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2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正解的选项。）
1. 下列图形中，是对称的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则∠DAE的度数是（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说确的是（ ）
A. 本市明天将有80%的地区降水
B. 本市明天将有80%的时间降水
C. 明天肯定下雨
D. 明天降水的可能性比较大
4. 若关于x一元二次方程ax2+2x﹣=0（a＜0）有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＜﹣2 B. a＞﹣2 C. ﹣2＜a＜0 D. ﹣2≤a＜0
5. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A. 12个单位 B. 10个单位 C. 4个单位 D. 15个单位
6. 在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅挂图，如图所示，设边框的宽为xcm，如果整个挂图的面积是5400cm2 ,那么下列方程符合题意的是（ ）
A. (50-x)(80-x)=5400 B. (50-2x)(80-2x)=5400
C (50+x)(80+x)=5400 D. (50+2x)(80+2x)=5400
7. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
8. 同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）
A. B. C. D.
9. 抛物线y=2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是（ ）
A. x=2 B. x=﹣1 C. x=5 D. x=0
10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A. B. 10 C. D.
二、填 空 题（共6小题，每题4分，满分24分）
11. 点（0，1）关于原点O对称的点是____________．
12. 从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是________．
13. 如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为_______.
14. 已知关于x方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
15. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_________°．
16. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：；；；其中正确结论的序号是______．
三、解 答 题（共9小题，满分86分）
17. 解方程 （1）x2+6x+1=0 （2）（x﹣1）2=2（1﹣x）
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
19. 一个没有透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色没有同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．
20. 如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．
21. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
22. 我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．每天量（y件）与单价x（元/件）的函数关系式是y=﹣10x+700
（1）当单价定为多少时，试销该工艺品每天获得的利润？利润是多少？
（2）市物价部门规定，该工艺品单价没有能超过35元/件，那么单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润？利润是多少？
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB边上一点，⊙O交AB于点E，F两点，BC切⊙O于点D，且CD=EF=1，
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）求图中阴影部分的面积.
24. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
25. 如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH.
（1）如图1，当∠DHC=90°时，求的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE.求证：CE平分∠AEB.
（3）现将图1中的△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°<α<90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否还成立，并证明.
2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正解的选项。）
1. 下列图形中，是对称的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由对称图形的定义：“把一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身重合的图形叫做对称图形”分析可知，四个选项中，A、B、D选项中的图形都没有是对称图形，只有C选项中的图形是对称图形.
故选C.
2. 如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则∠DAE的度数是（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【正确答案】B
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∵△ACE是由△ABD绕点A旋转得到的，
∴∠DAE=∠BAC=60°.
故选B.
3. 气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说确的是（ ）
A. 本市明天将有80%的地区降水
B. 本市明天将有80%的时间降水
C. 明天肯定下雨
D. 明天降水可能性比较大
【正确答案】D
【详解】由概率的意义可知，气象台预报“本市明天降水概率是”，是指明天下雨的可能性比较大.
故选D.
4. 若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣=0（a＜0）有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＜﹣2 B. a＞﹣2 C. ﹣2＜a＜0 D. ﹣2≤a＜0
【正确答案】C
【详解】∵关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，
∴△=，即，解得：，
又∵，
∴的取值范围是.
故选C.
点睛：（1）若一元二次方程有两个没有相等的实数根，则根的判别式△=；（2）本题得到的取值范围时，没有要忽略了题目中的条件；
5. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A. 12个单位 B. 10个单位 C. 4个单位 D. 15个单位
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”．从而得到EF即可是直径，根据勾股定理计算即可．
连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是直径，
∴EF====10．
故选B．
考点：1.圆周角定理；2.勾股定理．
6. 在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅挂图，如图所示，设边框的宽为xcm，如果整个挂图的面积是5400cm2 ,那么下列方程符合题意的是（ ）
A. (50-x)(80-x)=5400 B. (50-2x)(80-2x)=5400
C (50+x)(80+x)=5400 D. (50+2x)(80+2x)=5400
【正确答案】D
【详解】由题意可知当四周镶上一条宽为xcm的边框后，整个挂图的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，则这个挂图的面积可表达为(80+2x)(50+2x)，镶好边框后的挂图面积为5400cm2，可得方程为：(80+2x)(50+2x)=5400.
故选D.
7. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
【正确答案】B
【详解】试题分析：首先根据圆的周长公式求得圆锥的底面周长=6π，然后根据圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长等于底面周长，根据弧长公式即可求得母线长，可得母线长为6．
故选B．
考点：圆锥的计算
8. 同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】根据题意画出图形,设出圆的半径,再根据垂径定理,由正多边形及直角三角形的性质求解即可.
9. 抛物线y=2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是（ ）
A. x=2 B. x=﹣1 C. x=5 D. x=0
【正确答案】B
【详解】∵将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式为：，
∴新抛物线的对称轴为直线.
故选B.
点睛：（1）抛物线的对称轴是直线：；（2）将抛物线向左（或右）平移m个单位长度，再向上（或向下）平移n个单位长度所得新抛物线的解析式为：，(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减).
10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A. B. 10 C. D.
【正确答案】C
【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C．
二、填 空 题（共6小题，每题4分，满分24分）
11. 点（0，1）关于原点O对称的点是____________．
【正确答案】(0,-1)
【详解】点（0，1）关于原点的对称点的坐标是（0，-1）.
故答案为（0，-1）.
12. 从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是________．
【正确答案】
【详解】从实数-1、-2、1中随机选取两个数共有以下三种等可能情况：①-1，-2；②-1，1；③-2，1；其中乘积为负数的是②、③两种，
∴从实数-1，-2，1中随机选取两个数，积为负数的概率是.
故答案为.
13. 如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为_______.
【正确答案】
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，
∴，
∴S阴影=S扇形==．
故．
14. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
【正确答案】﹣2．
【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣6，x1x2=k，
∵，∴=3，
∴k=﹣2．
故答案是﹣2．
考点：根与系数的关系．
15. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_________°．
【正确答案】215．
【详解】解：连接CE
∵五边形ABCDE为内接五边形
∴四边形ABCE为内接四边形
∴∠B+∠AEC=180°
又∵∠CAD＝35
∴∠CED＝35°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠B+∠E=∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215°
故215．
本题考查正多边形和圆．
16. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：；；；其中正确结论的序号是______．
【正确答案】①③④
【详解】（1）∵抛物线开口向下，
∴，
又∵对称轴在轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴ ，
∴，即①正确；
（2）∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
又∵，
∴，即②错误；
（3）∵点C的坐标为，且OA=OC，
∴点A的坐标为，
把点A的坐标代入解析式得：，
∵，
∴，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为，则OA=，OB=，
∵抛物线与轴交于A、B两点，
∴是方程的两根，
∴，
∴OA·OB=.即④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④.
