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2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷（AB卷）含解析，共46页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、选一选（每题 3 分，共 30 分）
1. 用公式法解方程时，、、的值分别是（ ）
A. 5、6、-8 B. 5、-6、-8 C. 5、-6、8 D. 6、5、-8
2. 用配方法解方程 x2-2x-7=0 时，原方程应变形为( )
A. （x+1）2=8 B. （x+2）2=4 C. （x-1）2=8 D. （x-2）2=4
3. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -3
4. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A B. 8 C. 0 D. 0或8
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形
6. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( )
A. 18 B. 16 C. 15 D. 14
7. 如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. “五一”期间，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了 45 场比赛，则这次参加比赛队伍有（ ）
A 12 支 B. 11 支 C. 9 支 D. 10 支
9. 用“整体法”求得方程（2x+5）2-4(2x+5)+3=0的解为（ ）
A. x1=1 x2=3 B. x1=-2 x2=3 C. x1=-3 x2=-1 D. x1=-2 x2=-1
10. 一个盒子装有除颜色外其它均相同 2 个红球和 1 个白球,现从中任取 2 个球,则取到的是一个红球,一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
二、填 空 题（每题 3 分，共 21 分）
11. 方程x2=4x的解 __．
12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
13. 某种药品两次降价由原来的每盒 12.5 元降到每盒 8 元，如果 2 次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，可列出的方程为_____.
14. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则 OC=_____.
15. 已知（x2+y2﹣1）（x2+y2﹣2）=4，则x2+y2的值等于_____．
16. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m．
17. 如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的 最小值为 _____.
三、解 答 题（共 49 分）
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）9x2-100=0 （2）x（x-1）=2（x-1）
（3）（x+2）（x+3）=20 （4）3x2-4x-1=0
19. 小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字 1，2，3，5 的四张牌给小莉，将数字为 4，6，7，8 的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后 将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去，如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；
（2）哥哥设计游戏规则公平么？请说明理由．
20. 百货商店服装柜在中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大量，增加盈利，减少库存．经市场发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
21. 如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，AB=6cm，AD=8cm.
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．判断四边形FBGD的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，求FG的长.
2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、选一选（每题 3 分，共 30 分）
1. 用公式法解方程时，、、的值分别是（ ）
A. 5、6、-8 B. 5、-6、-8 C. 5、-6、8 D. 6、5、-8
【正确答案】C
【详解】解：原方程可化为5x2-6x+8=0，∴a=5，b=-6，c=8．故选C．
2. 用配方法解方程 x2-2x-7=0 时，原方程应变形为( )
A （x+1）2=8 B. （x+2）2=4 C. （x-1）2=8 D. （x-2）2=4
【正确答案】C
【详解】解：方程x2﹣2x﹣7=0，变形得：x2﹣2x=7，配方得：x2﹣2x+1=8，即（x﹣1）2=8，故选C．
点睛：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -3
【正确答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
【详解】设一元二次方程的另一根为x1，
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，
∴﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
4. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. B. 8 C. 0 D. 0或8
【正确答案】D
【详解】解：∵一元二次方程x2+(m−2)x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即(m−2)2−4×1×(m+1)=0，
整理，得m2−8m=0，
解得m1=0，m2=8．
故选D．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形
【正确答案】D
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
【详解】A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
熟练掌握平行四边形的各自特点，矩形对角线相等，邻边垂直．菱形对角线垂直且平分对角，邻边相等．同时具备矩形和菱形的四边形是正方形．
6. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( )
A. 18 B. 16 C. 15 D. 14
【正确答案】B
【分析】
【详解】已知四边形ABCD是菱形，AC=8, BD=6，根据菱形的性质可得OA=4,OD=3,AB=AD,在Rt△AOD中，由勾股定理可得AD=5，所以△ABD的周长等于AD+AB+BD=5+5+6=16,
故选B
点睛：本题考查了菱形的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算AD的长是解题的关键．
7. 如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【分析】由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后运用勾股定理求得AB、CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，即可解答．
【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，
∴AC＝2OB＝10，
∴CD＝AB＝＝＝6，
∵M是AD的中点，
∴OM＝CD＝3．
故C．
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8. “五一”期间，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了 45 场比赛，则这次参加比赛的队伍有（ ）
A. 12 支 B. 11 支 C. 9 支 D. 10 支
【正确答案】D
【详解】解：设这次有x个队参加比赛，由题意得：
x(x-1)=45，解得x=10或﹣9（舍去）；
∴这次有10个队参加比赛．故选D．
9. 用“整体法”求得方程（2x+5）2-4(2x+5)+3=0的解为（ ）
A. x1=1 x2=3 B. x1=-2 x2=3 C. x1=-3 x2=-1 D. x1=-2 x2=-1
【正确答案】D
【详解】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选D．
点睛：本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解答此题的关键．
10. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 1 个白球,现从中任取 2 个球,则取到的是一个红球,一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中取到的是一个红球，一个白球的结果数为4，所以取到的是一个红球，一个白球的概率==．故选C．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．
二、填 空 题（每题 3 分，共 21 分）
11. 方程x2=4x的解 __．
【正确答案】x=0或x=4
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【详解】解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x1=0，x2=4，
故x=0或x=4．
12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【正确答案】24
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故24．
本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
13. 某种药品两次降价由原来的每盒 12.5 元降到每盒 8 元，如果 2 次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，可列出的方程为_____.
【正确答案】12.5(1-x)2=8
【详解】解：根据题意得：12.5（1﹣x）2=8．故答案为12.5（1﹣x）2=8．
14. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则 OC=_____.
【正确答案】4
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，
∵∠ADB=30°，
∴AC=BD=2AB=8，
∴OC=AC=4．
故答案为4．
此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形思想的应用．
15. 已知（x2+y2﹣1）（x2+y2﹣2）=4，则x2+y2的值等于_____．
【正确答案】
【详解】本题可以利用换元法进行求解,设,
原方程可以变形为:,即,解得:
因为,所以.
16. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m．
【正确答案】4600
【详解】小敏行走的路程为，则，
小聪行走的路程为 .
