2022-2023学年湖南省长沙市九年级下册数学月考专项突破模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市九年级下册数学月考专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题，三象限，双曲线等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省长沙市九年级下册数学月考专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 一元二次方程的根为（ ）
A. B. C. D.
2. 在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看没有到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是对称图形的概率为（　　）

A. 1 B. C. D.
3. 学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得分数互没有相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（　　）
A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数
4. 抛物线y=2（x-1）2+1的顶点坐标是（　　）
A. （1，﹣1） B. （1，1） C. （1，0） D. （﹣1，0）
5. 如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=60°，那么∠BAD等于（　　）

A. 20° B. 30° C. 35° D. 70°
6. 将二次函数y＝x2的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位所得图象的解析式是（　　）
A. y＝（x+2）2+1 B. y＝（x﹣2）2+1 C. y＝（x﹣2）2﹣1 D. y＝（x+2）2﹣1
7. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 ( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 没有能确定
8. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）

A b2＞4ac
B. ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
二、填 空 题 (本大题共10小题，每小题4分，共40分.)
9. 二次函数y=（x-1）2﹣2图象的对称轴是_______
10. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，甲、乙两块试验田的平均数都是13，方差结果为：S甲2=36，S乙2=158，则小麦长势比较整齐的试验田是________．
11. 一组数据3，2，0，x，-1，-4的极差是8，x=_______________________
12. 已知m是关于x方程x2﹣2x+3=0的一个根，则-2m2+4m=_____．
13. 如图，一个宽为2cm刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．

14. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是__________.
15. 已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个没有相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为_____cm．（结果保留π）

16. 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
X
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
Y
…
﹣54
﹣36
﹣12
﹣6
﹣6
﹣22
…
当x=﹣1时，对应的函数值y=_________．
17. 在抛物线y=-2ax-3a上有A（-0.5，y1），B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1，y2和y3的大小关系为____________________________
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的值是________．

三、解 答 题(本大题共9小题，共86分..)
19. 解下列方程：(1)；(2)
20. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
21. 为了传承祖国的传统文化，某校组织了“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.
(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ;
(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.
九宫格

22. 如图，AC是⊙O的直径，PB切⊙O于点D，交AC的延长线于点B，且∠DAB＝∠B．

（1）求∠B的度数；
（2）若BD＝9，求BC的长．
23. 如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象A（2，0）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当x满足什么条件时，函数值大于0？；
（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

24. 某商店一种成本为元水产品，若按元，一个月可售出，售价每涨元，月量就减少．
写出月利润（元）与售价（元）之间的函数表达式；
当售价定为多少元时，该商店月利润为元？
当售价定为多少元时会获得利润？求出利润．
25. 如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．
(1)画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；
(2)在抛物线型拱壁E、F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？

26. 如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=，求阴影部分的面积．

27. 如图，在直角坐标系中，直线y=x-3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线点A(-1，0)，B，C三点,点F在y轴负半轴上，OF=OA.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在象限的抛物线上存在一点P，满足S△ABC=S△PBC，请求出点P的坐标；
(3)点D是直线BC的下方的抛物线上的一个动点，过D点作DE∥y轴，交直线BC于点E，①当四边形CDEF为平行四边形时，求D点的坐标；
②是否存在点D，使CE与DF互相垂直平分？若存在，请求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由．




2022-2023学年湖南省长沙市九年级下册数学月考专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 一元二次方程的根为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】方程可化为：，
∴或，
解得.
故选C.
2. 在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看没有到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是对称图形的概率为（　　）

A. 1 B. C. D.
【正确答案】B

【分析】从四个图形中找到对称图形的个数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】∵四个图形中，是对称图形的有平行四边形、矩形及圆三个，
∴P（对称图形）＝ ，
故选B．
本题考查概率求法与运用，一般方法：如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）＝．
3. 学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互没有相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（　　）
A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数
【正确答案】C

【详解】试题分析：因为6位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中的，而且13个没有同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故选C．
考点：统计量的选择．
4. 抛物线y=2（x-1）2+1的顶点坐标是（　　）
A. （1，﹣1） B. （1，1） C. （1，0） D. （﹣1，0）
【正确答案】B

【详解】抛物线y=2（x-1）2+1的顶点坐标是（1，1）.
故选B.
5. 如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=60°，那么∠BAD等于（　　）

