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2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共56页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共18分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D. 以上都没有是
2. 一元二次方程x2=x的解是（ ）
A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 此方程无解
3. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
4. 某学校七年级1班统计了全班同学在1～8月份的课外阅读数量（单位：本），绘制了右边的折线统计图，下列说确的是（ ）
A. 极差是47 B. 中位数是58 C. 众数是42 D. 极差大于平均数
5. 下列四个命题：①直径是弦；②三个点一定可以作圆；③正六边形是轴对称图形．其中正确的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 如图所示，扇形OAB的圆心角为直角，正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB、上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．如果正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4()平方单位 B. 2()平方单位
C. 4()平方单位 D. 2()平方单位
二、填 空 题（本大题共有10小题，每空3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7. 9的平方根是_________．
8. 从一副拿掉大、小王扑克牌中，抽取一张，抽到红桃的概率是_________.
9. 抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是______．
10. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
11. 如图，在□ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=______．
12. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为_________．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为_______度．
14. 如图，圆锥体的高 h＝cm，底面半径 r＝1cm，则圆锥体的侧面积为_____cm2．
15. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
16. 如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是________．
三、解 答 题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1） （2）（＋2）－
18. 先化简，再求值：，其中
19. 甲、乙、丙、丁四名同学进行乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）
（2）任选两名同学打场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
20. 如图，已知等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，没有要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点圆的切线．
21. 已知关于的一元二次方程．
（）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由．
（）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根．
22. 2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了没有准酒后驾车的禁令．某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的，本次结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来没有喝酒；③喝酒后没有开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天没有喝酒．将这次悄况整理并绘制了如下尚没有完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题
（1）该记者本次一共了 名司机．
（2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙．
（3）在本次中，记者随机采访其中一名司机，求他属第②种情况的概率．
23. 甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生,甲组学生步行出发半小时后,乙组学生骑自行车开始出发,两组学生同时到达敬老院,如果步行速度是骑自行车速度的,求步行与骑自行车的速度各是多少?
24. 如图，反比例函数 y=的图象与函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与函数的函数关系式；
（2）根据图象，回答当函数的值大于反比例函数的值时，x 的取值范围为________；
(3) 连接AO、BO，则△ABO的面积是_________；
25. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若没有存在，请说明理由．
26. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠FDE=60°，AC=1. 固定△ABC没有动，将△DEF进行如下操作：
(1) 如图 (1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在没有断的变化，但它的面积没有变化，请求出其面积.
(2)如图(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.
(3)如图(3)，△DEF的F点固定在AB的中点，然后绕F点按顺时针方向旋转△DEF，使EF交在AC边上于M，FD交BC于N，若FM=x,FN=y,试求y关于x的函数关系式．
27. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x 2＋bx＋cB、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共18分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D. 以上都没有是
【正确答案】C
【详解】试题解析：被开方数含分母，没有是最简二次根式；
被开方数中含能开得尽方的因数，没有是最简二次根式；
是最简二次根式，
故选C.
2. 一元二次方程x2=x的解是（ ）
A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 此方程无解
【正确答案】C
【详解】试题解析：
或
解得：
故选C.
3. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
【正确答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，没有符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，没有符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，没有符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项没有正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
4. 某学校七年级1班统计了全班同学在1～8月份的课外阅读数量（单位：本），绘制了右边的折线统计图，下列说确的是（ ）
A. 极差是47 B. 中位数是58 C. 众数是42 D. 极差大于平均数
【正确答案】B
【详解】解：A. 极差为：83−28=55，故错误；
B. 中位数为：(58+58)÷2=58，正确；
C. ∵58出现的次数至多，是2次，
∴众数为：58，故错误；
D.计算可知平均数为56.25大于极差.故错误．
故选B．
5. 下列四个命题：①直径是弦；②三个点一定可以作圆；③正六边形是轴对称图形．其中正确的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】C
【详解】试题解析：直径是弦，所以①正确；
没有共线的三个点一定可以作圆，所以②错误；
正六边形是轴对称图形，所以③正确.
故选C.
6. 如图所示，扇形OAB的圆心角为直角，正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB、上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．如果正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4()平方单位 B. 2()平方单位
C. 4()平方单位 D. 2()平方单位
【正确答案】A
【详解】试题分析：连接OD，
∵正方形OCDE的面积为2，
∴正方形OCDE的边长为2，
∴，
∴，
∵DE=DC，BE=AC，弧BD=弧AD，
∴阴影部分的面积=长方形ACDF的面积=AC•CD=．
考点：1.轴对称图形；2.扇形的面积公式；3.正方形的性质
二、填 空 题（本大题共有10小题，每空3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7. 9的平方根是_________．
【正确答案】±3
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8. 从一副拿掉大、小王的扑克牌中，抽取一张，抽到红桃的概率是_________.
【正确答案】
【详解】解：∵一副拿掉大、小王的扑克牌共有52张，红桃的有13张，
∴抽取一张，这张牌是红桃的概率是：
故答案为
9. 抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是______．
【正确答案】（1，0）
【详解】试题解析：∵y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0）．
10. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
【正确答案】8；
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8．
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．
11. 如图，在□ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=______．
【正确答案】3
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵点E. F分别是BD、CD的中点，
故答案为3.
三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
12. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为_________．
【正确答案】6
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD−AE=8−x，
在Rt△CDE中,
即
解得：x=5，
即CE的长为5.
故答案为
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为_______度．
【正确答案】25．
【详解】试题分析：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB=∠AOB=25°，故答案为25．
考点：圆周角定理．
14. 如图，圆锥体的高 h＝cm，底面半径 r＝1cm，则圆锥体的侧面积为_____cm2．
【正确答案】2π
【详解】试题解析：圆锥的母线长是
底面周长
则圆锥体的侧面积是：
故答案是：
点睛：根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，利用扇形的面积计算方法求得侧面积．
15. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
【正确答案】2或2或2
【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，三角函数，等边三角形的性质即可解题.