连接CG，
在正方形ABCD中，，
在△ADG和△CDG中，
∴，
∴AG=CG.
又∵，
∴四边形GECF是矩形，
∴.
又∵∠=45°，
∴DE=GE，
∴小聪行走的路程为.
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和矩形的判定等知识，正确作出辅助线是解题的关键..
17. 如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的 最小值为 _____.
【正确答案】3
【详解】解：作F点关于BD对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P，∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3，∴EP+FP的最小值为3．故答案为3．
点睛：本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．
三、解 答 题（共 49 分）
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）9x2-100=0 （2）x（x-1）=2（x-1）
（3）（x+2）（x+3）=20 （4）3x2-4x-1=0
【正确答案】（1）x=±；（2）x1=2，x2=1；（3）x1=-7，x2=2；（4）,.
【详解】试题分析：（1）把常数项移到等号右边，用直接开平方法计算；
（2）把等号右边移到等号左边把方程的右边变成0，则方程左边的二次三项式很容易分解因式，因而利用分解因式法比较简单；
（3）首先移项把方程化为一般式，方程左边的式子可以利用十字相乘法进行分解，因而利用因式分解法解决比较简单；
（4）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
试题解析：解：（1）9x2﹣100=0，9x2=100，x2=，x=±；
（2）x（x﹣1）=2（x﹣1），x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x1=2，x2=1；
（3）（x+2）（x+3）=20，x2+5x﹣14=0，（x﹣2）（x+7）=0，x1=﹣7，x2=2；
（4）3x2﹣4x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，x==，x1=，x2=．
19. 小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字 1，2，3，5 的四张牌给小莉，将数字为 4，6，7，8 的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后 将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去，如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；
（2）哥哥设计的游戏规则公平么？请说明理由．
【正确答案】（1）见解析（2）游戏没有公平，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）用列表法列举出所以出现的情况，即可得到结论．
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
试题解析：解：（1）依题列表如下图：
共有 16 种等可能情况，两张牌数字相加和的结果有：5，6，7，8，9，10，11，12，13
（2）两张牌相加和为偶数的有 6 种情况，和为奇数的有 10 情况，∴ P （小莉）=，P（哥哥）=，∴P 小莉≠P 哥哥，∴游戏没有公平．
点睛：此题主要考查了游戏公平性的判断．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏没有公平．
20. 百货商店服装柜在中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大量，增加盈利，减少库存．经市场发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【正确答案】20元
【分析】设每件童装应降价x元，根据题意列出方程计算即可；
【详解】设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）（20＋2x）＝1200，
解得x1＝20，x2＝10（因为尽快减少库存，没有合题意，舍去），
答：每件童装降价20元．
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列方程计算是解题的关键．
21. 如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，AB=6cm，AD=8cm
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．判断四边形FBGD的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，求FG的长.
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）根据已知矩形性质及问证得邻边相等判断；
（3）根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【详解】（1）如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB， ∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC
∴FD∥BG 又∵DG∥BE
∴四边形BFDG是平行四边形
∵DF=BF
∴四边形BFDG是菱形；
（3）设DF为xcm，则BF=xcm,AF＝(8-x)cm
在Rt△ABE中，由勾股定理得，62+（8-x）2＝x2，解得x=,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，∴BD==10，
∵四边形BGDF菱形，
∴BD⊥FG，
∵ 10×FG×＝，
∴FG,∴FG的长为.
考查了四边形综合题，矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折没有变性，综合性较强．
2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选（每小题2分，共12分）
1. 下列图形中只有一条对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列各组条件中，没有能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E
C. AC=DF，BC=EF，∠A=∠D D. AB=DE，BC=EF，AC=ED
3. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则的周长等于（ ）．
A. B. C. D.
5. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则是（ ）
A. 含30°角的直角三角形 B. 顶角是30°的等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
二、填 空 题（每小题2分，共20分）
7. 角是轴对称图形，__是它对称轴．
8. 如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，需添加一个条件是__________．（填上一个条件即可）
9. 直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是___．
10. 将一张矩形纸片折叠成如图所示形状，则__________．
11. 如图，直线是多边形的对称轴，其中，，等于__________．
12. 在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝_____时，△ABC是等腰三角形．
13. 如图，一艘海轮位于灯塔A的南偏东65°方向的C处，它以每小时30海里的速度向正向航行，2小时后到达位于灯塔A的北偏东50°的B处，则B处与灯塔A的距离为_____海里．
14. 如图，已知，过顶点的直线，，的平分线分别交于点、，若，，，则的长为__________．
15. 如图，已知点为的角平分线上的一点，点在边上．爱动脑筋的小刚仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间有一定的数量关系，请你写出与的数量关系__________．
16. 如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______________时，和全等．
三、解 答 题（本大题共10小题，共计68分）
17. 如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
18. 已知：如图，在中，，BE、CD是中线求证：．
19. 如图，是等边三角形，，垂足为，点在的延长线上，且，若，求的长．
20. 已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
21. 在边长为个单位长度的小正方形网格中，有（顶点是网格线的交点）．
（）画出关于直线对称的图形；再将向下平移个单位，画出平移后得到的．
（）在上画出点，使最小．
（）轴对称变换和平移变换有关性质，两个对应三角形与的对应点所具有的性质是（ ）．
A．对应点连线与直线垂直 B．对应点连线被直线平分
C．对应点连线被直线垂直平分 D．对应点连线互相平行
22. 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间没有能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
23. 如图，在中，、分别是与的中点，，．
求证：．
24. 我们在研究等腰三角形的轴对称性时，将等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠，发现了“等边对等角”的性质，即如图①，将的纸片沿顶角平分线折叠，发现．
如图②，在中，若，那么与大小又如何？小明将也沿的角平分线折叠，从而发现．请你在图②中画出图形，并图形说明理由．
25. 已知：如图，，射线平分．
（）尺规作图（没有写作法，保留作图痕迹）作的垂直平分线，与相交于点，连接、．
（）在（）的条件下，与的数量关系为__________，证明你的结论．
26. 【提出问题】
如图①，点、、在同一条直线上，，，且，，易证≌．
【类比探究】
（1）如图②，在和中，，若，，．求证：≌．
【知识应用】
（2）如图②，在和中，，若，，，若的度数是的倍，则__________．
【数学思考】
（3）如图②，在和中，，若，，当≌时，__________．（结果用含有的代数式表示）
2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选（每小题2分，共12分）
1. 下列图形中只有一条对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.分别分析即可.