A. 20° B. 30° C. 35° D. 70°
【正确答案】B

【详解】试题分析：∵弦CD⊥直径AB，∴，∴∠BAD=∠BOC=×60°=30°．故选B．
考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．
6. 将二次函数y＝x2的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位所得图象的解析式是（　　）
A. y＝（x+2）2+1 B. y＝（x﹣2）2+1 C. y＝（x﹣2）2﹣1 D. y＝（x+2）2﹣1
【正确答案】B

【分析】按照“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
【详解】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x﹣2）2；
再向上平移1个单位为：y＝（x﹣2）2+1．
故答案为B．
本题考查的是二次函数的图象的平移变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解答本题的关键.
7. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 ( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 没有能确定
【正确答案】A

【详解】Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，
由勾股定理得：斜边AB=5cm，
以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则圆过AB的中点，BC>r，
所以⊙C 与直线AB 的位置关系是相交.
故选：A．　
8. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）

A. b2＞4ac
B. ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
【正确答案】C

【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.
【详解】A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形是解题的关键.

二、填 空 题 (本大题共10小题，每小题4分，共40分.)
9. 二次函数y=（x-1）2﹣2图象的对称轴是_______
【正确答案】x=1

【详解】二次函数y=（x-1）2﹣2图象的对称轴是：直线x=1.
10. 随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，甲、乙两块试验田的平均数都是13，方差结果为：S甲2=36，S乙2=158，则小麦长势比较整齐的试验田是________．
【正确答案】甲

【详解】∵S甲2=36，S乙2=158，而36<158，
∴小麦长势比较整齐的试验田是甲.
11. 一组数据3，2，0，x，-1，-4的极差是8，x=_______________________
【正确答案】4或-5

【详解】∵一组数据3，2，0，x，-1，-4的极差是8，而3-（-4）=7，
∴x是这组数据中最小的数或的数.
（1）当x是这组数据中的数时，由题意可得：x-(-4)=8，解得：x=4；
（2）当x是这组数据中最小的数时，由题意可得：3-x=8，解得：x=-5；
综上所述，x=4或-5.
点睛：一组数据的极差是这组数据中数与最小数的差.
12. 已知m是关于x的方程x2﹣2x+3=0的一个根，则-2m2+4m=_____．
【正确答案】6

【详解】∵m是关于x的方程x2﹣2x+3=0的一个根，
∴m2-2m+3=0，
∴m2-2m=-3，
∴-2m2+4m=-2(m2-2m)=-2×（-3）=6.
13. 如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．

【正确答案】cm

【分析】设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．
【详解】根据题意获得下图：


设OB=r cm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC=r-2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BC=×6=3，
在Rt△OBC中，
∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm．
故答案为cm．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．
14. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是__________.
【正确答案】k≤4

【详解】∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴，解得.
即：k的取值范围是.
15. 已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个没有相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为_____cm．（结果保留π）

【正确答案】8π

【详解】试题分析：先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．
解：方法一：
先求出正六边形的每一个内角==120°，
所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm）；
方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm．
故答案为8π．
考点：弧长的计算；正多边形和圆．
16. 二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
X
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
Y
…
﹣54
﹣36
﹣12
﹣6
﹣6
﹣22
…
当x=﹣1时，对应的函数值y=_________．
【正确答案】-22

【详解】观察表中数据可知，当和时，的值都为-6，
∴二次函数的图象的对称轴为直线：，
∴时的函数值和时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，对应的函数值.
点睛：在二次函数y=ax2+bx+c中，若当、（）时，对应的两个函数值相等，则该二次函数图象的对称轴为直线.
17. 在抛物线y=-2ax-3a上有A（-0.5，y1），B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1，y2和y3的大小关系为____________________________
【正确答案】y2＞y1＞y3

【详解】∵抛物线y=-2ax- 3a与y轴的交点在正半轴上，
∴，解得：，
∴该抛物线开口向下.
∵，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴A（-0.5，y1），B（2，y2）和C（3，y3）三点，到对称轴由远到近依次是点C、A、B，
∴.
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的值是________．