【详解】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴，
在直角三角形ABP中，
，
如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为或或2．
考点：勾股定理．
16. 如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是________．
【正确答案】
【详解】试题解析：设点
可以求得所在直线的解析式为
作点关于直线的对称点则
点在同一条线上，由点
可知所在直线的解析式为：
联立方程： 解得 即点
作点关于轴的对称点则
点在同一条线上，由点
可知所在直线的解析式为：
把坐标代入解得：
此时点
故答案为
三、解 答 题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1） （2）（＋2）－
【正确答案】0，
【详解】试题分析：（1）根据零指数幂的意义和值的意义得到原式=2-3+1，然后进行加减运算；
（2）根据二次根式的性质和乘除法则得到原式然后合并即可．
试题解析：原式
原式
18. 先化简，再求值：，其中
【正确答案】 ；．
【分析】先对小括号部分通分，同时把除化为乘，再根据分式的基本性质约分，代入求值．
【详解】解：原式=
=
当时，原式=．
本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化，计算题是中考必考题，一般难度没有大，要特别慎重，尽量没有在计算上失分．
19. 甲、乙、丙、丁四名同学进行乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）
（2）任选两名同学打场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【正确答案】（1）；（2）树状图见解析，
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，
∴P（恰好选中乙同学）＝；
（2）画树状图得：
∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．
∴P（恰好选中甲、乙两位同学）＝．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；解题时要注意此题是放回实验还是没有放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，没有要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【详解】试题分析：（1）由已知得到△ACD是直角三角形，那么过A，D，C三点作⊙O，根据圆周角是直角所对的弦是直径得，AD为⊙O的直径，所以作AD的中点O即为圆心，再以点O为圆心，OA长为半径即可作出⊙O．
（2）先连接OC，已知已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，能求出∠ACB=120°，在⊙O中OA=OC，得到，∠ACO=∠A=30°，那么∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°，从而推出BC是过A，D，C三点的圆的切线．
试题解析：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆；
（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴AD是⊙O的直径
连接OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°，∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线．
考点：1．切线的判定；2．等腰三角形的性质．
21. 已知关于的一元二次方程．
（）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由．
（）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）m的值为-1，方程的另一个根为-2．
【详解】试题分析：（1）根据方程的系数根的判别式即可得出△=m2+8≥8，由此即可得出结论；
（2）将x=1代入原方程可求出m的值，再将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的另一个根．
试题解析：解：（1）∵在方程x2﹣mx﹣2=0中，△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8≥8，∴没有论m为任意实数，原方程总有两个没有相等的实数根．
（2）将x=1代入原方程，得：1﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1，∴原方程为x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=1，x2=﹣2．
答：m的值为﹣1，方程的另一个根为﹣2．
点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记当△＞0时方程有两个没有相等的实数根是解题的关键．
22. 2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了没有准酒后驾车的禁令．某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的，本次结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来没有喝酒；③喝酒后没有开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天没有喝酒．将这次悄况整理并绘制了如下尚没有完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题
（1）该记者本次一共了 名司机．
（2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙．
（3）在本次中，记者随机采访其中的一名司机，求他属第②种情况的概率．
【正确答案】(1）200人（2）126°，18人，110人（3）
【详解】(1）=200（人）总人数是200人．……………………………2分
（2）×360°=126°．……………………………4分
200×9%=18（人）
200-18-2-70=110（人）
第②种情况110人，第③种情况18人．……………………………6分
（3）他属第②种情况的概率为=．…………………………………………8分
在本次中，记者随机采访其中一名司机．求他属第②种情况的概率．
（1）从扇形图可看出①种情况占1%，从条形图知道有2人，所以可求出总人数．
（2）求出④所占的百分比然后乘以360°就可得到圆心角度数，然后求出其他情况的人，补全条形图．
（3）②种情况的概率为②中的人数除以的总人数．
23. 甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生,甲组学生步行出发半小时后,乙组学生骑自行车开始出发,两组学生同时到达敬老院,如果步行速度是骑自行车速度的,求步行与骑自行车的速度各是多少?
【正确答案】6km/小时 ，18km/小时
【分析】设甲组速度为xkm/小时，则乙组速度为3xKm/小时．然后根据等量关系：两组学生同时到达敬老院可列出方程：，然后解方程即可．
【详解】设甲组速度为xkm/小时，则乙组速度为3xKm/小时．
列方程：．
解得：x=6．经检验：x=6是方程的解．
∴3x=18．
答：步行速度为6km/小时，骑自行车的速度为18km/小时．
考点：分式方程的应用．
24. 如图，反比例函数 y=的图象与函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与函数的函数关系式；
（2）根据图象，回答当函数的值大于反比例函数的值时，x 的取值范围为________；
(3) 连接AO、BO，则△ABO的面积是_________；
【正确答案】 ①. x＜﹣3或0＜x＜1 ②. 4
【详解】试题分析：（1）把点代入反比例函数即可求出的值，进而求出反比例函数的解析式；再把点B的坐标代入反比例函数的关系式求出的值，把两点坐标代入函数的关系式即可求出函数的关系式；
（2）由（1）中两点的坐标，函数图象可直接得出结论；
（3）根据（1）中求出的函数的关系式求出点的坐标，再根据进行解答；
试题解析:（1）∵在的图象上，
又∵在的图象上，
即
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为，函数的解析式为
（2）从图象上可知，当 或时，反比例函数的值大于函数的值．
故答案为 或.
（3）设函数与轴交点为，
令函数值，得
故答案4.
25. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）PB=1.
【详解】试题分析：连接利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段联立已知的，即可证得是等边三角形；
连接利用直径所对的圆周角为直角，得到然后利用等腰三角形三线合一的性质得出为的中点．利用三角形中位线的数量关系求得的长度；
根据等边三角形的性质，可以证得和有一组边和一对角对应相等，所以只要再满足这组角的另一夹边对应相等就可以了．
试题解析：证明：连接
是的直径，
∵点是的中点，
是线段的垂直平分线．
为等边三角形．
连接
是直径，
是等边三角形，
即为的中点．
是的中点，故为的中位线，
存在点使
由知，
要使
只需
26. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠FDE=60°，AC=1. 固定△ABC没有动，将△DEF进行如下操作：
(1) 如图 (1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在没有断的变化，但它的面积没有变化，请求出其面积.
(2)如图(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.
(3)如图(3)，△DEF的F点固定在AB的中点，然后绕F点按顺时针方向旋转△DEF，使EF交在AC边上于M，FD交BC于N，若FM=x,FN=y,试求y关于x的函数关系式．
【正确答案】(1)，(2)略，(3)y=x.
【详解】试题分析：（1）过点C作，垂足是点，易证四边形是梯形，在直角中利用三角形的性质求得，然后利用梯形的面积公式求解；
（2）首先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的定义即可证得四边形是菱形．
过点作于,作于由两组角分别对应相等，可得： 对应边的比相等，可得出与的关系式.
试题解析：(1)过点C作CG⊥AE，垂足是点G.
由题可知,CFAE，CF=AD=BE，
则四边形CDBF是梯形.
∵在直角△ABC中,
∴AB=2，
在直角△ACG中,
∴S梯形CDBF
(2)四边形CDBF菱形.
理由如下：∵在直角△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=DB=CD，
由(1)CF=AD，
∴CF=DB=CD，
又∵CFAE，
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CD=BD，
∴四边形CDBF是菱形.
过点作于,作于
可解得
,
即 整理得：
27. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x 2＋bx＋cB、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
【正确答案】（1）S△OPQ＝－t2＋t（0＜t＜8）；（2）四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于，证明见解析；（3）3：29 ．
【分析】（1）根据的运动速度，可用表示出的长，进而根据的长求出的表达式，即可由三角形的面积公式得到的函数关系式；
（2）四边形的面积，可由矩形的面积差求得，进而可得到所求的定值；
（3）若与和相似，那么必为直角三角形，且 由于 所以这三个相似三角形的对应关系是 根据相似三角形得到的比例线段求出的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线的解析式；可设点的横坐标为，根据直线和抛物线的解析式，求出 的纵坐标，进而可得到关于的长与的函数关系式，根据函数的性质即可求出的值及对应的点坐标；设与直线的交点为，根据点的坐标和直线的解析式即可求出点的坐标，也就能得到的长，以为底，横坐标差的值为高，可求出的面积，进而可根据四边形的面积求出五边形的面积，由此可求出它们的比例关系式．
【详解】解：（1）
∴S△OPQ＝(8－t)·t＝－t2＋t（0＜t＜8）
（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ
＝8×－×t－×8×(－t)＝
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°
又∵BQ与AO没有平行，∴∠QPO没有可能等于∠PQB，∠APB没有可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP
∴＝，即＝，解得：t＝4
经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑）此时P（，0）
∵B（，8）且抛物线y＝x2＋bx＋cB、P两点
∴抛物线是y＝x2－x＋8，直线BP是y＝x－8
设M（m，m－8），则N（m，m2－m＋8）
∵M是BP上的动点，∴≤m≤
∵y1＝x2－x＋8＝( x－)2.