三、解 答 题（共9小题，满分86分）
17 解方程 （1）x2+6x+1=0 （2）（x﹣1）2=2（1﹣x）
【正确答案】(1)x=-3+ 2,x=-3-2；(2)x=1，x=-1.
【详解】试题分析：
（1）根据方程特点，用“公式法”或“配方法”解答本题即可；
（2）根据方程特点，用“因式分解法”解答本题即可.
试题解析：
（1）∵在方程中，，
∴△=，
∴，
∴.
（2）原方程移项得：，
∴，
∴或，
解得.
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
【正确答案】（1）B1的坐标是(3,3)；（2）C2的坐标是(1,2).
【详解】试题分析：根据题目要求画出图形即可.
试题解析：
B1(3， 3)；(2) C2(－3，－4).
19. 一个没有透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色没有同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．
【正确答案】（1）概率为；（2）概率为；（3）n=4．
【分析】（1）直接利用列举法就可以得到答案；
（2）利用画树状图的方法可以得到两次摸出的球恰好颜色没有同的概率；
（3）利用概率计算公式列出等式，求解即可．
【详解】（1）∵一个没有透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，
∴摸出1个球是白球的概率为；
（2）画树状图得：
∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球恰好颜色没有同的有4种，
∴两次摸出的球恰好颜色没有同的概率为；
（3）由题意得：，
解得：n=4．
经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，
∴n=4．
20. 如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．
【正确答案】5米
【详解】试题分析：
设半径OD=r，则由题意易得OF=OE-EF=r-2；由OE⊥CD，根据“垂径定理”可得DF=CD=4，这样在Rt△ODF中由勾股定理建立方程就可解得r.
试题解析：
设⊙O的半径为r米，则OF=(r-2)米,
∵OE⊥CD
∴ DF=CD=4
在Rt△OFD中，由勾股定理可得：(r-2)2+42=r2，
解得：r=5，
∴ CD所在⊙O的半径DO为5米.
21. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
【正确答案】（1）y=﹣；y=﹣x+2（2）4.
【详解】试题分析：（1）根据 S△ABO=，即，所以 ，又因为图象在二四象限，所以xy=﹣3即 k=-3，从而求出反比例函数解析式将 k=-3代入 ，求出函数解析式；
（2）将两个函数关系式 y=﹣和y=﹣x +2联立，解这个方程组，可求出两个交点A，C的坐标；
（3）将x=0代入 y=﹣x +2中，求出D点坐标，根据△AOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可.
解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0
则S△ABO=•|OB|•|AB|=•（﹣x）•y=
∴xy=﹣3
又∵y= ∴k=﹣3
∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x +2
（2）A、C两点坐标满足
解得
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1）
（3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．
∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2）
点睛：本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与函数的综合，割补法求没有规则图形的面积.将已知点的坐标代入解析式，求出未知系数，从而求出函数解析式；将两个函数关系式联立，解所得到的方程组，可求出函数的交点坐标；求没有规则图形的面积，一般采用割或补的方式求解.
22. 我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．每天量（y件）与单价x（元/件）的函数关系式是y=﹣10x+700
（1）当单价定为多少时，试销该工艺品每天获得的利润？利润是多少？
（2）市物价部门规定，该工艺品单价没有能超过35元/件，那么单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润？利润是多少？
【正确答案】（1）单价定为40元/件时，利润，利润为每天9000元；（2）当单价定为35元/件时，每天所获利润，利润为每天8750元.
【详解】试题分析：
（1）设每天获得利润为w，根据总利润=单件商品利润×商品量可得，w=(x-10)(-10x+700)，整理、配方即可求得当x为多少时，w有值及值是多少；
（2）估计（1）中所得配方后的w与x间的函数关系式，即可求得本问的答案.
试题解析：
(1)设利润为w元，根据题意可得：
W=（x-10)(-10x+700)=-10x2+800x-7000=-10(x-40)2+9000，
∴当x=40时，W=9000（元）；
答：当价定为40元/件时，每天获利，利润为每天9000元；
（2）∵a=-10<0
∴在W=-10(x-40)2+9000中，当x<40时，W随着x的增大而增大，
又∵
∴当x=35时，W=-10×(35-40)2+9000=8750(元）.
答：当单价定为35元/件时，每天所获利润，利润为8750元.
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB边上一点，⊙O交AB于点E，F两点，BC切⊙O于点D，且CD=EF=1，
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）求图中阴影部分的面积.
【正确答案】（1）见解析；（2）1﹣π．
【详解】试题分析：
（1）连接OD，过点O作OH⊥AC于点H，易证四边形ODCH是矩形，由此可得OH=CD=EF=OE，从而可得AC是⊙O的切线；
（2）由（1）可知∠DOH=90°，OH=EF=1，由此根据：S阴影=S正方形ODCH-S扇形ODH即可计算出阴影部分的面积.
试题解析：
（1）连接OD，过点O作OH⊥AC于点H，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC．
∵∠C=90°，
∴∠OHC=∠ODC=∠C=90°，
∴四边形OHCD是矩形．
∵CD=EF，
∴OH=EF=OE．
∵OH⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）由（1）可知，四边形ODCH是正方形，
∴∠DOH=90°，OH=CD=EF=1，
∴S阴影=S正方形ODCH-S扇形ODH=1×1﹣=1﹣π．
24. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）当m=时，线段MN取值，值为．（3）点P的坐标为（2，）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．
【分析】（1）把点B、C的坐标代入列出方程组，解方程组求得的值即可得到二次函数的解析式；
（2）由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，设点M的横坐标为m，由此可用含m的代数式表示出点M、N的纵坐标，从而可用含m的式子表达出MN的长度，由点M在轴下方可求得m的取值范围为：，由此即可求出线段MN的值；
（3）由题意（2）可得点N的坐标，由点P在抛物线对称轴上，可设其坐标为(2，n)，点B和点N的坐标即可表达出PB、PN、BN的长度，再分PB=PN、PB=BN、PN=BN三种情况讨论计算即可求得符合题意的点P的坐标.
【详解】解：
（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，
得，得，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
（2）由题意可设点M的坐标为（m，m2-4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，
把点（3，0）代入y=kx+3，中，
得：0=3k+3，解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，-m+3），
∴MN==-m+3-(m2-4m+3)=-（m-）2+.
∴当m=时，MN=.
（3）由（2）可得：当m=时，点N的坐标为，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴可设点P坐标为（2，n）,
∴PB=，PN= ,
BN== ,
若为等腰三角形，则存在以下三种情况：
①当时，即=解得： ，此时点的坐标为(2，)；
②当时，即= ，解得： ，
此时点的坐标为(2，-)或(2，)；
③当时，即=，解得： ，
此时点的坐标为(2,)或(2,)．
综上可知：在抛物线的对称轴上存在点，使是等腰三角形，点P的坐标为(2，),(2，-),(2，),(2,),(2,)．
点睛：解本题第2小题时，当利用设出的点P的坐标和已知的点B、N的坐标表达出线段PB、PN和BN的长度时，需注意题目中没有指明△PBN为等腰三角形时的底和腰，因此要分：（1）PB=PN；（2）PB=BN；（3）PN=BN三种情况分别讨论计算，没有要忽略了其中任何一种情况，避免丢解.