【正确答案】﹣1

【详解】连接AP，如图所示：

∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
∴AP=BC=AB=t，
要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，
∴点P在AD上，
∵A（0，1），D（3，3），
∴AD==，
∴t的最小值是AP=AD﹣PD=﹣1；
故答案是：﹣1．
此题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内，两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是BC的中点是解本题的关键．是一道基础题．
三、解 答 题(本大题共9小题，共86分..)
19. 解下列方程：(1)；(2)
【正确答案】（1）x1=-1，x2=3 （2）x1=-1，x2=-3

【分析】（1）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；
（2）用因式分解的提公因式法求解比较简便．
详解】解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x＝3或x＝﹣1；
（2）移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
∴（x+3）（x+3﹣2）＝0
∴（x+3）（x+1）＝0
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．
考查了一元二次方程解法，选择适当的方法解一元二次方程可事半功倍．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
【正确答案】（1），；（2）证明见解析

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个没有相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴．
解得
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
21. 为了传承祖国的传统文化，某校组织了“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.
(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ;
(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.
九宫格

【正确答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率．
试题解析：
（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，∴若随机选择其中一个正确的概率=，故答案为；
（2）画树形图得：

由树状图可知共有4种可能结果，其中正确有1种，所以小丽回答正确的概率=．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
22. 如图，AC是⊙O的直径，PB切⊙O于点D，交AC的延长线于点B，且∠DAB＝∠B．

（1）求∠B的度数；
（2）若BD＝9，求BC的长．
【正确答案】（1）30°；（2）3．

【分析】（1）连结OD，根据切线的性质得出OD⊥PB，再由圆周角定理得出∠COD=2∠DAB，根据∠DAB=∠B，可知∠COD=2∠B，再由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）在Rt△BOD中，根据锐角三角函数的定义得出OD及OB的长，进而可得出结论．
【详解】（1）连结OD

∵PB切⊙O于点D，
∴OD⊥PB ∵OA=OD，
∴∠COD=2∠A，
而∠A=∠B，
∴∠COD=2∠B
∴在Rt△BOD中，ÐB=30°
（2）∵在Rt△BOD中，BD=9，
∴OD=OC=3，OB=6
∴BC=3
23. 如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象A（2，0）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当x满足什么条件时，函数值大于0？；
（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

【正确答案】（1）y=﹣+4x﹣6；（2）2
【详解】试题分析：
（1）把A、B的坐标代入列方程组解得b、c的值即可得到二次函数的解析式；
（2）由（1）中所求解析式，求得二次函数与x轴的交点坐标，图象即可求得当y>0时，x的取值范围；
（3）先由（1）中所求解析式求得点C的坐标，已知的点A、B的坐标即可求得△ABC的面积.
试题解析：
（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入，
得： ，解得： ，
∴这个二次函数的解析式为：．
（2）当时，可得：，解得：，
∴图象与x轴交于两点，坐标分别为（2，0）和（6，0）
图象可知，当2 二次函数的函数值大于0.
（3）∵二次函数，
∴该抛物线对称轴为直线，
∴点C的坐标为（4，0），
∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，
∴S△ABC=AC×OB=×2×6=6.
24. 某商店一种成本为元的水产品，若按元，一个月可售出，售价每涨元，月量就减少．
写出月利润（元）与售价（元）之间的函数表达式；
当售价定为多少元时，该商店月利润为元？
当售价定为多少元时会获得利润？求出利润．
【正确答案】（1）y；（2）当售价定为元或元时，该商店月利润为元；
当售价为元，利润，利润是元．

【分析】（1）根据月利润=每千克的利润×数量就可以表示出月利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式；
（2）当y=8000时，代入（1）的解析式求出结论即可，
（3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出结论．
【详解】解：（1）由题意，得
y=（x-40）[500-10（x-50）]，
y=-10x2+1400x-40000=．
答：y与x之间的函数关系式为：y=-10x2+1400x-40000；
（2）由题意，得
8000=-10x2+1400x-40000，
解得：x1=60，x2=80．
答：单价应定为80元；
（3）∵y=-10x2+1400x-40000．
∴y=-10（x-70）2+9000．
∴a=-10＜0，y有值．
∴当x=70时．y=9000元．
本题考查了利润率问题的数量关系的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
25. 如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．
(1)画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；
(2)在抛物线型拱壁E、F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？