【详解】A.有两条对称轴，故没有能选；
B. 有两条对称轴，故没有能选；
C. 有1条对称轴，故能选；
D. 有两条对称轴，故没有能选.
故选C
本题考核知识点：轴对称.解题关键点：理解轴对称和对称轴概念，
2. 在下列各组条件中，没有能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E
C. AC=DF，BC=EF，∠A=∠D D. AB=DE，BC=EF，AC=ED
【正确答案】C
【分析】根据全等三角形的判定可以解答本题．
【详解】AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，故选项A没有符合题意；
AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，根据ASA可以可以判定△ABC≌△DEF，故选项B没有符合题意；
AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，根据SSA没有可以判定△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
AB=DE，BC=EF，AC=ED，根据SSS可以可以判定△ABC≌△DEF，故选项D没有符合题意；
故选C．
此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理．
3. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选B．
本题主要考查了尺规作图—作已知角相等的角，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
4. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则的周长等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】【分析】由线段??的垂直平分线性质得AE=BE,因此的周长=BC+BE+CE=BC+AC=12+7=19.
【详解】因为，线段??的垂直平分线交??于?，
所以，AE=BE,
所以，AE+CE=BE+CE=AC=12.
所以，的周长=BC+BE+CE=BC+AC=12+7=19.
故选C
本题考核知识点：线段垂直平分线. 解题关键点：熟记线段垂直平分线性质.
5. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断.
【详解】∵第三个图形是三角形，
∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，
∵再展开可知两个短边正对着，
∴选择答案D，排除B与C．
故选D．
【点晴】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.
6. 已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则是（ ）
A. 含30°角的直角三角形 B. 顶角是30°的等腰三角形
C 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【正确答案】C
【分析】由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，推出∠P1OP2=90°，由此即可判断．
【详解】如图，
∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，
∴OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∵∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选C．
考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题．
二、填 空 题（每小题2分，共20分）
7. 角是轴对称图形，__是它的对称轴．
【正确答案】角平分线所在的直线
【分析】根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．
故角平分线所在的直线．
本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键．
8. 如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，需添加一个条件是__________．（填上一个条件即可）
【正确答案】∠B=∠C（或BE=CE或∠BAE=∠CAE）
【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
又 AE是公共边，
∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；
当BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；
当∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．
故∠B=∠C（或BE=CE或∠BAE=∠CAE）．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA没有能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9. 直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是___．
【正确答案】30
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出斜边，再根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】解：直角三角形斜边上中线是6，
斜边12
它的面积是30
故30．
本题考查了直角三角形斜边与斜边中线的关系，解题的关键是在于知道直角三角形斜边中线为斜边的一半．
10. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则__________．
【正确答案】107
【详解】【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE=∠CBE，可得出∠ABC的度数．再根据平行线性质可求的度数.
【详解】
∵∠CBF=34°，
∴∠CBE=180°-∠CBF=146°，
∴由折叠得∠ABC=∠ABE=∠CBE=73°．
∵AD∥EF.
∴∠ABC+∠CBF=107°.
故答案为107.
本题考核知识点：矩形折叠. 解题关键点：理解折叠性质和平行线性质.
11. 如图，直线是多边形的对称轴，其中，，等于__________．
【正确答案】60°
【详解】【分析】由轴对称性质可知：∠E=∠A，∠D=∠B，再求五边形内角和，可得∠BCD=540°-130°×2-110°×2．
【详解】由轴对称性质可知：∠E=∠A=130°，∠D=∠B=110°，
∴∠BCD=540°-130°×2-110°×2=60°．
故答案为60°
本题考核知识点：轴对称.解题关键点：熟记并运用轴对称性质.
12. 在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝_____时，△ABC是等腰三角形．
【正确答案】20°或50°或80°
【分析】分三种情况分析，是顶角，是顶角, 是顶角,
【详解】∵，
∴①当是顶角, 时，△ABC是等腰三角形；
②当是顶角，∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③是顶角，∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为:80°或50°或20°
13. 如图，一艘海轮位于灯塔A的南偏东65°方向的C处，它以每小时30海里的速度向正向航行，2小时后到达位于灯塔A的北偏东50°的B处，则B处与灯塔A的距离为_____海里．
【正确答案】60．
【分析】由题意先求出BC，再根据方向角的意义和平行的性质，分别求出∠B、∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，利用等腰三角形的判定和性质定理解答．
【详解】根据方向角的意义和平行的性质，可得：∠B=50°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-50°-65°=65°，
∴AB=BC=30×2=60（海里），
故60．
考查了三角形内角和180°定理，等腰三角形的判定和性质，方位角的意义和平行的性质，熟记几何图形的性质和判定定理是解题关键．
14. 如图，已知，过顶点的直线，，的平分线分别交于点、，若，，，则的长为__________．
【正确答案】7
【详解】【分析】由平行线性质得∠E=∠EBC，由角平分线得∠ABE=∠EBC，故∠E=∠ABE，因此AB=AE；同理可求得AD=AC.
【详解】在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠ABE，
∴AB=AE．
同理可得：AD=AC，
∴DE=AD+AE=AB+AC=3+4=7．
故答案为7.
本题考核知识点：角平分线，等腰三角形. 解题关键点：合理运用角平分线和等腰三角形性质.
15. 如图，已知点为的角平分线上的一点，点在边上．爱动脑筋的小刚仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间有一定的数量关系，请你写出与的数量关系__________．
【正确答案】或
【详解】【分析】如图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，根据SAS证△E2OP≌△DOP，推出E2P=PD，得出此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，根据等腰三角形性质推出∠PE2E1=∠PE1E2，求出∠OE1P+∠ODP=180°即可．
【详解】（1）如图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠E2OP=∠DOP，
在△EOP和△DOP中
∴△E2OP≌△DOP（SAS），
∴∠OE2P=∠ODP，PE2=PD;
（2）以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，
∵PE1=PE2,
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∴由邻补角定义可得：∠PE1O+∠PE1E2=180，
∴∠PE1O+∠PDO=180.
