A、B两点间的距离约34.6米．
25. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，连结AD. 
（1）求证：AD是∠BAC的平分线；    
（2）若AC= 3，BC=4，求⊙O的半径.

【正确答案】（1）证明见解析（2）

【详解】试题分析：
（1）连接OD，由⊙O与BC边相切于点D可得∠ODB=∠C=90°，从而可得OD∥AC，由此即可得到∠CAD=∠ADO，由OD=OA可得∠DAO=∠ODA，即可得到∠CAD=∠DAO，从而得到AD是∠BAC的角平分线；
（2）在Rt△ABC中，由AC=3，BC=4易得AB=5，由ta=，设OD=3x，则BD=4x，由此在Rt△OBD中可得OB=5x，OA=OD=3x可得AB=8x=5，解得x=，即可得到⊙O的半径为.
试题分析：
（1）如图，连接OD，
∵⊙O与BC边相切于点D，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OD=OA，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠CAD=∠DAO，
∴AD是∠BAC的角平分线；

（2）∵在Rt△ABC中，由AC=3，BC=4，
∴AB=，
∵ta=，
∴可设OD=3x，则BD=4x，
∴OB=，
又∵OA=OD=3x，
∴AB=3x+5x=8x=5，解得：x=，
∴⊙O的半径OD=3x=.
点睛：本题解第2小题的要点是：利用本题的图形特点得到ta=，从而通过设⊙O的半径OD=3x把OB、OA表达出来，最终勾股定理得到AB=8x=5，这样即可求得⊙O的半径OD了.
26. 某商场一种成本为每件30元的商品，过程中发现，每月量y（件）与单价x（元）之间的关系可近似看作函数y＝－10x＋600，商场该商品每月获得利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果商场该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该商品，商场新产品，每月的销量与价格之间的关系与原产品的情况相同，新产品的成本每件32元，若新产品每月的量没有低于200件时，政府部门给予每件4元的补贴，试求定价多少元时，每月新产品的利润？求出的利润．
【正确答案】（1）w＝－10x2＋900x－18000; (2) 3000元; (3) 40元，利润为2400元.

【详解】试题分析：（1）根据：月利润=（单价﹣成本价）×量，从而列出关系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出单价，再根据：月成本=成本价×量可得答案；
（3）根据量低于200件和没有低于200件求出x的范围，并根据：利润=每件产品的利润×量，从而列出关系式；运二次函数性质求出其最值，比较大小可得．
试题解析：解：（1）w=（x﹣30）（﹣10x+600）=﹣10x2+900x﹣18000；
（2）由题意得，﹣10x2+900x﹣18000=2000，解得：x1=40，x2=50，当x=40时，成本为30×（﹣10×40+600）=6000（元），当x=50时，成本为30×（﹣10×50+600）=3000（元），∴每月想要获得2000元的利润，每月成本至少3000元；
（3）当y＜200时，即：﹣10x+600＜200，解得：x＞40，w=（x﹣32）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣46）2+1960，∵a=﹣10＜0，x＞40，∴当x=46时，w值=1960（元）；
当y≥200时，即：﹣10x+600≥200，解得：x≤40，w=（x﹣32+4）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣44）2+2560，∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，当32＜x≤40时，w随x的增大而增大，∴当x=40时，w值=2400（元），∵1960＜2400，∴当x=40时，w．
答：定价每件40元时，每月新产品利润，利润为2400元．
点睛：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
27. 【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（没有含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（没有含端点C），其它条件没有变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（没有含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

【正确答案】见解析

【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论．
（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣
∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN．
∴△ABC∽△AMN．∴．
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN.
∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN．
28. 已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）b=2+a或2﹣a；（3）当或或或时，以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．

【详解】试题分析：(1)、连接PM、PN，根据切线的性质得出PM=PN，根据就NPM=∠EPF=90°得出∠NPE=∠MPF，从而说明△PMF和△PNE全等，从而说明PE=PF；(2)、根据t＞1和1＜t≤1两种情况求出a和b的关系；(3)、根据相似三角形的几种没有同的情况求出t的值.
试题解析：(1)、如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，
在△PMF和△PNE中，∠NPE=∠MPF PN=PM ∠PNE=∠PMF ，∴△PMF≌△PNE（ASA） ∴PE=PF，
(2)、解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，
由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，
∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2－a，
(3)、t=，t=，t=2±

考点：(1)、圆的性质；(2)、切线的性质；(3)、三角形全等的性质.