【正确答案】（1）画直角坐标系xOy见解析，抛物线ADC的函数表达式为：y=﹣（x﹣6）2+10；
（2）两盏灯的水平距离EF是4米．

【详解】试题分析：
（1）按照题中要求画出对应的坐标系；则由题意可得抛物线ADC的顶点坐标为（6，10），A点坐标为（0，4），由此即可用“待定系数法”求出抛物线的解析式；
（2）在（1）中所求的抛物线的解析式中，由可得对应的一元二次方程，解方程即可得到点E、F的横坐标，由此即可求得EF的长；
试题解析：
解：（1）画出直角坐标系xOy，如图：

由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为（6，10），A点坐标为（0，4），
可设抛物线ADC的函数表达式为y=a（x﹣6）2+10，
将x=0，y=4代入得：a=，
∴抛物线ADC的函数表达式为：y=（x﹣6）2+10．
（2）由y=8得：（x﹣6）2+10=8，
解得：x1=6+，x2=6﹣，
则EF=x1﹣x2=，即两盏灯的水平距离EF是米．
26. 如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=，求阴影部分的面积．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）S阴影部分=π﹣．

【详解】试题分析：
（1）如图1，由点O是等边△ABC的外心可证得∠1=∠2=30°，由圆周角定理可得：∠5=∠1=30°，∠6=∠2=30°，由OB=OC可得∠3=∠2=30°，BC=AC可用“ASA”证得△BOC≌△CDA；
（2）如图2，过点O作OH⊥AB于点H，则由此可得：BH=AB=，∠OHB=90°，设OB=，则由∠1=30°可得OH=，在Rt△OHB中由勾股定理建立方程，解方程即可求得；由OB=OA可得∠OAB=∠1=30°，从而可得∠AOB=120°，这样由S阴影 =S扇形AOB-S△AOB即可求出阴影部分的面积了.
试题解析：
（1）证明：如图1所示：

∵O是等边△ABC的外心，
∴BD垂直平分AC
∴∠1=∠2=30°，
∴∠1=∠5=30°，∠2=∠6=30°
∵BO=CO
∴∠2=∠3=30°
∵BC=AC
∴△BOC≌△CDA（SAS）；
（2）如图2所示，作OH⊥AB于H，
∴BH=AB=，∠OHB=90°，
设OB=，∵∠1=30°，
∴OH=，
∴在Rt△OHB中，由勾股定理可得：，解得：，则OH=.
∵∠1=30°，OA=OB，
∴∠BAO=∠1=30°，
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°，
∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB．

点睛：本题第2小题中，阴影部分是个“弓形”，弓形的面积=对应的扇形面积-对应的三角形的面积，因此，通过作OH⊥AB于H，已知条件求得半径、圆心角∠AOB的度数即OH的长是解决本题的关键.
27. 如图，在直角坐标系中，直线y=x-3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线点A(-1，0)，B，C三点,点F在y轴负半轴上，OF=OA.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在象限的抛物线上存在一点P，满足S△ABC=S△PBC，请求出点P的坐标；
(3)点D是直线BC的下方的抛物线上的一个动点，过D点作DE∥y轴，交直线BC于点E，①当四边形CDEF为平行四边形时，求D点的坐标；
②是否存在点D，使CE与DF互相垂直平分？若存在，请求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】(1) y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3;
(2) P（4,5）
（3）①D(1,-4)或（2,-3），
②存在D（2,-3），使CE与DF互相垂直平分,理由见解析.

【详解】试题分析：（1）先根据直线解析式确定出B 、C的坐标，然后利用待定系数法即可得；
（2）过点A作AP∥BC，交抛物线于P点，P点满足S△ABC=S△PBC，求出AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立组成方程组，求解即可得；
（3）根据点E在BC上，点D在抛物线上，设D（x，x2-2x-3），E(x，x-3)，则DE= -x2+3x，
①四边形CDEF平行四边形可知DE=CF=2，解方程即可得；
②当四边形CDEF为正方形时，才有CE与DF互相垂直平分，据此即可得.
试题解析：(1)由直线y=x-3与坐标轴交于B、C两点，则有B（3，0），C（0，-3），
由题意设抛物线得解析式为y=a(x+1)(x-3)，
将C点坐标代入，得-3=-3a，
解得，a=1，
∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3；
(2)过点A作AP∥BC，交抛物线于P点，P点满足S△ABC=S△PBC，
设直线AP的解析式为y=x+b，则0=-1+b，∴b=1，
∴直线AP的解析式为y=x+1，
由解得，
∴P（4，5）；
（3）易得F（0，-1），CF=2，
设D（x，x2-2x-3），E(x，x-3)，则DE=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x，
①令-x2+3x=2，解得x3=1，x4=2，
D(1，-4)或（2，-3），
②存在，
当D（2，-3）时E（2，-1），EF⊥CF，且EF=CF，
∴平行四边形CDEF为正方形，
∴CE与DF互相垂直平分．
∴存在D（2，-3），使CE与DF互相垂直平分.