综合上述:或
故答案为或.
本题考核知识点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质.解题注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS;②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16. 如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______________时，和全等．
【正确答案】1或7##7或1
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．
【详解】解：当点P在BC上时，
∵AB＝CD，
∴当△ABP≌△DCE，得到BP=CE，
由题意得：BP＝2t＝2，
∴t＝1，
当P在AD上时，
∵AB＝CD，
∴当△BAP≌△DCE，得到AP=CE，
由题意得：AP＝6+6-4﹣2t＝2，
解得t＝7．
∴当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故1或7．
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．
三、解 答 题（本大题共10小题，共计68分）
17. 如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
【正确答案】画图见解析．
【分析】直接利用轴对称图形的性质网格得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示：
本题主要考查了轴对称图形的涉及，作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：先确定图形的关键点；利用轴对称性质做出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．
18. 已知：如图，在中，，BE、CD是中线求证：．
【正确答案】见解析
【详解】【分析】由中线性质得，，再证，由，得≌，可证.
【详解】证明：∵、是中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
本题考核知识点：全等三角形. 解题关键点：灵活运用全等三角形判定和性质证线段相等.
19. 如图，是等边三角形，，垂足为，点在的延长线上，且，若，求的长．
【正确答案】5
【详解】【分析】利用等边三角形的三边相等，三角都等于，三线合一，及三角形外角性质，求出∠E=∠ACB-∠CDE= 30 =∠DAC，根据等角对等边得出DE=AD=5.
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的一个外角，，
∴，
∴．
又∵，
∴平分，
∴，
∴，
∴．
本题考核知识点：等边三角形，等腰三角形. 解题关键点：熟记等边三角形和等腰三角形性质.
20. 已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
【正确答案】见解析
【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．
【详解】连接AC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠ACD．
∴AD＝CD．
此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
21. 在边长为个单位长度的小正方形网格中，有（顶点是网格线的交点）．
（）画出关于直线对称的图形；再将向下平移个单位，画出平移后得到的．
（）在上画出点，使最小．
（）轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应三角形与的对应点所具有的性质是（ ）．
A．对应点连线与直线垂直 B．对应点连线被直线平分
C．对应点连线被直线垂直平分 D．对应点连线互相平行
【正确答案】B
详解】【分析】（1）根据要求画出轴对称变换和平移后图形；（2）根据轴对称性质，连接A C1交直线l于Q,可求出点Q;（3）所画图形进行分析即可.
【详解】解：（）如图所示，和即为所求．
（）如图所示，连接，交于点，
此时最小．
（）图形可得，应选B.
本题考核知识点：平移和轴对称. 解题关键点：熟记轴对称性质.
22. 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间没有能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
【正确答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.
【详解】试题分析：（1）理用SSS即可判定△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE,AC∥DF,由全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,根据平行线的性质即可得结论.
试题解析：（1）证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=CF+CE，
∴BC="EF"
∵AB=DE，AC="DF"
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定.
23. 如图，在中，、分别是与的中点，，．
求证：．
【正确答案】见解析
【详解】【分析】连接、，
【详解】证明：连接、，由，，推出和均为直角三角形，由是的中点，可得，即是等腰三角形，根据“三线合一”，得
∵，，
∴，，
∴和均为直角三角形，
又∵是的中点，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵为中点，
∴．
本题考核知识点：直角三角形，等腰三角形. 解题关键点：熟记等腰三角形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
24. 我们在研究等腰三角形的轴对称性时，将等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠，发现了“等边对等角”的性质，即如图①，将的纸片沿顶角平分线折叠，发现．
如图②，在中，若，那么与的大小又如何？小明将也沿的角平分线折叠，从而发现．请你在图②中画出图形，并图形说明理由．
【正确答案】见解析
【详解】【分析】根据已知画图，由折叠的性质可得≌，故由三角形外角性质可得，故，即
【详解】在上截取，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴．
本题考核知识点：轴对称，三角形的外角. 解题关键点：理解折叠的性质和三角形外角的性质.
25. 已知：如图，，射线平分．
（）尺规作图（没有写作法，保留作图痕迹）作的垂直平分线，与相交于点，连接、．
（）在（）的条件下，与的数量关系为__________，证明你的结论．
【正确答案】
【详解】【分析】(1)按垂直平分线的作法作图；（2）过点分别作于，于．由角平分线性质得，，由线段垂直平分线性质得，可证≌得，得，由四边形内角和性质得.
【详解】（）如图所示，、即为所求．
（），
证明：过点分别作于，于．
∵平分，为上一点，，，
∴，，
∵点在垂直平分线上，
∴，
在和中，，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
∵在四边形中，，
∴．
本题考核知识点：线段垂直平分线，角平分线，全等三角形,四边形内角和. 解题关键点：灵活运用线段垂直平分线，角平分线，全等三角形,四边形内角和等性质.
26. 【提出问题】
如图①，点、、在同一条直线上，，，且，，易证≌．
【类比探究】
（1）如图②，在和中，，若，，．求证：≌．
【知识应用】
（2）如图②，在和中，，若，，，若的度数是的倍，则__________．
【数学思考】
（3）如图②，在和中，，若，，当≌时，__________．（结果用含有的代数式表示）
【正确答案】（1）证明见解析（2）36；（3）
【分析】
【分析】(1)先证，，可得，再根据AAS，证≌；
（2）由（）可得≌，所以，，再证，由得，故,所以，；
（3）（1）和（2）思路，由全等三角形性质和三角形内角和性质，可证得.
【详解】（）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌．
（）由（）可得≌，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
（）∵≌，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题考核知识点：全等三角形，三角形内角和.本题比较综合，要灵活运用全等三角形性质和三角形内角和性质方可证出结论.