∴抛物线的顶点是P（，0）
又y1＝x2－x＋8与y2＝x－8交于P、B两点
∴当≤m≤时，y2＞y1.
∴|MN |＝|y2－y1|＝y2－y1＝(m－8)－(m2－m＋8)
＝－m2＋m－16＝－(m－)2＋2
∴当m＝时，MN有值是2，此时M（，4）
设MN与BQ交于H点，则H（，7）
∴S△BHM＝×3×＝
∴S△BHM：S五边形QOPMH ＝:(－)＝3：29
∴当线段MN的长取值时，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3：29 ．
2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 如果， 那么值是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两个平行四边形一定相似 B. 两个菱形一定相似
C. 两个矩形一定相似 D. 两个等腰直角三角形一定相似
4. 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（ ）
A. 6 B. 8 C. D.
5. 如图，△ADE与△ABC的相似比为1：2，则三角形ADE与四边形BCED的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5
6. 如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )
A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡
C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关
7. 在中，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，下列比例式正确的个数是（ ）
①； ②； ③
A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个
9. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图所示，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABOC的一个顶点，边OB落在x轴的负半轴上，且cos∠BOC=，顶点C的坐标为(a，4)，反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（每题3分，共24分）
11. 若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=____ cm.
12. 如图，l1∥l2∥l3，DE＝6，EF＝7，AB＝5.则AC＝____.
13. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
14. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB__．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=ED，EC交对角线BD于点F，则等于_____．
16. 已知，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝，AB＝＋1，则边BC的长为___.
17. 如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是______．
18. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC， BD交AC边于点E，且AE=4，则BE·DE=____________．
三、解 答 题（共10题，共96分）
19. 计算：
20. 计算：．
21. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
22. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：没有写作法与证明）．
23. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
24. 如图，某中学初三数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
25. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，该船航行的距离为 km（即AB的长）．
26. 如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
(1) 求证：AC2=AB•AD；
(2) 求证：CE∥AD；
(3) 若AD=8，AB=12，求的值．
27. 如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上两点（点D没有与点A、 点B重合），且DE∥BC，以DE为一边，在四边形DBCE的内部作正方形DEFG，已知AB=AC=5，BC=6．
（1）试求△ABC面积；
（2）当GF与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）若BG的长度等于正方形DEFG的边长，试求AD的长．
28. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别从A、B两点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动的时间为t秒，当其中某一点到达点A时，运动停止，运动过程中，点P关于直线AQ的对称点记为点M．
（1）点P点在线段AB上运动，点Q在线段BC上运动时，请用含t的式子表示出△APQ的面积S；
（2）当点P在线段BC上运动，且△ABP∽△PCQ时，求t的值；
（3）若点Q在线段CD上，且以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，求t的值．
2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据角的三角函数值解题即可．
【详解】解：cos60°=.
故选A.
本题考查了角三角函数值.
2. 如果， 那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，
∴2x-2y=3y,
∴2x=5y,
.
故选B.
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两个平行四边形一定相似 B. 两个菱形一定相似
C. 两个矩形一定相似 D. 两个等腰直角三角形一定相似
【正确答案】D
【详解】本题主要考察相似三角形的判定；四边形的性质;等腰直角三角形的性质．根据相似图形的判定对各选项逐一分析，即可解答．
解：A、矩形、菱形都是平行四边形，显然没有相似；
B、内角分别是的菱形和内角分别是的菱形，是没有相似的；
C、正方形是的矩形，正方形和四边没有全相等的矩形，显然没有相似；
D、所有等腰直角三角形都有两个的角和一个直角，对应边的比也都相等是相似的，故选D．
4. 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（ ）
A. 6 B. 8 C. D.
【正确答案】C
【详解】∵AB∥CD，
∴ .
∵DO=3，BO=5，DC=4，
∴,
∴AB=.
故选C.
5. 如图，△ADE与△ABC的相似比为1：2，则三角形ADE与四边形BCED的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5
【正确答案】B
【详解】∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：4，
∴△ADE与四边形BCED的面积比为1：(4-1)=1：3.
故选B.
点睛：本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.
6. 如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )
A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡
C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关
【正确答案】B
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案．
【详解】sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，所以B正确．
故选B．
本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小．
7. 在中，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】
∵，
∴可设AC=x,AB=3x,
∴ ,
.
故选C.
8. 已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，下列比例式正确的个数是（ ）
①； ②； ③
A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个
【正确答案】B
【详解】①∵DE ∥BC，
∴,
故①错误；
②EF∥AB，
∴ ,
故②正确；
③∵DE ∥BC，
∴.
∵EF∥AB，
∴.
若，
则 ,
∴AE=CE,
∴E是AC的中点，而已知没有这个条件，故③错误；
故选B.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD=；
故选B．
本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.
10. 如图所示，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABOC的一个顶点，边OB落在x轴的负半轴上，且cos∠BOC=，顶点C的坐标为(a，4)，反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：作CE⊥OB于点E;作AF⊥OB于点F
∵顶点C的坐标为(a，4)，
∴ .
∵cos∠BOC=，
∴ ，
∴a=-3或a=3（舍去）
∴OE=3，OB=OC=5AF=CE=4，
∴OF=OB+BF=OB+OE=5+3=8
∴A(8，4)
设OA的解析式为:y=mx,
把A(-8，4)代入y=mx得，
-8m=4
∴
∴
当x=-5时，
∴ ，
∴ ，
把代入得，
故选B．
系数法求正比例函数解析式及菱形的性质.先由锐角三角函数的概念求出a的值，再由勾股定理求出OC的值，根据菱形的性质可求出点A的坐标，用待定系数法求出直线OA的解析式，从而求出点D的坐标，代入反比例函数关系式求出k的值．
二、填 空 题（每题3分，共24分）
11. 若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=____ cm.
【正确答案】
【详解】∵线段a，b，c，d成比例，
∴a:b=c:d,
∴5:7=4:d,
∴5d=28,
.
12. 如图，l1∥l2∥l3，DE＝6，EF＝7，AB＝5.则AC＝____.
【正确答案】
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴
∴,
∴ ,
∴AC=AB+BC= .
13. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
【正确答案】
【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵，
∴坡角=30°．
此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
14. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB__．
【正确答案】∠D=∠C或∠E=∠B或
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．
当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB
15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=ED，EC交对角线BD于点F，则等于_____．
【正确答案】
【详解】∵AE=ED，
∴2AE=3ED,
∴ED:AE=2：3，
∴ED:AD=2：5.
∵AD∥BC,
∴△DEF∽△BCF,
.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
16. 已知，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝，AB＝＋1，则边BC的长为___.
【正确答案】2
【详解】作CD⊥AB于点D.
∵∠A=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD.
设AD=CD=x，
由勾股定理得x2+x2=2，
∴x=1.
∵，
∴,
在Rt△BCD中，
∵BC2=BD2+CD2，
∴ .
17. 如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是______．
【正确答案】
【详解】如图，分别过点A，B作AE⊥，BF⊥，BD⊥,垂足分别为E，F，D.
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°.∵AE⊥，BF⊥∴∠CAE+∠ACE=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，∠ACE=∠CBF.
∵∠CAE=∠BCF，AC=BC，∠ACE=∠CBF，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF，AE=CF.设平行线间距离为d=l，则CE=BF=BD=1，AE=CF=2，AD=EF=CE+CF=3，
∴tanα=tan∠BAD==.
点睛：分别过点A，B作AE⊥，BF⊥，BD⊥，垂足分别为E，F，D，可根据ASA证明△ACE≌△CBF，设平行线间距离为d=1，进而求出AD、BD的值；本题考查了全等三角形的判定和锐角三角函数，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形；
18. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC， BD交AC边于点E，且AE=4，则BE·DE=____________．
【正确答案】20
【分析】根据题意可以证明△FEB∽△DEC，然后根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BE•DE的值，本题得以解决．
【详解】解：延长CA到F，使得AF=AB，连接BF，
则
∵∠BAC=2∠BDC，
∴∠F=∠BDC，
∵∠FEB=∠DEC，
∴△FEB∽△DEC，
∵AE=4，AB=AC=6，
∴EF=10，CE=2，
∴BE•DE=20，
故20．
本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形的思想解答．
三、解 答 题（共10题，共96分）
19. 计算：
【正确答案】
【详解】试题分析：本题考查了实数的混合运算，项根据二次根式的性质化简，第二项非零数的零次幂等于1，第三项负数的值等于它的相反数，第四项利用角的三角函数值化简.
解：原式=
20. 计算：．
【正确答案】0
【详解】试题分析：根据角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
试题解析：原式=﹣+=﹣+1=0
21. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．
【分析】（1）延长MA到A′使AA′=MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到△A′B′C′的各顶点坐标．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）；
本题考查作图-位似变换．
22. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：没有写作法与证明）．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）相似，（3）作图见解析.
【详解】试题分析：（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可．
解：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；
∴AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
====，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴===，
∴△ABC∽△P2P4 P5．
考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．
23. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
【正确答案】.
【分析】首先根据Rt△ABD的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而得出∠C的正弦值.
【详解】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，
∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC-BD=14-9=5，
∴AC==13，
∴sinC=．
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
24. 如图，某中学初三数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【正确答案】．
【分析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可．
【详解】解： ∵∠C=30°，∠ADB=60°，
∴∠DAC=30°，
∴AD=CD，
∵CD=20米，
∴AD=20米，
在Rt△ADB中，=sin∠ADB，
∴AB=AD×sin60°=20×=米．
25. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，该船航行的距离为 km（即AB的长）．
【正确答案】
【详解】试题分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB=AD=km．
解：如图，过点A作AD⊥OB于D.
在Rt△AOD中,
∵∠ADO=90°,∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=OA=2km.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB−∠AOB=75°−30°=45°
∴BD=AD=2km，
∴AB=AD=km.
即该船航行的距离(即AB的长)为km.
26. 如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
(1) 求证：AC2=AB•AD；
(2) 求证：CE∥AD；
(3) 若AD=8，AB=12，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB•AD；
（2）证明：∵E为AB中点，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×12=6，
∵AD=8，
∴，
∴．
27. 如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的两点（点D没有与点A、 点B重合），且DE∥BC，以DE为一边，在四边形DBCE的内部作正方形DEFG，已知AB=AC=5，BC=6．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当GF与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）若BG的长度等于正方形DEFG的边长，试求AD的长．
【正确答案】（1）12（2） （3）
【详解】试题分析：(1)作底边上的高,利用勾股定理求出高就可以求出面积.
(2)根据DE∥BC,得到△ADE∽△ABC,再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度.
（3）设AD为y，作GH⊥BD，由△ADE∽△ABC，由△ADE∽△ABC，得，
由△BGH∽△ABM，得．
解：（1）作AM⊥BC交BC与M，
∵AB=AC，∴BE=EC=3，
在Rt△AMC中，由，可得AM=4，
∴．
（2）设正方形边长为x，AM交DE于点N，由题意，得△ADE∽△ABC，
∴，∴，
解得，∴正方形DEFG的边长为．
（3）设AD为y，作GH⊥BD，
由△ADE∽△ABC，得，即，解得，
由△BGH∽△ABM，得，即，
解之得，∴AD的长为．
28. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别从A、B两点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动的时间为t秒，当其中某一点到达点A时，运动停止，运动过程中，点P关于直线AQ的对称点记为点M．
（1）点P点在线段AB上运动，点Q在线段BC上运动时，请用含t的式子表示出△APQ的面积S；
（2）当点P在线段BC上运动，且△ABP∽△PCQ时，求t的值；
（3）若点Q在线段CD上，且以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，求t的值．
【正确答案】（1）S＝t2 （2） （3）当t＝1＋时，以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形
【详解】试题分析：（1）底AP=2t，高BQ=t，根据三角形性的的面积公式求解即可；
（2）根据相似三角形的性质列方程求解；
（3）分四种情况，①点P在BC上，点Q在CD上，此时没有合题意；②点P和点Q都在CD上，P在Q的左边，此时没有合题意；③点P和点Q都在CD上，P在Q的又边，根据勾股定理列方程求解；④点P在AD上，点Q在CD上，根据勾股定理列方程求解.
解：（1）AP=2t，BQ=t，∴S＝t2.
（2）如图1，由△ABP∽△PCQ可知，此时点Q在线段CD上，∴，
即，
∴，解得，
∵，∴.
（3）①当3＜t≤时，如图2，以A、P、Q、M为顶点的四边形没有可能是菱形；
②当＜t≤4时，如图3，以A、P、Q、M为顶点的四边形没有可能是菱形；
③当4＜t≤时，如图4，若PA＝PQ，则以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，即32＋(11－2t)2＝(2t－t－4)2，整理得t2－12t＋38＝0，方程无解；
④当＜t≤7时，如图5，若PA＝PQ，则以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，即(2t－11)2＋(7－t)2＝(14－2t)2，解得t＝1±，
∵＜t≤7，∴t＝1＋
∴当t＝1＋时，以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形.
点睛：本题是四边形综合题，难度较大，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质是解答本题的关键.