本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定法，解二元二次方程，平行四边形的判定与性质，正方形的判定等，能根据题意确定适当的方法进行解题是关键.


























2022-2023学年湖南省长沙市九年级下册数学月考专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 下列四个实数中是无理数的是（ ）
A. π B. C. D. 0
2. 如图图形中，是轴对称图形又是对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3. 已知空气的单位体积质量为1.29×10﹣3克/厘米3，1.29×10﹣3用小数表示为（　　）
A. 000129 B. 0.0129 C. ﹣0.00129 D. 0.000129
4. 下列计算正确是（　　）
A. a2+a2=2a4 B. （2a）2=4a C. D.
5. 点P（4，﹣3）到轴的距离是（ ）
A. 4 B. 3 C. ﹣3 D. 5
6. 我区某校初三开展“光盘行动”宣传，各班级参加该的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（　　）

A. 平均数是60 B. 中位数是59 C. 极差是40 D. 众数是58
7. 抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A. （1，3） B. （﹣1，﹣3） C. （1，﹣3） D. （﹣1，3）
8. 没有等式4﹣2x≥0解集在数轴上表示为（　　）
A. B.
C. D.
9. 已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程 的根，则此三角形的周长为（   ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14
10. 若ab＞0，则函数y=ax+b与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
11. 如图，矩形的对角线与相交于点，，则等于
（ ）

A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3
12. 已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论：
①；②；③；④，
其中正确结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13. 因式分解：9x﹣x2=_____．
14. 已知：，那么a+b的值为______．
15. 如图，点A为反比例函数图象上一点，过A做轴于点B，连接OA，△ABO的面积为4，则=___________．

16. 如图，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，则DE:BC= ．

17. 某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰ ，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m．

18. 如图，在平面直角坐标系中，点A在象限，⊙A与轴相切于B，与轴交于C（0，1）、D（0，4）两点，则点A的坐标是____________．

三、解 答 题（19、20每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共66分）
19. 计算：．
20. 求值：先化简再求值，其中，．
21. 新交通法规实施后，驾校的考试规则也发生了变化，考试共设四个科目：科目1、科目2、科目3和科目4，以下简记为：1、2、3、4．四个科目考试在同一地点进行，但每个学员每次只能够参加一个科目考试．在某次考试中，对该考点各科目考试人数进行了统计，并根据结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请图中所给信息解答下列问题：
（1）本次被的学员共有 人；在被者中参加“科目3”测试的有 人；将条形统计图补充完整；

（2）该考点参加“科目4”考试的学员里有3位是教师，某新闻部门准备在该考点参加“科目4”考试的学员中随机选出2位，他们对新规的了解情况，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位学员恰好都是教师的概率．
22. 为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（没有考虑其他因素）．
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略没有计），并说明理由．
（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）

23. 某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．
（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？
（2）该花店甲种花卉每盆可获利6元，乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量没有少于甲种花卉数量的6倍，且没有超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进？在所有的购进中，哪种获利？利润是多少元？
24. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA=∠OBC．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求tan∠BAD．
25. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数和是没有是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数的边界值是2，且这个函数的值也是2，求的取值范围；
（3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？
26. 如图，直线y=﹣x﹣1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx（a≠0）原点和点C（4，0），顶点D在直线AB上．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、C、D为顶点的三角形与△ACD相似．若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）点Q是x轴上方的抛物线上的一个动点，若cos∠OQC=，⊙M点O，C，Q，求过C点且与⊙M相切的直线解析式．