2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、选一选（每题 3 分，共 30 分）
1. 用公式法解方程时，、、的值分别是（ ）
A. 5、6、-8 B. 5、-6、-8 C. 5、-6、8 D. 6、5、-8
2. 用配方法解方程 x2-2x-7=0 时，原方程应变形为( )
A. （x+1）2=8 B. （x+2）2=4 C. （x-1）2=8 D. （x-2）2=4
3. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -3
4. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A B. 8 C. 0 D. 0或8
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形
6. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( )
A. 18 B. 16 C. 15 D. 14
7. 如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. “五一”期间，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了 45 场比赛，则这次参加比赛队伍有（ ）
A 12 支 B. 11 支 C. 9 支 D. 10 支
9. 用“整体法”求得方程（2x+5）2-4(2x+5)+3=0的解为（ ）
A. x1=1 x2=3 B. x1=-2 x2=3 C. x1=-3 x2=-1 D. x1=-2 x2=-1
10. 一个盒子装有除颜色外其它均相同 2 个红球和 1 个白球,现从中任取 2 个球,则取到的是一个红球,一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
二、填 空 题（每题 3 分，共 21 分）
11. 方程x2=4x的解 __．
12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
13. 某种药品两次降价由原来的每盒 12.5 元降到每盒 8 元，如果 2 次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，可列出的方程为_____.
14. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则 OC=_____.
15. 已知（x2+y2﹣1）（x2+y2﹣2）=4，则x2+y2的值等于_____．
16. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m．
17. 如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的 最小值为 _____.
三、解 答 题（共 49 分）
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）9x2-100=0 （2）x（x-1）=2（x-1）
（3）（x+2）（x+3）=20 （4）3x2-4x-1=0
19. 小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字 1，2，3，5 的四张牌给小莉，将数字为 4，6，7，8 的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后 将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去，如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；
（2）哥哥设计游戏规则公平么？请说明理由．
20. 百货商店服装柜在中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大量，增加盈利，减少库存．经市场发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
21. 如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，AB=6cm，AD=8cm.
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．判断四边形FBGD的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，求FG的长.
2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、选一选（每题 3 分，共 30 分）
1. 用公式法解方程时，、、的值分别是（ ）
A. 5、6、-8 B. 5、-6、-8 C. 5、-6、8 D. 6、5、-8
【正确答案】C
【详解】解：原方程可化为5x2-6x+8=0，∴a=5，b=-6，c=8．故选C．
2. 用配方法解方程 x2-2x-7=0 时，原方程应变形为( )
A （x+1）2=8 B. （x+2）2=4 C. （x-1）2=8 D. （x-2）2=4
【正确答案】C
【详解】解：方程x2﹣2x﹣7=0，变形得：x2﹣2x=7，配方得：x2﹣2x+1=8，即（x﹣1）2=8，故选C．
点睛：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A. -2 B. 2 C. 4 D. -3
【正确答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
【详解】设一元二次方程的另一根为x1，
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，
∴﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
4. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. B. 8 C. 0 D. 0或8
【正确答案】D
【详解】解：∵一元二次方程x2+(m−2)x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即(m−2)2−4×1×(m+1)=0，
整理，得m2−8m=0，
解得m1=0，m2=8．
故选D．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形
【正确答案】D
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
【详解】A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
熟练掌握平行四边形的各自特点，矩形对角线相等，邻边垂直．菱形对角线垂直且平分对角，邻边相等．同时具备矩形和菱形的四边形是正方形．
6. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( )
A. 18 B. 16 C. 15 D. 14
【正确答案】B
【分析】
【详解】已知四边形ABCD是菱形，AC=8, BD=6，根据菱形的性质可得OA=4,OD=3,AB=AD,在Rt△AOD中，由勾股定理可得AD=5，所以△ABD的周长等于AD+AB+BD=5+5+6=16,
故选B
点睛：本题考查了菱形的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算AD的长是解题的关键．
7. 如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝8，OB＝5，则OM的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【分析】由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后运用勾股定理求得AB、CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，即可解答．
【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，
∴AC＝2OB＝10，
∴CD＝AB＝＝＝6，
∵M是AD的中点，
∴OM＝CD＝3．
故C．
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8. “五一”期间，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了 45 场比赛，则这次参加比赛的队伍有（ ）
A. 12 支 B. 11 支 C. 9 支 D. 10 支
【正确答案】D
【详解】解：设这次有x个队参加比赛，由题意得：
x(x-1)=45，解得x=10或﹣9（舍去）；
∴这次有10个队参加比赛．故选D．
9. 用“整体法”求得方程（2x+5）2-4(2x+5)+3=0的解为（ ）
A. x1=1 x2=3 B. x1=-2 x2=3 C. x1=-3 x2=-1 D. x1=-2 x2=-1
【正确答案】D
【详解】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选D．
点睛：本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解答此题的关键．
10. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 1 个白球,现从中任取 2 个球,则取到的是一个红球,一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中取到的是一个红球，一个白球的结果数为4，所以取到的是一个红球，一个白球的概率==．故选C．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．
二、填 空 题（每题 3 分，共 21 分）
11. 方程x2=4x的解 __．
【正确答案】x=0或x=4
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【详解】解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x1=0，x2=4，
故x=0或x=4．
12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【正确答案】24
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故24．
本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
13. 某种药品两次降价由原来的每盒 12.5 元降到每盒 8 元，如果 2 次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，可列出的方程为_____.
【正确答案】12.5(1-x)2=8
【详解】解：根据题意得：12.5（1﹣x）2=8．故答案为12.5（1﹣x）2=8．
14. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则 OC=_____.
【正确答案】4
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，
∵∠ADB=30°，
∴AC=BD=2AB=8，
∴OC=AC=4．
故答案为4．
此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形思想的应用．
15. 已知（x2+y2﹣1）（x2+y2﹣2）=4，则x2+y2的值等于_____．
【正确答案】
【详解】本题可以利用换元法进行求解,设,
原方程可以变形为:,即,解得:
因为,所以.
16. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m．
【正确答案】4600
【详解】小敏行走的路程为，则，
小聪行走的路程为 .