2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共18分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D. 以上都没有是
2. 一元二次方程x2=x的解是（ ）
A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 此方程无解
3. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
4. 某学校七年级1班统计了全班同学在1～8月份的课外阅读数量（单位：本），绘制了右边的折线统计图，下列说确的是（ ）
A. 极差是47 B. 中位数是58 C. 众数是42 D. 极差大于平均数
5. 下列四个命题：①直径是弦；②三个点一定可以作圆；③正六边形是轴对称图形．其中正确的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 如图所示，扇形OAB的圆心角为直角，正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB、上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．如果正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4()平方单位 B. 2()平方单位
C. 4()平方单位 D. 2()平方单位
二、填 空 题（本大题共有10小题，每空3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7. 9的平方根是_________．
8. 从一副拿掉大、小王扑克牌中，抽取一张，抽到红桃的概率是_________.
9. 抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是______．
10. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
11. 如图，在□ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=______．
12. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为_________．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为_______度．
14. 如图，圆锥体的高 h＝cm，底面半径 r＝1cm，则圆锥体的侧面积为_____cm2．
15. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
16. 如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是________．
三、解 答 题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1） （2）（＋2）－
18. 先化简，再求值：，其中
19. 甲、乙、丙、丁四名同学进行乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）
（2）任选两名同学打场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
20. 如图，已知等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，没有要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点圆的切线．
21. 已知关于的一元二次方程．
（）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由．
（）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根．
22. 2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了没有准酒后驾车的禁令．某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的，本次结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来没有喝酒；③喝酒后没有开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天没有喝酒．将这次悄况整理并绘制了如下尚没有完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题
（1）该记者本次一共了 名司机．
（2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙．
（3）在本次中，记者随机采访其中一名司机，求他属第②种情况的概率．
23. 甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生,甲组学生步行出发半小时后,乙组学生骑自行车开始出发,两组学生同时到达敬老院,如果步行速度是骑自行车速度的,求步行与骑自行车的速度各是多少?
24. 如图，反比例函数 y=的图象与函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与函数的函数关系式；
（2）根据图象，回答当函数的值大于反比例函数的值时，x 的取值范围为________；
(3) 连接AO、BO，则△ABO的面积是_________；
25. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若没有存在，请说明理由．
26. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠FDE=60°，AC=1. 固定△ABC没有动，将△DEF进行如下操作：
(1) 如图 (1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在没有断的变化，但它的面积没有变化，请求出其面积.
(2)如图(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.
(3)如图(3)，△DEF的F点固定在AB的中点，然后绕F点按顺时针方向旋转△DEF，使EF交在AC边上于M，FD交BC于N，若FM=x,FN=y,试求y关于x的函数关系式．
27. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x 2＋bx＋cB、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共18分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D. 以上都没有是
【正确答案】C
【详解】试题解析：被开方数含分母，没有是最简二次根式；
被开方数中含能开得尽方的因数，没有是最简二次根式；
是最简二次根式，
故选C.
2. 一元二次方程x2=x的解是（ ）
A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 此方程无解
【正确答案】C
【详解】试题解析：
或
解得：
故选C.
3. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
【正确答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，没有符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，没有符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，没有符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项没有正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
4. 某学校七年级1班统计了全班同学在1～8月份的课外阅读数量（单位：本），绘制了右边的折线统计图，下列说确的是（ ）
A. 极差是47 B. 中位数是58 C. 众数是42 D. 极差大于平均数
【正确答案】B
【详解】解：A. 极差为：83−28=55，故错误；
B. 中位数为：(58+58)÷2=58，正确；
C. ∵58出现的次数至多，是2次，
∴众数为：58，故错误；
D.计算可知平均数为56.25大于极差.故错误．
故选B．
5. 下列四个命题：①直径是弦；②三个点一定可以作圆；③正六边形是轴对称图形．其中正确的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】C
【详解】试题解析：直径是弦，所以①正确；
没有共线的三个点一定可以作圆，所以②错误；
正六边形是轴对称图形，所以③正确.
故选C.
6. 如图所示，扇形OAB的圆心角为直角，正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB、上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．如果正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 4()平方单位 B. 2()平方单位
C. 4()平方单位 D. 2()平方单位
【正确答案】A
【详解】试题分析：连接OD，
∵正方形OCDE的面积为2，
∴正方形OCDE的边长为2，
∴，
∴，
∵DE=DC，BE=AC，弧BD=弧AD，
∴阴影部分的面积=长方形ACDF的面积=AC•CD=．
考点：1.轴对称图形；2.扇形的面积公式；3.正方形的性质
二、填 空 题（本大题共有10小题，每空3分，共30分．没有需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7. 9的平方根是_________．
【正确答案】±3
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8. 从一副拿掉大、小王的扑克牌中，抽取一张，抽到红桃的概率是_________.
【正确答案】
【详解】解：∵一副拿掉大、小王的扑克牌共有52张，红桃的有13张，
∴抽取一张，这张牌是红桃的概率是：
故答案为
9. 抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是______．
【正确答案】（1，0）
【详解】试题解析：∵y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0）．
10. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
【正确答案】8；
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8．
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．
11. 如图，在□ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=______．
【正确答案】3
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵点E. F分别是BD、CD的中点，
故答案为3.
三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
12. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为_________．
【正确答案】6
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD−AE=8−x，
在Rt△CDE中,
即
解得：x=5，
即CE的长为5.
故答案为
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为_______度．
【正确答案】25．
【详解】试题分析：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB=∠AOB=25°，故答案为25．
考点：圆周角定理．
14. 如图，圆锥体的高 h＝cm，底面半径 r＝1cm，则圆锥体的侧面积为_____cm2．
【正确答案】2π
【详解】试题解析：圆锥的母线长是
底面周长
则圆锥体的侧面积是：
故答案是：
点睛：根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，利用扇形的面积计算方法求得侧面积．
15. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
【正确答案】2或2或2
【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，三角函数，等边三角形的性质即可解题.