25. 如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH.
（1）如图1，当∠DHC=90°时，求的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE.求证：CE平分∠AEB.
（3）现将图1中的△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°<α<90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否还成立，并证明.
【正确答案】（1）2；（2）见解析
【详解】试题分析：
（1）由已知易得∠DCH=60°，∠DHC=90°，可得∠CDH=30°，从而可得CD=2CH，AC=CH，BC=CD，即可得到的比值；
（2）如图1，由点C和点E关于DH对称，易得EH=CH=AH，点E、H、C三点共线，从而可得∠AEC=∠EAH=∠AHC=30°；由（1）可得BC=2CH=EC，从而可得∠BEC=∠EBC∠ACE=30°；这样可得∠AEC=∠BEC，即可得到EC平分∠AEB的结论；
（3）如图2，由点C和点E关于DH对称，易得EH=CH=AH，由此可得点A、E、C三点都在以H为圆心，AH为半径的圆上，则由圆周角定理可得∠AEC=∠AHC=30°；同理，由点C和点E关于DH对称，可得DE=DC=DB，由此可得点E、C、B都在以D为圆心，DC为半径的圆上，由此可得∠BEC=∠BDC=30°，即可得到∠AEC=∠BEC，即可得到EC平分∠AEB的结论.
试题解析：
（1）∵△HAC与△DCB都是等边三角形，
∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，
∴∠HCD=180°﹣∠ACH﹣∠DCB=60°，
∵∠DHC=90°，
∴∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，
∴CD=2CH，
∴BC=2AC，
∴=2；
（2）如图1，由点C和点E关于DH对称可得：∠EHD=∠DHC=90°，EH=HC，
∴E、H、C三点共线，
∵AH=HC，
∴EH=AH，
∴∠AEC=∠EAH=∠AHC=30°，
由（1）可得BC=2CH=EC，
∴∠BEC=∠ACE=30°，
∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；
（3）结论仍然正确，理由如下：
如图2，由对称性可知：HC=HE，
又∵AH=HC，
∴HC=HA=HE，
∵A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，
∴∠AEC=∠AHC=30°，
同理可得，∠BEC=∠BDC=30°，
∴∠AEC=∠BEC，
∴EC平分∠AEB．
点睛：解本题第3小题时，要点是能够由已知条件通过分析发现：（1）HE=HA=HC，从而得到点A、E、C三点都在以H为圆心，AH为半径的圆上；（2）DE=DC=DB，从而得到点E、C、B都在以D为圆心，DC为半径的圆上；由此利用“圆周角定理”即可证得∠AEC=∠AHC=30°，∠BEC=∠BDC=30°，这样就可证得结论EC平分∠AEB了.
2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选题题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（ ）
A. B. x3-x2+40=0 C. D. 3x3-2xy+y2=0
2. 方程的解是( ).
A. 2 B. -2或1 C. －1 D. 2或－1
3. 若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. p＝1 B. p＞0 C. p≠0 D. p为任意实数
4. 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 适合解析式y=-x2+1的一对值是（ ）
A. (1，0) B. (0，0) C. (0，-1) D. (1，1)
6. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（ ）
A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
9. 我市企业退休人员王大爷2015年的工资是每月2100元，连续增长两年后,2017年王大爷
的工资是每月2541元，若设这两年平均每年工资的增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 2100(1+x) =2541 B. 2541(1-x)2=2100
C. 2100(1+x)2=2541 D. 2541(1-x2) =2100
10. 下列命题：
①若a+b+c=0，则b2-4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根；
③若b2-4ac＞0，则二次函数y=ax2+bc+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根．
其中正确的是
A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ③④
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，将函数y=﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是_____．
12. 若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则m＝________．
13. 若，则的值是_________．
14. 在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ___________．
15. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．
16. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或没有等式：①=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.正确的序号是______________.
三、简答题（本大题共10小题，共92题）
17. 用适当方法解下列方程：
（1）x2-7x+6=0； （2）（5x-1）2=3（5x-1）；
（3）2x2-2x+3=0.
18. 如图，二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知函数y=kx+b的图象该二次函数图象上点A(1，0)及点B．
(1)求二次函数与函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x﹣2)2+m的x的取值范围．
19. 某种电脑传播非常快，如果一台电脑被，两轮后就会有81台电脑被．请你用学过知识分析，每轮中平均一台电脑会几台电脑？若得没有到有效，3轮后，被的电脑会没有会超过700台？
20. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
21. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
22. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比是，如果要使彩条所占的面积是图案的面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
23. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
24. 某商场以每件42元的购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的量t（件），与每件的价x（元/件）可看成是函数关系：t=-3x+204
（1）写出商场卖这种服装每天利润与每件的价x之间的函数关系式（每天的利润是指所卖出服装的价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得的利润，每件的价定为多少最为合适；利润为多少？
25. 随着人民生活水平的没有断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2008年底拥有家庭轿车64辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
（1） 若该小区2008年底2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，按2010年的增长率求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？
（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定15万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量没有少于室内车位的2倍，但没有超过室内车位的2.5倍，求该小区至多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的．
26. 如图，已知抛物线对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.
（1）若直线、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选题题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（ ）
A. B. x3-x2+40=0 C. D. 3x3-2xy+y2=0
【正确答案】A
【详解】试题分析：A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、是一元三次方程，故此选项错误；
C、是分式方程，故此选项错误；
D、二元三次方程，故此选项错误．
故选A．
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，应熟记只含有一个未知数，并且未知数的次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2. 方程的解是( ).
A. 2 B. -2或1 C. －1 D. 2或－1
【正确答案】D
【详解】试题分析：(x－2)(x+1)=0，解得：x=2或－1.
考点：解一元二次方程.
3. 若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. p＝1 B. p＞0 C. p≠0 D. p为任意实数
【正确答案】C
【详解】根据一元二次方程的定义，得p≠0.故选C.
4. 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：A、当m＝1时，(m－1)2＝0，函数y＝(m－1)2x2没有是二次函数；
B、当m＝－1时，(m＋1)2＝0，函数y＝(m＋1)2x2没有是二次函数；
C、无论m取何值，m2＋1≠0，所以函数y＝(m2＋1)x2一定是二次函数；
D、当m＝1或－1时，m2－1＝0，函数y＝(m2－1)x2没有是二次函数．
故选C．
点睛：判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数没有为0这个关键条件．
5. 适合解析式y=-x2+1的一对值是（ ）
A. (1，0) B. (0，0) C. (0，-1) D. (1，1)
【正确答案】A
【详解】试题分析：当x＝1时，y＝0，故A适合解析式，D没有适合解析式；
当x＝0时，y＝1，故B、C没有适合解析式．
故选A．
6. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵，∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称，故，故选D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
7. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的没有等式即可．
【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选：C．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8. 要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（ ）
A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【正确答案】D
【分析】根据顶点坐标的变化可以确定选项.