连接CG，
在正方形ABCD中，，
在△ADG和△CDG中，
∴，
∴AG=CG.
又∵，
∴四边形GECF是矩形，
∴.
又∵∠=45°，
∴DE=GE，
∴小聪行走的路程为.
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和矩形的判定等知识，正确作出辅助线是解题的关键..
17. 如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的 最小值为 _____.
【正确答案】3
【详解】解：作F点关于BD对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P，∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3，∴EP+FP的最小值为3．故答案为3．
点睛：本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．
三、解 答 题（共 49 分）
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）9x2-100=0 （2）x（x-1）=2（x-1）
（3）（x+2）（x+3）=20 （4）3x2-4x-1=0
【正确答案】（1）x=±；（2）x1=2，x2=1；（3）x1=-7，x2=2；（4）,.
【详解】试题分析：（1）把常数项移到等号右边，用直接开平方法计算；
（2）把等号右边移到等号左边把方程的右边变成0，则方程左边的二次三项式很容易分解因式，因而利用分解因式法比较简单；
（3）首先移项把方程化为一般式，方程左边的式子可以利用十字相乘法进行分解，因而利用因式分解法解决比较简单；
（4）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
试题解析：解：（1）9x2﹣100=0，9x2=100，x2=，x=±；
（2）x（x﹣1）=2（x﹣1），x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x1=2，x2=1；
（3）（x+2）（x+3）=20，x2+5x﹣14=0，（x﹣2）（x+7）=0，x1=﹣7，x2=2；
（4）3x2﹣4x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，x==，x1=，x2=．
19. 小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字 1，2，3，5 的四张牌给小莉，将数字为 4，6，7，8 的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后 将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去，如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；
（2）哥哥设计的游戏规则公平么？请说明理由．
【正确答案】（1）见解析（2）游戏没有公平，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）用列表法列举出所以出现的情况，即可得到结论．
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
试题解析：解：（1）依题列表如下图：
共有 16 种等可能情况，两张牌数字相加和的结果有：5，6，7，8，9，10，11，12，13
（2）两张牌相加和为偶数的有 6 种情况，和为奇数的有 10 情况，∴ P （小莉）=，P（哥哥）=，∴P 小莉≠P 哥哥，∴游戏没有公平．
点睛：此题主要考查了游戏公平性的判断．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏没有公平．
20. 百货商店服装柜在中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大量，增加盈利，减少库存．经市场发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【正确答案】20元
【分析】设每件童装应降价x元，根据题意列出方程计算即可；
【详解】设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）（20＋2x）＝1200，
解得x1＝20，x2＝10（因为尽快减少库存，没有合题意，舍去），
答：每件童装降价20元．
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列方程计算是解题的关键．
21. 如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，AB=6cm，AD=8cm
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．判断四边形FBGD的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，求FG的长.
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）根据已知矩形性质及问证得邻边相等判断；
（3）根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【详解】（1）如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB， ∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC
∴FD∥BG 又∵DG∥BE
∴四边形BFDG是平行四边形
∵DF=BF
∴四边形BFDG是菱形；
（3）设DF为xcm，则BF=xcm,AF＝(8-x)cm
在Rt△ABE中，由勾股定理得，62+（8-x）2＝x2，解得x=,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，∴BD==10，
∵四边形BGDF菱形，
∴BD⊥FG，
∵ 10×FG×＝，
∴FG,∴FG的长为.
考查了四边形综合题，矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折没有变性，综合性较强．
2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选（每小题2分，共12分）
1. 下列图形中只有一条对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列各组条件中，没有能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E
C. AC=DF，BC=EF，∠A=∠D D. AB=DE，BC=EF，AC=ED
3. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则的周长等于（ ）．
A. B. C. D.
5. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则是（ ）
A. 含30°角的直角三角形 B. 顶角是30°的等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
二、填 空 题（每小题2分，共20分）
7. 角是轴对称图形，__是它对称轴．
8. 如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，需添加一个条件是__________．（填上一个条件即可）
9. 直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是___．
10. 将一张矩形纸片折叠成如图所示形状，则__________．
11. 如图，直线是多边形的对称轴，其中，，等于__________．
12. 在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝_____时，△ABC是等腰三角形．
13. 如图，一艘海轮位于灯塔A的南偏东65°方向的C处，它以每小时30海里的速度向正向航行，2小时后到达位于灯塔A的北偏东50°的B处，则B处与灯塔A的距离为_____海里．
14. 如图，已知，过顶点的直线，，的平分线分别交于点、，若，，，则的长为__________．
15. 如图，已知点为的角平分线上的一点，点在边上．爱动脑筋的小刚仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间有一定的数量关系，请你写出与的数量关系__________．
16. 如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______________时，和全等．
三、解 答 题（本大题共10小题，共计68分）
17. 如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
18. 已知：如图，在中，，BE、CD是中线求证：．
19. 如图，是等边三角形，，垂足为，点在的延长线上，且，若，求的长．
20. 已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
21. 在边长为个单位长度的小正方形网格中，有（顶点是网格线的交点）．
（）画出关于直线对称的图形；再将向下平移个单位，画出平移后得到的．
（）在上画出点，使最小．
（）轴对称变换和平移变换有关性质，两个对应三角形与的对应点所具有的性质是（ ）．
A．对应点连线与直线垂直 B．对应点连线被直线平分
C．对应点连线被直线垂直平分 D．对应点连线互相平行
22. 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间没有能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
23. 如图，在中，、分别是与的中点，，．
求证：．
24. 我们在研究等腰三角形的轴对称性时，将等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠，发现了“等边对等角”的性质，即如图①，将的纸片沿顶角平分线折叠，发现．
如图②，在中，若，那么与大小又如何？小明将也沿的角平分线折叠，从而发现．请你在图②中画出图形，并图形说明理由．
25. 已知：如图，，射线平分．
（）尺规作图（没有写作法，保留作图痕迹）作的垂直平分线，与相交于点，连接、．
（）在（）的条件下，与的数量关系为__________，证明你的结论．
26. 【提出问题】
如图①，点、、在同一条直线上，，，且，，易证≌．
【类比探究】
（1）如图②，在和中，，若，，．求证：≌．
【知识应用】
（2）如图②，在和中，，若，，，若的度数是的倍，则__________．
【数学思考】
（3）如图②，在和中，，若，，当≌时，__________．（结果用含有的代数式表示）
2022-2023学年江苏省扬州市九年级上册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选（每小题2分，共12分）
1. 下列图形中只有一条对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.分别分析即可.