【详解】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴，
在直角三角形ABP中，
，
如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为或或2．
考点：勾股定理．
16. 如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是________．
【正确答案】
【详解】试题解析：设点
可以求得所在直线的解析式为
作点关于直线的对称点则
点在同一条线上，由点
可知所在直线的解析式为：
联立方程： 解得 即点
作点关于轴的对称点则
点在同一条线上，由点
可知所在直线的解析式为：
把坐标代入解得：
此时点
故答案为
三、解 答 题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1） （2）（＋2）－
【正确答案】0，
【详解】试题分析：（1）根据零指数幂的意义和值的意义得到原式=2-3+1，然后进行加减运算；
（2）根据二次根式的性质和乘除法则得到原式然后合并即可．
试题解析：原式
原式
18. 先化简，再求值：，其中
【正确答案】 ；．
【分析】先对小括号部分通分，同时把除化为乘，再根据分式的基本性质约分，代入求值．
【详解】解：原式=
=
当时，原式=．
本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化，计算题是中考必考题，一般难度没有大，要特别慎重，尽量没有在计算上失分．
19. 甲、乙、丙、丁四名同学进行乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）
（2）任选两名同学打场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【正确答案】（1）；（2）树状图见解析，
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，
∴P（恰好选中乙同学）＝；
（2）画树状图得：
∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．
∴P（恰好选中甲、乙两位同学）＝．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；解题时要注意此题是放回实验还是没有放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，没有要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【详解】试题分析：（1）由已知得到△ACD是直角三角形，那么过A，D，C三点作⊙O，根据圆周角是直角所对的弦是直径得，AD为⊙O的直径，所以作AD的中点O即为圆心，再以点O为圆心，OA长为半径即可作出⊙O．
（2）先连接OC，已知已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，能求出∠ACB=120°，在⊙O中OA=OC，得到，∠ACO=∠A=30°，那么∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°，从而推出BC是过A，D，C三点的圆的切线．
试题解析：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆；
（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴AD是⊙O的直径
连接OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°，∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线．
考点：1．切线的判定；2．等腰三角形的性质．
21. 已知关于的一元二次方程．
（）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由．
（）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）m的值为-1，方程的另一个根为-2．
【详解】试题分析：（1）根据方程的系数根的判别式即可得出△=m2+8≥8，由此即可得出结论；
（2）将x=1代入原方程可求出m的值，再将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的另一个根．
试题解析：解：（1）∵在方程x2﹣mx﹣2=0中，△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8≥8，∴没有论m为任意实数，原方程总有两个没有相等的实数根．
（2）将x=1代入原方程，得：1﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1，∴原方程为x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=1，x2=﹣2．
答：m的值为﹣1，方程的另一个根为﹣2．
点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记当△＞0时方程有两个没有相等的实数根是解题的关键．
22. 2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了没有准酒后驾车的禁令．某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的，本次结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来没有喝酒；③喝酒后没有开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天没有喝酒．将这次悄况整理并绘制了如下尚没有完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题
（1）该记者本次一共了 名司机．
（2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙．
（3）在本次中，记者随机采访其中的一名司机，求他属第②种情况的概率．
【正确答案】(1）200人（2）126°，18人，110人（3）
【详解】(1）=200（人）总人数是200人．……………………………2分
（2）×360°=126°．……………………………4分
200×9%=18（人）
200-18-2-70=110（人）
第②种情况110人，第③种情况18人．……………………………6分
（3）他属第②种情况的概率为=．…………………………………………8分
在本次中，记者随机采访其中一名司机．求他属第②种情况的概率．
（1）从扇形图可看出①种情况占1%，从条形图知道有2人，所以可求出总人数．
（2）求出④所占的百分比然后乘以360°就可得到圆心角度数，然后求出其他情况的人，补全条形图．
（3）②种情况的概率为②中的人数除以的总人数．
23. 甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生,甲组学生步行出发半小时后,乙组学生骑自行车开始出发,两组学生同时到达敬老院,如果步行速度是骑自行车速度的,求步行与骑自行车的速度各是多少?
【正确答案】6km/小时 ，18km/小时
【分析】设甲组速度为xkm/小时，则乙组速度为3xKm/小时．然后根据等量关系：两组学生同时到达敬老院可列出方程：，然后解方程即可．
【详解】设甲组速度为xkm/小时，则乙组速度为3xKm/小时．
列方程：．
解得：x=6．经检验：x=6是方程的解．
∴3x=18．
答：步行速度为6km/小时，骑自行车的速度为18km/小时．
考点：分式方程的应用．
24. 如图，反比例函数 y=的图象与函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与函数的函数关系式；
（2）根据图象，回答当函数的值大于反比例函数的值时，x 的取值范围为________；
(3) 连接AO、BO，则△ABO的面积是_________；
【正确答案】 ①. x＜﹣3或0＜x＜1 ②. 4
【详解】试题分析：（1）把点代入反比例函数即可求出的值，进而求出反比例函数的解析式；再把点B的坐标代入反比例函数的关系式求出的值，把两点坐标代入函数的关系式即可求出函数的关系式；
（2）由（1）中两点的坐标，函数图象可直接得出结论；
（3）根据（1）中求出的函数的关系式求出点的坐标，再根据进行解答；
试题解析:（1）∵在的图象上，
又∵在的图象上，
即
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为，函数的解析式为
（2）从图象上可知，当 或时，反比例函数的值大于函数的值．
故答案为 或.
（3）设函数与轴交点为，
令函数值，得
故答案4.
25. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）PB=1.
【详解】试题分析：连接利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段联立已知的，即可证得是等边三角形；
连接利用直径所对的圆周角为直角，得到然后利用等腰三角形三线合一的性质得出为的中点．利用三角形中位线的数量关系求得的长度；
根据等边三角形的性质，可以证得和有一组边和一对角对应相等，所以只要再满足这组角的另一夹边对应相等就可以了．
试题解析：证明：连接
是的直径，
∵点是的中点，
是线段的垂直平分线．
为等边三角形．
连接
是直径，
是等边三角形，
即为的中点．
是的中点，故为的中位线，
存在点使
由知，
要使
只需
26. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠FDE=60°，AC=1. 固定△ABC没有动，将△DEF进行如下操作：
(1) 如图 (1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在没有断的变化，但它的面积没有变化，请求出其面积.
(2)如图(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.
(3)如图(3)，△DEF的F点固定在AB的中点，然后绕F点按顺时针方向旋转△DEF，使EF交在AC边上于M，FD交BC于N，若FM=x,FN=y,试求y关于x的函数关系式．
【正确答案】(1)，(2)略，(3)y=x.
【详解】试题分析：（1）过点C作，垂足是点，易证四边形是梯形，在直角中利用三角形的性质求得，然后利用梯形的面积公式求解；
（2）首先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的定义即可证得四边形是菱形．
过点作于,作于由两组角分别对应相等，可得： 对应边的比相等，可得出与的关系式.
试题解析：(1)过点C作CG⊥AE，垂足是点G.
由题可知,CFAE，CF=AD=BE，
则四边形CDBF是梯形.
∵在直角△ABC中,
∴AB=2，
在直角△ACG中,
∴S梯形CDBF
(2)四边形CDBF菱形.
理由如下：∵在直角△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=DB=CD，
由(1)CF=AD，
∴CF=DB=CD，
又∵CFAE，
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CD=BD，
∴四边形CDBF是菱形.
过点作于,作于
可解得
,
即 整理得：
27. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x 2＋bx＋cB、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
【正确答案】（1）S△OPQ＝－t2＋t（0＜t＜8）；（2）四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于，证明见解析；（3）3：29 ．
【分析】（1）根据的运动速度，可用表示出的长，进而根据的长求出的表达式，即可由三角形的面积公式得到的函数关系式；
（2）四边形的面积，可由矩形的面积差求得，进而可得到所求的定值；
（3）若与和相似，那么必为直角三角形，且 由于 所以这三个相似三角形的对应关系是 根据相似三角形得到的比例线段求出的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线的解析式；可设点的横坐标为，根据直线和抛物线的解析式，求出 的纵坐标，进而可得到关于的长与的函数关系式，根据函数的性质即可求出的值及对应的点坐标；设与直线的交点为，根据点的坐标和直线的解析式即可求出点的坐标，也就能得到的长，以为底，横坐标差的值为高，可求出的面积，进而可根据四边形的面积求出五边形的面积，由此可求出它们的比例关系式．
【详解】解：（1）
∴S△OPQ＝(8－t)·t＝－t2＋t（0＜t＜8）
（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ
＝8×－×t－×8×(－t)＝
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°
又∵BQ与AO没有平行，∴∠QPO没有可能等于∠PQB，∠APB没有可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP
∴＝，即＝，解得：t＝4
经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑）此时P（，0）
∵B（，8）且抛物线y＝x2＋bx＋cB、P两点
∴抛物线是y＝x2－x＋8，直线BP是y＝x－8
设M（m，m－8），则N（m，m2－m＋8）
∵M是BP上的动点，∴≤m≤
∵y1＝x2－x＋8＝( x－)2.