【详解】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1,所以新抛物线的顶点坐标为（1，-1），
∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．
故选D．
本题考查了二次函数的图象和性质，熟记平移规律和顶点坐标是解题关键.
9. 我市企业退休人员王大爷2015年的工资是每月2100元，连续增长两年后,2017年王大爷
的工资是每月2541元，若设这两年平均每年工资的增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 2100(1+x) =2541 B. 2541(1-x)2=2100
C. 2100(1+x)2=2541 D. 2541(1-x2) =2100
【正确答案】C
【详解】试题解析：设这两年平均增长率为x，根据题意得：
故选C.
10. 下列命题：
①若a+b+c=0，则b2-4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根；
③若b2-4ac＞0，则二次函数y=ax2+bc+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根．
其中正确的是
A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ③④
【正确答案】C
【详解】试题分析：解：①∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=（a-c）2≥0，故错误；
②∵b=2a+3c，
∴b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4a2+12ac+9c2-4ac=4a2+8ac+9c2=4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根，故正确；
③∵b2-4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个没有同的交点，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3或2，故正确；
④∵b＞a+c，那么设b=2，a=-4，c=-2，
∴b2-4ac=4-32＜0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，故错误．
考点：抛物线及根的判别式应用
点评：本题难度较低，主要考查学生学生对抛物线及根的判别式应用知识点的掌握．此题主要利用了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，将函数y=﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是_____．
【正确答案】y=2（x﹣1）2+5．
【详解】试题分析：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=﹣2x2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=﹣2（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y=﹣2（x﹣1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x﹣1）2+5．
考点：二次函数图象与几何变换．
12. 若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则m＝________．
【正确答案】3
【分析】根据二次函数的定义列出方程，解方程后综合考虑取值即可.
【详解】解：由题意得：
由方程得：m=3或m=-1,
由方程得：m≠0,m≠-1.
所以m=3.
本题考查二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)，解答此类题关键在于注意a≠0.
13. 若，则的值是_________．
【正确答案】±
【详解】∵，
∴，
∴.
14. 在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ___________．
【正确答案】y=(60+2x)(40+2x)
【详解】试题分析：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x，
由矩形的面积公式得
y＝(60＋2x)(40＋2x)．
故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)．
点睛：本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．
15. 三角形每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．
【正确答案】6或10或12
【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算．
【详解】由方程，得=2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，没有符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
故6或10或12
16. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或没有等式：①=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.正确的序号是______________.
【正确答案】①②③④
【详解】试题分析：①由图象可知抛物线顶点纵坐标为－1，所以＝－1，正确；
②设C（0，c），则OC＝|c|，
∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2＋bc＋c＝0，又c≠0，
∴ac＋b＋1＝0，故正确；
③从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0，故正确；
④当x＝－1时y＝a－b＋c，由图象知（－1，a－b＋c）在第二象限，
∴a－b＋c＞0，故正确．
故答案为①②③④．
三、简答题（本大题共10小题，共92题）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2-7x+6=0； （2）（5x-1）2=3（5x-1）；
（3）2x2-2x+3=0.
【正确答案】(1)x1=6,x2=1；(2)x1=,x2=；(3)方程无解.
【详解】试题分析：（1）利用十字相乘法将左边分解因式，然后利用因式分解法解方程；
（2）把方程右边移至左边，提出公因式(5x－1)，利用因式分解法解方程；
（3）利用公式法求解，先计算根的判别式可得△＜0，可得方程无解．
解：（1）(x－6)(x－1)＝0，
x－6＝0或x－1＝0，
x1＝6，x2＝1；
（2）（5x－1)2－3(5x－1)＝0，
(5x－1)(5x－4)＝0，
5x－1＝0或5x－4＝0，
x1＝，x2＝；
（3）∵a＝2，b＝－2，c＝3，
△＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×3＝－24<0
∴此方程无解．
点睛：本题考查了一元二次方程解法，恰当的选择方法是解决此题的关键．若方程中含有公因式或能够利用公式应用因式分解法解方程，若没有能利用因式分解法再考虑使用公式法或其它方法．
18. 如图，二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知函数y=kx+b的图象该二次函数图象上点A(1，0)及点B．
(1)求二次函数与函数解析式；
(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x﹣2)2+m的x的取值范围．
【正确答案】(1)二次函数解析式为y=(x﹣2)2﹣1；函数解析式为y=x﹣1．(2)1≤x≤4．
【分析】(1)将点A(1，0)代入y=(x-2)2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出函数解析式．
(2)根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围．
【详解】解：(1)将点A(1，0)代入y=(x﹣2)2+m得，(1﹣2)2+m=0，解得m=﹣1．
∴二次函数解析式为y=(x﹣2)2﹣1．
当x=0时，y=4﹣1=3，∴C点坐标为(0，3)．
∵二次函数y=(x﹣2)2﹣1的对称轴为x=2， C和B关于对称轴对称，
∴B点坐标(4，3)．
将A(1，0)、B(4，3)代入y=kx+b得，
，解得．
∴函数解析式为y=x﹣1．
(2)∵A、B坐标为(1，0)，(4，3)，
∴当kx+b≥(x﹣2)2+m时，直线y=x﹣1的图象在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上方或相交，此时1≤x≤4．
19. 某种电脑传播非常快，如果一台电脑被，两轮后就会有81台电脑被．请你用学过的知识分析，每轮中平均一台电脑会几台电脑？若得没有到有效，3轮后，被的电脑会没有会超过700台？
【正确答案】每轮中平均1台电脑会8台电脑，3轮后被的电脑会超过700台．
【分析】根据题意可直接设每轮传染x台，从而列出两轮后共计传染数量为台，建立一元二次方程求解即可，求出每轮传染数之后即可判断三轮传染之后的总数，即可得出结论．
【详解】设每轮中平均1台电脑会台电脑．
根据题意可列：，
解得：，（舍去）．
∴3轮后，被得电脑为：．
答：每轮中平均1台电脑会8台电脑，3轮后被的电脑会超过700台．
本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意准确列出一元二次方程是解题关键．
20. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
【正确答案】见解析．
【分析】根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可．
【详解】根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．
如图所示：点P就是发射塔修建的位置．
本题考查了作图与角平分线以及垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线以及垂直平分线的性质并且能根据题意作图．
21. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
【正确答案】证明见解析.
【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证.
【详解】
证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中,
∴△BCF≌△CDE(AAS)，
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE.
22. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比是，如果要使彩条所占的面积是图案的面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
【正确答案】
【详解】试题分析：设每个横彩条的宽为2xcm，则每个竖彩条的宽为3xcm．求出剩余部分的面积，根据剩余部分的面积是原图案面积的列方程求解即可．
试题解析：
解:设每个横彩条的宽为2xcm，则每个竖彩条的宽为3xcm．
∴剩余部分的宽为：(20－6x)cm，剩余部分的长为：(30－4x)cm，
∴剩余部分矩形的面积为：(20－6x)(30－4x)＝24x2－260x＋600（cm2）.