【详解】A.有两条对称轴，故没有能选；
B. 有两条对称轴，故没有能选；
C. 有1条对称轴，故能选；
D. 有两条对称轴，故没有能选.
故选C
本题考核知识点：轴对称.解题关键点：理解轴对称和对称轴概念，
2. 在下列各组条件中，没有能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E
C. AC=DF，BC=EF，∠A=∠D D. AB=DE，BC=EF，AC=ED
【正确答案】C
【分析】根据全等三角形的判定可以解答本题．
【详解】AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，故选项A没有符合题意；
AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，根据ASA可以可以判定△ABC≌△DEF，故选项B没有符合题意；
AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，根据SSA没有可以判定△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
AB=DE，BC=EF，AC=ED，根据SSS可以可以判定△ABC≌△DEF，故选项D没有符合题意；
故选C．
此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理．
3. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选B．
本题主要考查了尺规作图—作已知角相等的角，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
4. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于，交于，连接，则的周长等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】【分析】由线段??的垂直平分线性质得AE=BE,因此的周长=BC+BE+CE=BC+AC=12+7=19.
【详解】因为，线段??的垂直平分线交??于?，
所以，AE=BE,
所以，AE+CE=BE+CE=AC=12.
所以，的周长=BC+BE+CE=BC+AC=12+7=19.
故选C
本题考核知识点：线段垂直平分线. 解题关键点：熟记线段垂直平分线性质.
5. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断.
【详解】∵第三个图形是三角形，
∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，
∵再展开可知两个短边正对着，
∴选择答案D，排除B与C．
故选D．
【点晴】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.
6. 已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则是（ ）
A. 含30°角的直角三角形 B. 顶角是30°的等腰三角形
C 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【正确答案】C
【分析】由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，推出∠P1OP2=90°，由此即可判断．
【详解】如图，
∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，
∴OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∵∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选C．
考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题．
二、填 空 题（每小题2分，共20分）
7. 角是轴对称图形，__是它的对称轴．
【正确答案】角平分线所在的直线
【分析】根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．
故角平分线所在的直线．
本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键．
8. 如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，需添加一个条件是__________．（填上一个条件即可）
【正确答案】∠B=∠C（或BE=CE或∠BAE=∠CAE）
【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
又 AE是公共边，
∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；
当BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；
当∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．
故∠B=∠C（或BE=CE或∠BAE=∠CAE）．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA没有能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9. 直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是___．
【正确答案】30
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出斜边，再根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】解：直角三角形斜边上中线是6，
斜边12
它的面积是30
故30．
本题考查了直角三角形斜边与斜边中线的关系，解题的关键是在于知道直角三角形斜边中线为斜边的一半．
10. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则__________．
【正确答案】107
【详解】【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE=∠CBE，可得出∠ABC的度数．再根据平行线性质可求的度数.
【详解】
∵∠CBF=34°，
∴∠CBE=180°-∠CBF=146°，
∴由折叠得∠ABC=∠ABE=∠CBE=73°．
∵AD∥EF.
∴∠ABC+∠CBF=107°.
故答案为107.
本题考核知识点：矩形折叠. 解题关键点：理解折叠性质和平行线性质.
11. 如图，直线是多边形的对称轴，其中，，等于__________．
【正确答案】60°
【详解】【分析】由轴对称性质可知：∠E=∠A，∠D=∠B，再求五边形内角和，可得∠BCD=540°-130°×2-110°×2．
【详解】由轴对称性质可知：∠E=∠A=130°，∠D=∠B=110°，
∴∠BCD=540°-130°×2-110°×2=60°．
故答案为60°
本题考核知识点：轴对称.解题关键点：熟记并运用轴对称性质.
12. 在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝_____时，△ABC是等腰三角形．
【正确答案】20°或50°或80°
【分析】分三种情况分析，是顶角，是顶角, 是顶角,
【详解】∵，
∴①当是顶角, 时，△ABC是等腰三角形；
②当是顶角，∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③是顶角，∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为:80°或50°或20°
13. 如图，一艘海轮位于灯塔A的南偏东65°方向的C处，它以每小时30海里的速度向正向航行，2小时后到达位于灯塔A的北偏东50°的B处，则B处与灯塔A的距离为_____海里．
【正确答案】60．
【分析】由题意先求出BC，再根据方向角的意义和平行的性质，分别求出∠B、∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，利用等腰三角形的判定和性质定理解答．
【详解】根据方向角的意义和平行的性质，可得：∠B=50°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-50°-65°=65°，
∴AB=BC=30×2=60（海里），
故60．
考查了三角形内角和180°定理，等腰三角形的判定和性质，方位角的意义和平行的性质，熟记几何图形的性质和判定定理是解题关键．
14. 如图，已知，过顶点的直线，，的平分线分别交于点、，若，，，则的长为__________．
【正确答案】7
【详解】【分析】由平行线性质得∠E=∠EBC，由角平分线得∠ABE=∠EBC，故∠E=∠ABE，因此AB=AE；同理可求得AD=AC.
【详解】在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠ABE，
∴AB=AE．
同理可得：AD=AC，
∴DE=AD+AE=AB+AC=3+4=7．
故答案为7.
本题考核知识点：角平分线，等腰三角形. 解题关键点：合理运用角平分线和等腰三角形性质.
15. 如图，已知点为的角平分线上的一点，点在边上．爱动脑筋的小刚仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间有一定的数量关系，请你写出与的数量关系__________．
【正确答案】或
【详解】【分析】如图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，根据SAS证△E2OP≌△DOP，推出E2P=PD，得出此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，根据等腰三角形性质推出∠PE2E1=∠PE1E2，求出∠OE1P+∠ODP=180°即可．
【详解】（1）如图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠E2OP=∠DOP，
在△EOP和△DOP中
∴△E2OP≌△DOP（SAS），
∴∠OE2P=∠ODP，PE2=PD;
（2）以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，
∵PE1=PE2,
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∴由邻补角定义可得：∠PE1O+∠PE1E2=180，
∴∠PE1O+∠PDO=180.