2022-2023学年湖南省长沙市九年级下册数学月考专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 下列四个实数中是无理数的是（ ）
A. π B. C. D. 0
【正确答案】A

【详解】试题解析：是无理数.
故选A.
点睛：无理数就是无限没有循环小数.
2. 如图图形中，是轴对称图形又是对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】试题解析：A、是轴对称图形．没有是对称图形，因为找没有到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合；即没有满足对称图形的定义，故此选项没有合题意；
B、是轴对称图形．没有是对称图形，因为找没有到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合；即没有满足对称图形的定义，故此选项没有合题意；
C、没有是轴对称图形，因为找没有到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即没有满足轴对称图形的定义．是对称图形，故此选项没有合题意；
D、是轴对称图形，又是对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
3. 已知空气的单位体积质量为1.29×10﹣3克/厘米3，1.29×10﹣3用小数表示为（　　）
A. 0.00129 B. 0.0129 C. ﹣0.00129 D. 0.000129
【正确答案】A

【分析】略
【详解】试题解析： 1.29×10−3 用小数表示0.00129，
故选A．
略
4. 下列计算正确的是（　　）
A. a2+a2=2a4 B. （2a）2=4a C. D.
【正确答案】C

【详解】解：A、 故A选项错误；
B、 故B选项错误；
C、，此C选项正确；
D、，故D选项错误．
故选C．
5. 点P（4，﹣3）到轴的距离是（ ）
A. 4 B. 3 C. ﹣3 D. 5
【正确答案】B

【详解】试题解析：点P(4,−3)到x轴的距离是3.
故选B.
6. 我区某校初三开展“光盘行动”宣传，各班级参加该的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（　　）

A. 平均数是60 B. 中位数是59 C. 极差是40 D. 众数是58
【正确答案】B

【详解】试题分析：A．平均数=（52+60+62+54+58+62）÷6=58；故此选项错误；
B．∵6个数据按大小排列后为：52，54，58，60，62，62；
∴中位数为：（60+58）÷2=59；故此选项正确；
C．极差是62-52=10，故此选项错误；
D.62出现了2次，至多，∴众数为62，故此选项错误；
故选B．
考点：1.众数；2.算术平均数；3.中位数；4.极差．
7. 抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A. （1，3） B. （﹣1，﹣3） C. （1，﹣3） D. （﹣1，3）
【正确答案】B

【详解】试题解析：因为抛物线是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知该抛物线的顶点坐标是,故选B．
8. 没有等式4﹣2x≥0的解集在数轴上表示为（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】解：移项得，
系数化为1得，
在数轴上表示为：

故选D．
9. 已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程 的根，则此三角形的周长为（   ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14
【正确答案】C

【分析】首先用公式法求出方程的两个实数根，进而利用三角形三边关系定理将没有合题意的解舍去，再求周长即可．
【详解】解：x2-6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
当第三边的长为2时，2+4=6，没有能构成三角形，故此种情况没有成立，
当第三边的长为4时，6-4＜4＜6+4，符合三角形三边关系，此时三角形的周长为：4+4+6=14．
故选C．
本题主要考查了求三角形的周长，没有能盲目地将三边长相加，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把没有符合题意的舍去，难度适中．
10. 若ab＞0，则函数y=ax+b与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【详解】试题解析：∵
∴同号，
当时，直线、二、三象限，双曲线、三象限，
当时，直线第二、三、四象限，双曲线第二、四象限，
A、图中直线直线、四、三象限，双曲线、三象限，故A选项错误；
B、图中直线原点，故B选项错误；
C、图中直线、二、三象限，双曲线、三象限，故C选项正确；
D、图中直线第二、一、四象限，双曲线第二、四象限，故D选项错误．
故选C．
11. 如图，矩形的对角线与相交于点，，则等于
（ ）

A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3
【正确答案】B

【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=2AB=8，

故选B
点睛：平行四边形的对角线互相平分.
12. 已知二次函数图象如图，分析下列四个结论：
①；②；③；④，
其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B