根据题意，得24x2－260x＋600＝(1－)×20×30.
整理，得6x2－65x＋50＝0.
解方程，得x1＝，x2＝10，
∵x2＝10没有合题意，舍去.
∴x＝.
则2x＝，3x＝．
答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm、cm.
点睛：本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，根据题、图，正确的列出方程是解决此题的关键．解出的x要判断其是否符合题意，舍去没有合题意的x的值．
23. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
【正确答案】汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米.
【分析】试题分析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5．
在Rt△BCD中，∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5．
∴AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米．
24. 某商场以每件42元的购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的量t（件），与每件的价x（元/件）可看成是函数关系：t=-3x+204
（1）写出商场卖这种服装每天的利润与每件的价x之间的函数关系式（每天的利润是指所卖出服装的价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得的利润，每件的价定为多少最为合适；利润为多少？
【正确答案】当每件的价为55元时，可取得利润，每天利润为507元.
【详解】试题分析：（1）商场的利润是由每件商品的利润乘每天的的数量所决定．在这个问题中，每件服装的利润为(x－42)，而的件数是(－3x＋204)，由利润y＝（售价－成本）×量，那么就能得到一个y与x之间的函数关系，这个函数是二次函数．
（2）要求的利润，就是要求这个二次函数的值．
试题解析：
解：（1）由题意，利润y与每件的价x之间的函数关系为
y＝(x－42)(－3x＋204)，即y＝－3x2＋330x－8568
（2）配方，得y＝－3(x－55)2＋507
∴当每件的价为55元时，可取得利润，每天利润为507元.
点睛：本题考查的是用二次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的问题．注意利用二次函数求最值时，关键是应用二次函数的性质，即由函数y随x的变化，自变量的取值范围确定最值．
25. 随着人民生活水平的没有断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2008年底拥有家庭轿车64辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
（1） 若该小区2008年底2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，按2010年的增长率求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？
（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定15万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量没有少于室内车位的2倍，但没有超过室内车位的2.5倍，求该小区至多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的．
【正确答案】一：建室内车位20个，露天车位50个；二：室内车位21个，露天车位45个.
【详解】试题分析：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据2015年底拥有家庭轿车64辆，2017年底家庭轿车的拥有量达到100辆列出方程，求出平均增长率，即可计算出2018年家庭轿车的数量；
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，根据总是15万元建立a、b的关系，然后用a去表示b，根据露天车位的数量没有少于室内车位的2倍，但没有超过室内车位的2.5倍建立没有等式组，求出a的范围，因为a是正整数即可确定a的值，进而得出．
试题解析：
解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
则依题意得：64(1＋x)2＝100，
解得：x1＝＝25％，x2＝－，（没有合题意，舍去）.
∴100（1＋25％）＝＝125.
答：该小区到2018年底家庭轿车将达到125辆．
(2)设该小区可建室内车位a个，露天车位b个.
则：
由①得：b＝150－5a代入②得：20≤a≤ ，
∵a是正整数，∴a＝20或21.
当a＝20时b＝50，当a＝21时b＝45.
∴一：建室内车位20个，露天车位50个；二：室内车位21个，露天车位45个.
点睛：本题考查了一元没有等式组和一元二次方程的综合应用，解答综合题，需要由浅入深，认真读题，理解题意，合理设未知数，分步解答．
26. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.
（1）若直线、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
【正确答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.
（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度没有是很大，是一道没有错的中考压轴题．
2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正解的选项。）
1. 下列图形中，是对称的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则∠DAE的度数是（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说确的是（ ）
A. 本市明天将有80%的地区降水
B. 本市明天将有80%的时间降水
C. 明天肯定下雨
D. 明天降水的可能性比较大
4. 若关于x一元二次方程ax2+2x﹣=0（a＜0）有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＜﹣2 B. a＞﹣2 C. ﹣2＜a＜0 D. ﹣2≤a＜0
5. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A. 12个单位 B. 10个单位 C. 4个单位 D. 15个单位
6. 在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅挂图，如图所示，设边框的宽为xcm，如果整个挂图的面积是5400cm2 ,那么下列方程符合题意的是（ ）
A. (50-x)(80-x)=5400 B. (50-2x)(80-2x)=5400
C (50+x)(80+x)=5400 D. (50+2x)(80+2x)=5400
7. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
8. 同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）
A. B. C. D.
9. 抛物线y=2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是（ ）
A. x=2 B. x=﹣1 C. x=5 D. x=0
10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A. B. 10 C. D.
二、填 空 题（共6小题，每题4分，满分24分）
11. 点（0，1）关于原点O对称的点是____________．
12. 从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是________．
13. 如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为_______.
14. 已知关于x方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
15. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_________°．
16. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：；；；其中正确结论的序号是______．
三、解 答 题（共9小题，满分86分）
17. 解方程 （1）x2+6x+1=0 （2）（x﹣1）2=2（1﹣x）
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
19. 一个没有透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色没有同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．
20. 如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．
21. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
22. 我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．每天量（y件）与单价x（元/件）的函数关系式是y=﹣10x+700
（1）当单价定为多少时，试销该工艺品每天获得的利润？利润是多少？
（2）市物价部门规定，该工艺品单价没有能超过35元/件，那么单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润？利润是多少？
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB边上一点，⊙O交AB于点E，F两点，BC切⊙O于点D，且CD=EF=1，
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）求图中阴影部分的面积.
24. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
25. 如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH.
（1）如图1，当∠DHC=90°时，求的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE.求证：CE平分∠AEB.
（3）现将图1中的△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°<α<90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否还成立，并证明.
2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正解的选项。）
1. 下列图形中，是对称的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由对称图形的定义：“把一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身重合的图形叫做对称图形”分析可知，四个选项中，A、B、D选项中的图形都没有是对称图形，只有C选项中的图形是对称图形.
故选C.
2. 如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则∠DAE的度数是（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【正确答案】B
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∵△ACE是由△ABD绕点A旋转得到的，
∴∠DAE=∠BAC=60°.
故选B.
3. 气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说确的是（ ）
A. 本市明天将有80%的地区降水
B. 本市明天将有80%的时间降水
C. 明天肯定下雨
D. 明天降水可能性比较大
【正确答案】D
【详解】由概率的意义可知，气象台预报“本市明天降水概率是”，是指明天下雨的可能性比较大.
故选D.
4. 若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣=0（a＜0）有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＜﹣2 B. a＞﹣2 C. ﹣2＜a＜0 D. ﹣2≤a＜0
【正确答案】C
【详解】∵关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，
∴△=，即，解得：，
又∵，
∴的取值范围是.
故选C.