综合上述:或
故答案为或.
本题考核知识点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质.解题注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS;②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
16. 如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______________时，和全等．
【正确答案】1或7##7或1
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．
【详解】解：当点P在BC上时，
∵AB＝CD，
∴当△ABP≌△DCE，得到BP=CE，
由题意得：BP＝2t＝2，
∴t＝1，
当P在AD上时，
∵AB＝CD，
∴当△BAP≌△DCE，得到AP=CE，
由题意得：AP＝6+6-4﹣2t＝2，
解得t＝7．
∴当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故1或7．
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．
三、解 答 题（本大题共10小题，共计68分）
17. 如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
【正确答案】画图见解析．
【分析】直接利用轴对称图形的性质网格得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示：
本题主要考查了轴对称图形的涉及，作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：先确定图形的关键点；利用轴对称性质做出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．
18. 已知：如图，在中，，BE、CD是中线求证：．
【正确答案】见解析
【详解】【分析】由中线性质得，，再证，由，得≌，可证.
【详解】证明：∵、是中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
本题考核知识点：全等三角形. 解题关键点：灵活运用全等三角形判定和性质证线段相等.
19. 如图，是等边三角形，，垂足为，点在的延长线上，且，若，求的长．
【正确答案】5
【详解】【分析】利用等边三角形的三边相等，三角都等于，三线合一，及三角形外角性质，求出∠E=∠ACB-∠CDE= 30 =∠DAC，根据等角对等边得出DE=AD=5.
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的一个外角，，
∴，
∴．
又∵，
∴平分，
∴，
∴，
∴．
本题考核知识点：等边三角形，等腰三角形. 解题关键点：熟记等边三角形和等腰三角形性质.
20. 已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
【正确答案】见解析
【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．
【详解】连接AC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠ACD．
∴AD＝CD．
此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
21. 在边长为个单位长度的小正方形网格中，有（顶点是网格线的交点）．
（）画出关于直线对称的图形；再将向下平移个单位，画出平移后得到的．
（）在上画出点，使最小．
（）轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应三角形与的对应点所具有的性质是（ ）．
A．对应点连线与直线垂直 B．对应点连线被直线平分
C．对应点连线被直线垂直平分 D．对应点连线互相平行
【正确答案】B
详解】【分析】（1）根据要求画出轴对称变换和平移后图形；（2）根据轴对称性质，连接A C1交直线l于Q,可求出点Q;（3）所画图形进行分析即可.
【详解】解：（）如图所示，和即为所求．
（）如图所示，连接，交于点，
此时最小．
（）图形可得，应选B.
本题考核知识点：平移和轴对称. 解题关键点：熟记轴对称性质.
22. 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间没有能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
【正确答案】（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.
【详解】试题分析：（1）理用SSS即可判定△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE,AC∥DF,由全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,根据平行线的性质即可得结论.
试题解析：（1）证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=CF+CE，
∴BC="EF"
∵AB=DE，AC="DF"
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定.
23. 如图，在中，、分别是与的中点，，．
求证：．
【正确答案】见解析
【详解】【分析】连接、，
【详解】证明：连接、，由，，推出和均为直角三角形，由是的中点，可得，即是等腰三角形，根据“三线合一”，得
∵，，
∴，，
∴和均为直角三角形，
又∵是的中点，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵为中点，
∴．
本题考核知识点：直角三角形，等腰三角形. 解题关键点：熟记等腰三角形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
24. 我们在研究等腰三角形的轴对称性时，将等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠，发现了“等边对等角”的性质，即如图①，将的纸片沿顶角平分线折叠，发现．
如图②，在中，若，那么与的大小又如何？小明将也沿的角平分线折叠，从而发现．请你在图②中画出图形，并图形说明理由．
【正确答案】见解析
【详解】【分析】根据已知画图，由折叠的性质可得≌，故由三角形外角性质可得，故，即
【详解】在上截取，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴．
本题考核知识点：轴对称，三角形的外角. 解题关键点：理解折叠的性质和三角形外角的性质.
25. 已知：如图，，射线平分．
（）尺规作图（没有写作法，保留作图痕迹）作的垂直平分线，与相交于点，连接、．
（）在（）的条件下，与的数量关系为__________，证明你的结论．
【正确答案】
【详解】【分析】(1)按垂直平分线的作法作图；（2）过点分别作于，于．由角平分线性质得，，由线段垂直平分线性质得，可证≌得，得，由四边形内角和性质得.
【详解】（）如图所示，、即为所求．
（），
证明：过点分别作于，于．
∵平分，为上一点，，，
∴，，
∵点在垂直平分线上，
∴，
在和中，，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
∵在四边形中，，
∴．
本题考核知识点：线段垂直平分线，角平分线，全等三角形,四边形内角和. 解题关键点：灵活运用线段垂直平分线，角平分线，全等三角形,四边形内角和等性质.
26. 【提出问题】
如图①，点、、在同一条直线上，，，且，，易证≌．
【类比探究】
（1）如图②，在和中，，若，，．求证：≌．
【知识应用】
（2）如图②，在和中，，若，，，若的度数是的倍，则__________．
【数学思考】
（3）如图②，在和中，，若，，当≌时，__________．（结果用含有的代数式表示）
【正确答案】（1）证明见解析（2）36；（3）
【分析】
【分析】(1)先证，，可得，再根据AAS，证≌；
（2）由（）可得≌，所以，，再证，由得，故,所以，；
（3）（1）和（2）思路，由全等三角形性质和三角形内角和性质，可证得.
【详解】（）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌．
（）由（）可得≌，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
（）∵≌，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题考核知识点：全等三角形，三角形内角和.本题比较综合，要灵活运用全等三角形性质和三角形内角和性质方可证出结论.
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