【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与轴交点的位置、对称轴即可确定、、的符号，即得的符号；②由抛物线与轴有两个交点判断即可；③分别比较当时、时，的取值，然后解没有等式组可得，即；又因为，所以．故错误；④将代入抛物线解析式得到，再将代入抛物线解析式得到，两个没有等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到，即可求解．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴左侧，
∴， ，，
∴与同号，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故②正确；
③当，时，即 （1），
当时，，即 （2），
（1）（2）得：，
即，
又，
．故③错误；
④时，，时，，
，
即，
，故④正确．
综上所述，正确的结论有②④，共2个．
故选：B
本题考查了二次函数图象与系数的关系．理解二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．
二、填 空 题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13. 因式分解：9x﹣x2=_____．
【正确答案】x（9﹣x）

【详解】试题解析：
故答案为
点睛：常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法.
14. 已知：，那么a+b的值为______．
【正确答案】﹣3．

【详解】试题解析：


因此
故答案为
15. 如图，点A为反比例函数图象上一点，过A做轴于点B，连接OA，△ABO的面积为4，则=___________．

【正确答案】-8

【详解】试题解析：根据题意可知：
又反比例函数的图象位于第二象限，k<0，
则k=−8.
故答案为−8.
16. 如图，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，则DE:BC= ．

【正确答案】2:5

【详解】试题解析：∵AE:EB=2:3，
∴AE:AB=2:5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，

故答案为2:5.
点睛:相似三角形的对应边成比例.
17. 某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰ ，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m．

【正确答案】100

【详解】试题分析：根据坡度可得：BC：AB=1：2，根据BC=50m，则AB=100m．
考点：三角函数的应用
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A在象限，⊙A与轴相切于B，与轴交于C（0，1）、D（0，4）两点，则点A的坐标是____________．

【正确答案】

【分析】可先作一条辅助线：过点A作AM⊥CD．根据坐标的变换公式可得出DM、CM和AM的长，再根据图形即可判断出A点的坐标．
【详解】解：过点A作AM⊥CD

∵A与x轴相切于点B，与y轴交于C(0，1)，D(0，4)两点
∴OC=1，CD=3，DM=CM=1.5
∴OM=AB=2.5，
∴圆的半径R=2.5，
∴AC=2.5
∴AM=，
即点A的坐标是(2，)．
本题考查了勾股定理，解决此题的关键是合理的运用点坐标的特点变成线段的长度．
三、解 答 题（19、20每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共66分）
19. 计算：．
【正确答案】．

【详解】试题分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.
试题解析：原式
20. 求值：先化简再求值，其中，．
【正确答案】x2-2y2，

【分析】原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
=x2-4xy+4x2-y2-4x2+4xy-y2
=x2-2y2
将，代入，
原式==．
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 新的交通法规实施后，驾校的考试规则也发生了变化，考试共设四个科目：科目1、科目2、科目3和科目4，以下简记为：1、2、3、4．四个科目考试在同一地点进行，但每个学员每次只能够参加一个科目考试．在某次考试中，对该考点各科目考试人数进行了统计，并根据结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请图中所给信息解答下列问题：
（1）本次被的学员共有 人；在被者中参加“科目3”测试的有 人；将条形统计图补充完整；

（2）该考点参加“科目4”考试的学员里有3位是教师，某新闻部门准备在该考点参加“科目4”考试的学员中随机选出2位，他们对新规的了解情况，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位学员恰好都是教师的概率．
【正确答案】（1）50，10，图见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）根据选择科目1的人数是15，所占的百分比是30%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得科目4的人数，进而求得科目3的人数，补全直方图；
（2）利用树状图法即可列举出出现的所有情况，然后利用概率公式即可求解．
试题解析：
（1）的总人数是：15÷30%=50（人），参加科目4的人数是：50×10%=5（人），
则被者中参加“科目3”测试的有：50﹣15﹣20﹣5=10（人）．
故答案是：50，10．
补充图，如下图：

（2）三位教师用表示，另两位学员用表示．

则共有20种情况，所选两位学员恰好都是教师的有6种情况，则概率是：．
22. 为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（没有考虑其他因素）．
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略没有计），并说明理由．
（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）

【正确答案】该车大灯的设计没有能满足最小距离的要求，理由详见解析．

【详解】试题分析：（1）在直角中，根据三角函数的定义，若 则 在中利用三角函数即可列方程求解；
（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与的长进行比较即可．
试题解析：
（1）根据题意及图知：