点睛：（1）若一元二次方程有两个没有相等的实数根，则根的判别式△=；（2）本题得到的取值范围时，没有要忽略了题目中的条件；
5. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A. 12个单位 B. 10个单位 C. 4个单位 D. 15个单位
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”．从而得到EF即可是直径，根据勾股定理计算即可．
连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是直径，
∴EF====10．
故选B．
考点：1.圆周角定理；2.勾股定理．
6. 在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅挂图，如图所示，设边框的宽为xcm，如果整个挂图的面积是5400cm2 ,那么下列方程符合题意的是（ ）
A. (50-x)(80-x)=5400 B. (50-2x)(80-2x)=5400
C (50+x)(80+x)=5400 D. (50+2x)(80+2x)=5400
【正确答案】D
【详解】由题意可知当四周镶上一条宽为xcm的边框后，整个挂图的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，则这个挂图的面积可表达为(80+2x)(50+2x)，镶好边框后的挂图面积为5400cm2，可得方程为：(80+2x)(50+2x)=5400.
故选D.
7. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
【正确答案】B
【详解】试题分析：首先根据圆的周长公式求得圆锥的底面周长=6π，然后根据圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长等于底面周长，根据弧长公式即可求得母线长，可得母线长为6．
故选B．
考点：圆锥的计算
8. 同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】根据题意画出图形,设出圆的半径,再根据垂径定理,由正多边形及直角三角形的性质求解即可.
9. 抛物线y=2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是（ ）
A. x=2 B. x=﹣1 C. x=5 D. x=0
【正确答案】B
【详解】∵将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式为：，
∴新抛物线的对称轴为直线.
故选B.
点睛：（1）抛物线的对称轴是直线：；（2）将抛物线向左（或右）平移m个单位长度，再向上（或向下）平移n个单位长度所得新抛物线的解析式为：，(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减).
10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A. B. 10 C. D.
【正确答案】C
【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C．
二、填 空 题（共6小题，每题4分，满分24分）
11. 点（0，1）关于原点O对称的点是____________．
【正确答案】(0,-1)
【详解】点（0，1）关于原点的对称点的坐标是（0，-1）.
故答案为（0，-1）.
12. 从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是________．
【正确答案】
【详解】从实数-1、-2、1中随机选取两个数共有以下三种等可能情况：①-1，-2；②-1，1；③-2，1；其中乘积为负数的是②、③两种，
∴从实数-1，-2，1中随机选取两个数，积为负数的概率是.
故答案为.
13. 如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为_______.
【正确答案】
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，
∴，
∴S阴影=S扇形==．
故．
14. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________．
【正确答案】﹣2．
【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣6，x1x2=k，
∵，∴=3，
∴k=﹣2．
故答案是﹣2．
考点：根与系数的关系．
15. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_________°．
【正确答案】215．
【详解】解：连接CE
∵五边形ABCDE为内接五边形
∴四边形ABCE为内接四边形
∴∠B+∠AEC=180°
又∵∠CAD＝35
∴∠CED＝35°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠B+∠E=∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215°
故215．
本题考查正多边形和圆．
16. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论：；；；其中正确结论的序号是______．
【正确答案】①③④
【详解】（1）∵抛物线开口向下，
∴，
又∵对称轴在轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴ ，
∴，即①正确；
（2）∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
又∵，
∴，即②错误；
（3）∵点C的坐标为，且OA=OC，
∴点A的坐标为，
把点A的坐标代入解析式得：，
∵，
∴，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为，则OA=，OB=，
∵抛物线与轴交于A、B两点，
∴是方程的两根，
∴，
∴OA·OB=.即④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④.
三、解 答 题（共9小题，满分86分）
17 解方程 （1）x2+6x+1=0 （2）（x﹣1）2=2（1﹣x）
【正确答案】(1)x=-3+ 2,x=-3-2；(2)x=1，x=-1.
【详解】试题分析：
（1）根据方程特点，用“公式法”或“配方法”解答本题即可；
（2）根据方程特点，用“因式分解法”解答本题即可.
试题解析：
（1）∵在方程中，，
∴△=，
∴，
∴.
（2）原方程移项得：，
∴，
∴或，
解得.
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
【正确答案】（1）B1的坐标是(3,3)；（2）C2的坐标是(1,2).
【详解】试题分析：根据题目要求画出图形即可.
试题解析：
B1(3， 3)；(2) C2(－3，－4).
19. 一个没有透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色没有同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．
【正确答案】（1）概率为；（2）概率为；（3）n=4．
【分析】（1）直接利用列举法就可以得到答案；
（2）利用画树状图的方法可以得到两次摸出的球恰好颜色没有同的概率；
（3）利用概率计算公式列出等式，求解即可．
【详解】（1）∵一个没有透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，
∴摸出1个球是白球的概率为；
（2）画树状图得：
∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球恰好颜色没有同的有4种，
∴两次摸出的球恰好颜色没有同的概率为；
（3）由题意得：，
解得：n=4．
经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，
∴n=4．
20. 如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．
【正确答案】5米
【详解】试题分析：
设半径OD=r，则由题意易得OF=OE-EF=r-2；由OE⊥CD，根据“垂径定理”可得DF=CD=4，这样在Rt△ODF中由勾股定理建立方程就可解得r.
试题解析：
设⊙O的半径为r米，则OF=(r-2)米,
∵OE⊥CD
∴ DF=CD=4
在Rt△OFD中，由勾股定理可得：(r-2)2+42=r2，
解得：r=5，
∴ CD所在⊙O的半径DO为5米.
21. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
【正确答案】（1）y=﹣；y=﹣x+2（2）4.
【详解】试题分析：（1）根据 S△ABO=，即，所以 ，又因为图象在二四象限，所以xy=﹣3即 k=-3，从而求出反比例函数解析式将 k=-3代入 ，求出函数解析式；
（2）将两个函数关系式 y=﹣和y=﹣x +2联立，解这个方程组，可求出两个交点A，C的坐标；
（3）将x=0代入 y=﹣x +2中，求出D点坐标，根据△AOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可.
解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0
则S△ABO=•|OB|•|AB|=•（﹣x）•y=
∴xy=﹣3
又∵y= ∴k=﹣3
∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x +2
（2）A、C两点坐标满足
解得
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1）
（3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．
∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2）
点睛：本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与函数的综合，割补法求没有规则图形的面积.将已知点的坐标代入解析式，求出未知系数，从而求出函数解析式；将两个函数关系式联立，解所得到的方程组，可求出函数的交点坐标；求没有规则图形的面积，一般采用割或补的方式求解.
22. 我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．每天量（y件）与单价x（元/件）的函数关系式是y=﹣10x+700
（1）当单价定为多少时，试销该工艺品每天获得的利润？利润是多少？
（2）市物价部门规定，该工艺品单价没有能超过35元/件，那么单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润？利润是多少？
【正确答案】（1）单价定为40元/件时，利润，利润为每天9000元；（2）当单价定为35元/件时，每天所获利润，利润为每天8750元.