∴抛物线的顶点是P（，0）
又y1＝x2－x＋8与y2＝x－8交于P、B两点
∴当≤m≤时，y2＞y1.
∴|MN |＝|y2－y1|＝y2－y1＝(m－8)－(m2－m＋8)
＝－m2＋m－16＝－(m－)2＋2
∴当m＝时，MN有值是2，此时M（，4）
设MN与BQ交于H点，则H（，7）
∴S△BHM＝×3×＝
∴S△BHM：S五边形QOPMH ＝:(－)＝3：29
∴当线段MN的长取值时，直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3：29 ．
2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 如果， 那么值是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两个平行四边形一定相似 B. 两个菱形一定相似
C. 两个矩形一定相似 D. 两个等腰直角三角形一定相似
4. 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（ ）
A. 6 B. 8 C. D.
5. 如图，△ADE与△ABC的相似比为1：2，则三角形ADE与四边形BCED的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5
6. 如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )
A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡
C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关
7. 在中，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，下列比例式正确的个数是（ ）
①； ②； ③
A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个
9. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图所示，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABOC的一个顶点，边OB落在x轴的负半轴上，且cos∠BOC=，顶点C的坐标为(a，4)，反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（每题3分，共24分）
11. 若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=____ cm.
12. 如图，l1∥l2∥l3，DE＝6，EF＝7，AB＝5.则AC＝____.
13. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
14. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB__．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=ED，EC交对角线BD于点F，则等于_____．
16. 已知，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝，AB＝＋1，则边BC的长为___.
17. 如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是______．
18. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC， BD交AC边于点E，且AE=4，则BE·DE=____________．
三、解 答 题（共10题，共96分）
19. 计算：
20. 计算：．
21. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
22. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：没有写作法与证明）．
23. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
24. 如图，某中学初三数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
25. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，该船航行的距离为 km（即AB的长）．
26. 如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
(1) 求证：AC2=AB•AD；
(2) 求证：CE∥AD；
(3) 若AD=8，AB=12，求的值．
27. 如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上两点（点D没有与点A、 点B重合），且DE∥BC，以DE为一边，在四边形DBCE的内部作正方形DEFG，已知AB=AC=5，BC=6．
（1）试求△ABC面积；
（2）当GF与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）若BG的长度等于正方形DEFG的边长，试求AD的长．
28. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别从A、B两点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动的时间为t秒，当其中某一点到达点A时，运动停止，运动过程中，点P关于直线AQ的对称点记为点M．
（1）点P点在线段AB上运动，点Q在线段BC上运动时，请用含t的式子表示出△APQ的面积S；
（2）当点P在线段BC上运动，且△ABP∽△PCQ时，求t的值；
（3）若点Q在线段CD上，且以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，求t的值．
2022-2023学年江苏连云港市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据角的三角函数值解题即可．
【详解】解：cos60°=.
故选A.
本题考查了角三角函数值.
2. 如果， 那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵，
∴2x-2y=3y,
∴2x=5y,
.
故选B.
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两个平行四边形一定相似 B. 两个菱形一定相似
C. 两个矩形一定相似 D. 两个等腰直角三角形一定相似
【正确答案】D
【详解】本题主要考察相似三角形的判定；四边形的性质;等腰直角三角形的性质．根据相似图形的判定对各选项逐一分析，即可解答．
解：A、矩形、菱形都是平行四边形，显然没有相似；
B、内角分别是的菱形和内角分别是的菱形，是没有相似的；
C、正方形是的矩形，正方形和四边没有全相等的矩形，显然没有相似；
D、所有等腰直角三角形都有两个的角和一个直角，对应边的比也都相等是相似的，故选D．
4. 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（ ）
A. 6 B. 8 C. D.
【正确答案】C
【详解】∵AB∥CD，
∴ .
∵DO=3，BO=5，DC=4，
∴,
∴AB=.
故选C.
5. 如图，△ADE与△ABC的相似比为1：2，则三角形ADE与四边形BCED的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5
【正确答案】B
【详解】∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：4，
∴△ADE与四边形BCED的面积比为1：(4-1)=1：3.
故选B.
点睛：本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.
6. 如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )
A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡
C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关
【正确答案】B
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案．
【详解】sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，所以B正确．
故选B．
本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小．
7. 在中，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】
∵，
∴可设AC=x,AB=3x,
∴ ,
.
故选C.
8. 已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，下列比例式正确的个数是（ ）
①； ②； ③
A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个
【正确答案】B
【详解】①∵DE ∥BC，
∴,
故①错误；
②EF∥AB，
∴ ,
故②正确；
③∵DE ∥BC，
∴.
∵EF∥AB，
∴.
若，
则 ,
∴AE=CE,
∴E是AC的中点，而已知没有这个条件，故③错误；
故选B.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD=；
故选B．
本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.
10. 如图所示，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABOC的一个顶点，边OB落在x轴的负半轴上，且cos∠BOC=，顶点C的坐标为(a，4)，反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：作CE⊥OB于点E;作AF⊥OB于点F
∵顶点C的坐标为(a，4)，
∴ .
∵cos∠BOC=，
∴ ，
∴a=-3或a=3（舍去）
∴OE=3，OB=OC=5AF=CE=4，
∴OF=OB+BF=OB+OE=5+3=8
∴A(8，4)
设OA的解析式为:y=mx,
把A(-8，4)代入y=mx得，
-8m=4
∴
∴
当x=-5时，
∴ ，
∴ ，
把代入得，
故选B．
系数法求正比例函数解析式及菱形的性质.先由锐角三角函数的概念求出a的值，再由勾股定理求出OC的值，根据菱形的性质可求出点A的坐标，用待定系数法求出直线OA的解析式，从而求出点D的坐标，代入反比例函数关系式求出k的值．
二、填 空 题（每题3分，共24分）
11. 若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=____ cm.
【正确答案】
【详解】∵线段a，b，c，d成比例，
∴a:b=c:d,
∴5:7=4:d,
∴5d=28,
.
12. 如图，l1∥l2∥l3，DE＝6，EF＝7，AB＝5.则AC＝____.
【正确答案】
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴
∴,
∴ ,
∴AC=AB+BC= .
13. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
【正确答案】
【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵，
∴坡角=30°．
此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
14. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB__．
【正确答案】∠D=∠C或∠E=∠B或
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．
当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB
15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=ED，EC交对角线BD于点F，则等于_____．
【正确答案】
【详解】∵AE=ED，
∴2AE=3ED,
∴ED:AE=2：3，
∴ED:AD=2：5.