在中，
∴
可设 则
在中，
∴,
即：,
解得：
∴，
∴；
，
， ,
∴该车大灯的设计没有能满足最小距离的要求．
23. 某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．
（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？
（2）该花店甲种花卉每盆可获利6元，乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量没有少于甲种花卉数量的6倍，且没有超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进？在所有的购进中，哪种获利？利润是多少元？
【正确答案】（1）购进甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆8元；（2）W=4x+100；（3）该花店共有三种购进，在所有的购进中，购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获利，利润是148元．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元；
（2）根据题意可以写出W与x的函数关系式；
（3）根据题意可以列出相应的没有等式组，从而可以得到有几种购进，哪种获利，利润是多少．
【详解】(1)设购进甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，
解得,
即购进甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆8元；
(2)由题意可得，
W=6x+800−16x8×1，
化简，得
W=4x+100，
即W与x之间的函数关系式是：W=4x+100；
(3)
解得，
故有三种购买，
由W=4x+100可知，W随x的增大而增大，
故当x=12时,800−16x8=76，即购买甲种花卉12盆，一种花卉76盆时，获得利润，此时W=4×12+100=148，
即该花店共有几三种购进，在所有的购进中，购买甲种花卉12盆，一种花卉76盆时，获利，利润是148元.
24. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA=∠OBC．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求tan∠BAD．
【正确答案】（1）详见解析；（2）⊙O的半径为；（3）．

【详解】试题分析：（1）作OF垂直AB于点F，然后根据角平分线的性质定理即可证得OE=OF，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求得，进而求得 设的半径为r，然后根据得到
解关于r的方程即可求得半径；
（3）证得Rt△ODE∽Rt△ADC，根据相似三角形的性质求得，
即可求得， ，解直角三角形即可求得．
试题解析：
(1)证明：如图，作OF垂直AB于点F，

∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC,
又∠OBA=∠OBC，
∴OE=OF，
∴AB为的切线 ；
(2)∵∠C=90∘，AC=3，AB=5，
又D为BC的中点，
∴CD=DB=2，

设⊙O的半径为r，即

∴6+2r+5r=12

∴⊙O的半径为
(3) ，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴Rt△ODE∽Rt△ADC，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
25. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数和是没有是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数的边界值是2，且这个函数的值也是2，求的取值范围；
（3）将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，当在什么范围时，满足？
【正确答案】(1)（x>0)没有是；是，边界为3；(2)， (3)或.

【详解】(1)（x>0)没有是；
是，边界为3；
(2)∵y=-x+1 ，y随x的增大而减小
当x=a时，y= -a+1=2， a= -1，
当x=b时，y= -b+1，

∴；
(3)若m>1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数的值小于-1，此时函数的边界t大于1，与题意没有符，故.
当x=-1时，y=1（-1，1），
当x=0时，ymin=0
都向下平移m个单位
则(-1，1-m)，(0，-m)，
∴或
∴或.

26. 如图，直线y=﹣x﹣1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx（a≠0）原点和点C（4，0），顶点D在直线AB上．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、C、D为顶点的三角形与△ACD相似．若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）点Q是x轴上方的抛物线上的一个动点，若cos∠OQC=，⊙M点O，C，Q，求过C点且与⊙M相切的直线解析式．

【正确答案】（1）y=x2﹣2x （2）存在点 P（2，4），P'（2，﹣）；（3）y=x﹣2

【详解】试题分析：先求出点的坐标，把点的坐标代入抛物线即可求出抛物线的解析式.
分两种情况进行讨论.
在中，用余弦得到设 根据勾股定理求出的值，求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式.
试题解析：
（1）由题知：D点的横坐标为2，
∴，
把代入抛物线： 解之得：
∴抛物线的解析式为：

（2）存在点
设对称轴与轴交于点,
易知：
情况1：点点上方，则
若 则
∴ 解得：,
∴ .
若则
解得：
∴ .
情况2：若P在D点的下方，则没有一个角会为
∴与没有可能相似
综上可知：存在点
（3）、设与轴交于点,连NC交抛物线对称轴于一点，即为圆心M点,


在中，
设
则： 解得：
∴点坐标为（0,8），

设过点且与相切的直线为
则 ,把点代入有：，解得:
∴过点且与相切的直线为 .