【详解】试题分析：
（1）设每天获得利润为w，根据总利润=单件商品利润×商品量可得，w=(x-10)(-10x+700)，整理、配方即可求得当x为多少时，w有值及值是多少；
（2）估计（1）中所得配方后的w与x间的函数关系式，即可求得本问的答案.
试题解析：
(1)设利润为w元，根据题意可得：
W=（x-10)(-10x+700)=-10x2+800x-7000=-10(x-40)2+9000，
∴当x=40时，W=9000（元）；
答：当价定为40元/件时，每天获利，利润为每天9000元；
（2）∵a=-10<0
∴在W=-10(x-40)2+9000中，当x<40时，W随着x的增大而增大，
又∵
∴当x=35时，W=-10×(35-40)2+9000=8750(元）.
答：当单价定为35元/件时，每天所获利润，利润为8750元.
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB边上一点，⊙O交AB于点E，F两点，BC切⊙O于点D，且CD=EF=1，
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）求图中阴影部分的面积.
【正确答案】（1）见解析；（2）1﹣π．
【详解】试题分析：
（1）连接OD，过点O作OH⊥AC于点H，易证四边形ODCH是矩形，由此可得OH=CD=EF=OE，从而可得AC是⊙O的切线；
（2）由（1）可知∠DOH=90°，OH=EF=1，由此根据：S阴影=S正方形ODCH-S扇形ODH即可计算出阴影部分的面积.
试题解析：
（1）连接OD，过点O作OH⊥AC于点H，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC．
∵∠C=90°，
∴∠OHC=∠ODC=∠C=90°，
∴四边形OHCD是矩形．
∵CD=EF，
∴OH=EF=OE．
∵OH⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）由（1）可知，四边形ODCH是正方形，
∴∠DOH=90°，OH=CD=EF=1，
∴S阴影=S正方形ODCH-S扇形ODH=1×1﹣=1﹣π．
24. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）当m=时，线段MN取值，值为．（3）点P的坐标为（2，）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．
【分析】（1）把点B、C的坐标代入列出方程组，解方程组求得的值即可得到二次函数的解析式；
（2）由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，设点M的横坐标为m，由此可用含m的代数式表示出点M、N的纵坐标，从而可用含m的式子表达出MN的长度，由点M在轴下方可求得m的取值范围为：，由此即可求出线段MN的值；
（3）由题意（2）可得点N的坐标，由点P在抛物线对称轴上，可设其坐标为(2，n)，点B和点N的坐标即可表达出PB、PN、BN的长度，再分PB=PN、PB=BN、PN=BN三种情况讨论计算即可求得符合题意的点P的坐标.
【详解】解：
（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，
得，得，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
（2）由题意可设点M的坐标为（m，m2-4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，
把点（3，0）代入y=kx+3，中，
得：0=3k+3，解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，-m+3），
∴MN==-m+3-(m2-4m+3)=-（m-）2+.
∴当m=时，MN=.
（3）由（2）可得：当m=时，点N的坐标为，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴可设点P坐标为（2，n）,
∴PB=，PN= ,
BN== ,
若为等腰三角形，则存在以下三种情况：
①当时，即=解得： ，此时点的坐标为(2，)；
②当时，即= ，解得： ，
此时点的坐标为(2，-)或(2，)；
③当时，即=，解得： ，
此时点的坐标为(2,)或(2,)．
综上可知：在抛物线的对称轴上存在点，使是等腰三角形，点P的坐标为(2，),(2，-),(2，),(2,),(2,)．
点睛：解本题第2小题时，当利用设出的点P的坐标和已知的点B、N的坐标表达出线段PB、PN和BN的长度时，需注意题目中没有指明△PBN为等腰三角形时的底和腰，因此要分：（1）PB=PN；（2）PB=BN；（3）PN=BN三种情况分别讨论计算，没有要忽略了其中任何一种情况，避免丢解.
25. 如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH.
（1）如图1，当∠DHC=90°时，求的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE.求证：CE平分∠AEB.
（3）现将图1中的△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°<α<90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否还成立，并证明.
【正确答案】（1）2；（2）见解析
【详解】试题分析：
（1）由已知易得∠DCH=60°，∠DHC=90°，可得∠CDH=30°，从而可得CD=2CH，AC=CH，BC=CD，即可得到的比值；
（2）如图1，由点C和点E关于DH对称，易得EH=CH=AH，点E、H、C三点共线，从而可得∠AEC=∠EAH=∠AHC=30°；由（1）可得BC=2CH=EC，从而可得∠BEC=∠EBC∠ACE=30°；这样可得∠AEC=∠BEC，即可得到EC平分∠AEB的结论；
（3）如图2，由点C和点E关于DH对称，易得EH=CH=AH，由此可得点A、E、C三点都在以H为圆心，AH为半径的圆上，则由圆周角定理可得∠AEC=∠AHC=30°；同理，由点C和点E关于DH对称，可得DE=DC=DB，由此可得点E、C、B都在以D为圆心，DC为半径的圆上，由此可得∠BEC=∠BDC=30°，即可得到∠AEC=∠BEC，即可得到EC平分∠AEB的结论.
试题解析：
（1）∵△HAC与△DCB都是等边三角形，
∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，
∴∠HCD=180°﹣∠ACH﹣∠DCB=60°，
∵∠DHC=90°，
∴∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，
∴CD=2CH，
∴BC=2AC，
∴=2；
（2）如图1，由点C和点E关于DH对称可得：∠EHD=∠DHC=90°，EH=HC，
∴E、H、C三点共线，
∵AH=HC，
∴EH=AH，
∴∠AEC=∠EAH=∠AHC=30°，
由（1）可得BC=2CH=EC，
∴∠BEC=∠ACE=30°，
∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；
（3）结论仍然正确，理由如下：
如图2，由对称性可知：HC=HE，
又∵AH=HC，
∴HC=HA=HE，
∵A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，
∴∠AEC=∠AHC=30°，
同理可得，∠BEC=∠BDC=30°，
∴∠AEC=∠BEC，
∴EC平分∠AEB．
点睛：解本题第3小题时，要点是能够由已知条件通过分析发现：（1）HE=HA=HC，从而得到点A、E、C三点都在以H为圆心，AH为半径的圆上；（2）DE=DC=DB，从而得到点E、C、B都在以D为圆心，DC为半径的圆上；由此利用“圆周角定理”即可证得∠AEC=∠AHC=30°，∠BEC=∠BDC=30°，这样就可证得结论EC平分∠AEB了.
2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选题题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（ ）
A. B. x3-x2+40=0 C. D. 3x3-2xy+y2=0
2. 方程的解是( ).