∵AD∥BC,
∴△DEF∽△BCF,
.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
16. 已知，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝，AB＝＋1，则边BC的长为___.
【正确答案】2
【详解】作CD⊥AB于点D.
∵∠A=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD.
设AD=CD=x，
由勾股定理得x2+x2=2，
∴x=1.
∵，
∴,
在Rt△BCD中，
∵BC2=BD2+CD2，
∴ .
17. 如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是______．
【正确答案】
【详解】如图，分别过点A，B作AE⊥，BF⊥，BD⊥,垂足分别为E，F，D.
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°.∵AE⊥，BF⊥∴∠CAE+∠ACE=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，∠ACE=∠CBF.
∵∠CAE=∠BCF，AC=BC，∠ACE=∠CBF，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF，AE=CF.设平行线间距离为d=l，则CE=BF=BD=1，AE=CF=2，AD=EF=CE+CF=3，
∴tanα=tan∠BAD==.
点睛：分别过点A，B作AE⊥，BF⊥，BD⊥，垂足分别为E，F，D，可根据ASA证明△ACE≌△CBF，设平行线间距离为d=1，进而求出AD、BD的值；本题考查了全等三角形的判定和锐角三角函数，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形；
18. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC， BD交AC边于点E，且AE=4，则BE·DE=____________．
【正确答案】20
【分析】根据题意可以证明△FEB∽△DEC，然后根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BE•DE的值，本题得以解决．
【详解】解：延长CA到F，使得AF=AB，连接BF，
则
∵∠BAC=2∠BDC，
∴∠F=∠BDC，
∵∠FEB=∠DEC，
∴△FEB∽△DEC，
∵AE=4，AB=AC=6，
∴EF=10，CE=2，
∴BE•DE=20，
故20．
本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形的思想解答．
三、解 答 题（共10题，共96分）
19. 计算：
【正确答案】
【详解】试题分析：本题考查了实数的混合运算，项根据二次根式的性质化简，第二项非零数的零次幂等于1，第三项负数的值等于它的相反数，第四项利用角的三角函数值化简.
解：原式=
20. 计算：．
【正确答案】0
【详解】试题分析：根据角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
试题解析：原式=﹣+=﹣+1=0
21. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．
【分析】（1）延长MA到A′使AA′=MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到△A′B′C′的各顶点坐标．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）；
本题考查作图-位似变换．
22. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：没有写作法与证明）．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）相似，（3）作图见解析.
【详解】试题分析：（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可．
解：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；
∴AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
====，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴===，
∴△ABC∽△P2P4 P5．
考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．
23. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
【正确答案】.
【分析】首先根据Rt△ABD的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而得出∠C的正弦值.
【详解】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，
∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC-BD=14-9=5，
∴AC==13，
∴sinC=．
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
24. 如图，某中学初三数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【正确答案】．
【分析】根据题意得∠C=30°，∠ADB=60°，从而得到∠DAC=30°，进而判定AD=CD，得到CD=20米，在Rt△ADB中利用sin∠ADB求得AB的长即可．
【详解】解： ∵∠C=30°，∠ADB=60°，
∴∠DAC=30°，
∴AD=CD，
∵CD=20米，
∴AD=20米，
在Rt△ADB中，=sin∠ADB，
∴AB=AD×sin60°=20×=米．
25. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，该船航行的距离为 km（即AB的长）．
【正确答案】
【详解】试题分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB=AD=km．
解：如图，过点A作AD⊥OB于D.
在Rt△AOD中,
∵∠ADO=90°,∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=OA=2km.
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB−∠AOB=75°−30°=45°
∴BD=AD=2km，
∴AB=AD=km.
即该船航行的距离(即AB的长)为km.
26. 如图四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
(1) 求证：AC2=AB•AD；
(2) 求证：CE∥AD；
(3) 若AD=8，AB=12，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB•AD；
（2）证明：∵E为AB中点，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×12=6，
∵AD=8，
∴，
∴．
27. 如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的两点（点D没有与点A、 点B重合），且DE∥BC，以DE为一边，在四边形DBCE的内部作正方形DEFG，已知AB=AC=5，BC=6．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当GF与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）若BG的长度等于正方形DEFG的边长，试求AD的长．
【正确答案】（1）12（2） （3）
【详解】试题分析：(1)作底边上的高,利用勾股定理求出高就可以求出面积.
(2)根据DE∥BC,得到△ADE∽△ABC,再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度.
（3）设AD为y，作GH⊥BD，由△ADE∽△ABC，由△ADE∽△ABC，得，
由△BGH∽△ABM，得．
解：（1）作AM⊥BC交BC与M，
∵AB=AC，∴BE=EC=3，
在Rt△AMC中，由，可得AM=4，
∴．
（2）设正方形边长为x，AM交DE于点N，由题意，得△ADE∽△ABC，
∴，∴，
解得，∴正方形DEFG的边长为．
（3）设AD为y，作GH⊥BD，
由△ADE∽△ABC，得，即，解得，
由△BGH∽△ABM，得，即，
解之得，∴AD的长为．
28. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别从A、B两点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动的时间为t秒，当其中某一点到达点A时，运动停止，运动过程中，点P关于直线AQ的对称点记为点M．
（1）点P点在线段AB上运动，点Q在线段BC上运动时，请用含t的式子表示出△APQ的面积S；
（2）当点P在线段BC上运动，且△ABP∽△PCQ时，求t的值；
（3）若点Q在线段CD上，且以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，求t的值．
【正确答案】（1）S＝t2 （2） （3）当t＝1＋时，以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形
【详解】试题分析：（1）底AP=2t，高BQ=t，根据三角形性的的面积公式求解即可；
（2）根据相似三角形的性质列方程求解；
（3）分四种情况，①点P在BC上，点Q在CD上，此时没有合题意；②点P和点Q都在CD上，P在Q的左边，此时没有合题意；③点P和点Q都在CD上，P在Q的又边，根据勾股定理列方程求解；④点P在AD上，点Q在CD上，根据勾股定理列方程求解.
解：（1）AP=2t，BQ=t，∴S＝t2.
（2）如图1，由△ABP∽△PCQ可知，此时点Q在线段CD上，∴，
即，
∴，解得，
∵，∴.
（3）①当3＜t≤时，如图2，以A、P、Q、M为顶点的四边形没有可能是菱形；
②当＜t≤4时，如图3，以A、P、Q、M为顶点的四边形没有可能是菱形；
③当4＜t≤时，如图4，若PA＝PQ，则以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，即32＋(11－2t)2＝(2t－t－4)2，整理得t2－12t＋38＝0，方程无解；
④当＜t≤7时，如图5，若PA＝PQ，则以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形，即(2t－11)2＋(7－t)2＝(14－2t)2，解得t＝1±，
∵＜t≤7，∴t＝1＋
∴当t＝1＋时，以A、P、Q、M为顶点的四边形是菱形.
点睛：本题是四边形综合题，难度较大，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质是解答本题的关键.
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