A. 2 B. -2或1 C. －1 D. 2或－1
3. 若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. p＝1 B. p＞0 C. p≠0 D. p为任意实数
4. 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 适合解析式y=-x2+1的一对值是（ ）
A. (1，0) B. (0，0) C. (0，-1) D. (1，1)
6. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（ ）
A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
9. 我市企业退休人员王大爷2015年的工资是每月2100元，连续增长两年后,2017年王大爷
的工资是每月2541元，若设这两年平均每年工资的增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 2100(1+x) =2541 B. 2541(1-x)2=2100
C. 2100(1+x)2=2541 D. 2541(1-x2) =2100
10. 下列命题：
①若a+b+c=0，则b2-4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根；
③若b2-4ac＞0，则二次函数y=ax2+bc+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根．
其中正确的是
A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ③④
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，将函数y=﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是_____．
12. 若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则m＝________．
13. 若，则的值是_________．
14. 在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ___________．
15. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．
16. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或没有等式：①=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.正确的序号是______________.
三、简答题（本大题共10小题，共92题）
17. 用适当方法解下列方程：
（1）x2-7x+6=0； （2）（5x-1）2=3（5x-1）；
（3）2x2-2x+3=0.
18. 如图，二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知函数y=kx+b的图象该二次函数图象上点A(1，0)及点B．
(1)求二次函数与函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x﹣2)2+m的x的取值范围．
19. 某种电脑传播非常快，如果一台电脑被，两轮后就会有81台电脑被．请你用学过知识分析，每轮中平均一台电脑会几台电脑？若得没有到有效，3轮后，被的电脑会没有会超过700台？
20. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
21. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
22. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比是，如果要使彩条所占的面积是图案的面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
23. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
24. 某商场以每件42元的购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的量t（件），与每件的价x（元/件）可看成是函数关系：t=-3x+204
（1）写出商场卖这种服装每天利润与每件的价x之间的函数关系式（每天的利润是指所卖出服装的价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得的利润，每件的价定为多少最为合适；利润为多少？
25. 随着人民生活水平的没有断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2008年底拥有家庭轿车64辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
（1） 若该小区2008年底2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，按2010年的增长率求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？
（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定15万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量没有少于室内车位的2倍，但没有超过室内车位的2.5倍，求该小区至多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的．
26. 如图，已知抛物线对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.
（1）若直线、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
2022-2023学年福建省南平市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选题题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（ ）
A. B. x3-x2+40=0 C. D. 3x3-2xy+y2=0
【正确答案】A
【详解】试题分析：A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、是一元三次方程，故此选项错误；
C、是分式方程，故此选项错误；
D、二元三次方程，故此选项错误．
故选A．
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，应熟记只含有一个未知数，并且未知数的次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2. 方程的解是( ).
A. 2 B. -2或1 C. －1 D. 2或－1
【正确答案】D
【详解】试题分析：(x－2)(x+1)=0，解得：x=2或－1.
考点：解一元二次方程.
3. 若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. p＝1 B. p＞0 C. p≠0 D. p为任意实数
【正确答案】C
【详解】根据一元二次方程的定义，得p≠0.故选C.
4. 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：A、当m＝1时，(m－1)2＝0，函数y＝(m－1)2x2没有是二次函数；
B、当m＝－1时，(m＋1)2＝0，函数y＝(m＋1)2x2没有是二次函数；
C、无论m取何值，m2＋1≠0，所以函数y＝(m2＋1)x2一定是二次函数；
D、当m＝1或－1时，m2－1＝0，函数y＝(m2－1)x2没有是二次函数．
故选C．
点睛：判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数没有为0这个关键条件．
5. 适合解析式y=-x2+1的一对值是（ ）
A. (1，0) B. (0，0) C. (0，-1) D. (1，1)
【正确答案】A
【详解】试题分析：当x＝1时，y＝0，故A适合解析式，D没有适合解析式；
当x＝0时，y＝1，故B、C没有适合解析式．
故选A．
6. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵，∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称，故，故选D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
7. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的没有等式即可．
【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选：C．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8. 要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（ ）
A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【正确答案】D
【分析】根据顶点坐标的变化可以确定选项.
【详解】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1,所以新抛物线的顶点坐标为（1，-1），
∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．
故选D．
本题考查了二次函数的图象和性质，熟记平移规律和顶点坐标是解题关键.
9. 我市企业退休人员王大爷2015年的工资是每月2100元，连续增长两年后,2017年王大爷
的工资是每月2541元，若设这两年平均每年工资的增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 2100(1+x) =2541 B. 2541(1-x)2=2100
C. 2100(1+x)2=2541 D. 2541(1-x2) =2100
【正确答案】C
【详解】试题解析：设这两年平均增长率为x，根据题意得：
故选C.
10. 下列命题：
①若a+b+c=0，则b2-4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根；
③若b2-4ac＞0，则二次函数y=ax2+bc+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根．
其中正确的是
A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ③④
【正确答案】C
【详解】试题分析：解：①∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=（a-c）2≥0，故错误；
②∵b=2a+3c，
∴b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4a2+12ac+9c2-4ac=4a2+8ac+9c2=4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根，故正确；
③∵b2-4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个没有同的交点，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3或2，故正确；
④∵b＞a+c，那么设b=2，a=-4，c=-2，
∴b2-4ac=4-32＜0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，故错误．
考点：抛物线及根的判别式应用
点评：本题难度较低，主要考查学生学生对抛物线及根的判别式应用知识点的掌握．此题主要利用了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，将函数y=﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是_____．
【正确答案】y=2（x﹣1）2+5．
【详解】试题分析：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=﹣2x2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=﹣2（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y=﹣2（x﹣1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x﹣1）2+5．
考点：二次函数图象与几何变换．
12. 若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则m＝________．
【正确答案】3
【分析】根据二次函数的定义列出方程，解方程后综合考虑取值即可.
【详解】解：由题意得：
由方程得：m=3或m=-1,
由方程得：m≠0,m≠-1.
所以m=3.
本题考查二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)，解答此类题关键在于注意a≠0.
13. 若，则的值是_________．
【正确答案】±
【详解】∵，
∴，
∴.
14. 在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ___________．
【正确答案】y=(60+2x)(40+2x)
【详解】试题分析：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x，
由矩形的面积公式得
y＝(60＋2x)(40＋2x)．
故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)．
点睛：本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．
15. 三角形每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．
【正确答案】6或10或12
【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算．
【详解】由方程，得=2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，没有符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
故6或10或12
16. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或没有等式：①=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.正确的序号是______________.
【正确答案】①②③④
【详解】试题分析：①由图象可知抛物线顶点纵坐标为－1，所以＝－1，正确；
②设C（0，c），则OC＝|c|，
∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2＋bc＋c＝0，又c≠0，
∴ac＋b＋1＝0，故正确；
③从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0，故正确；
④当x＝－1时y＝a－b＋c，由图象知（－1，a－b＋c）在第二象限，
∴a－b＋c＞0，故正确．
故答案为①②③④．
三、简答题（本大题共10小题，共92题）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2-7x+6=0； （2）（5x-1）2=3（5x-1）；
（3）2x2-2x+3=0.
【正确答案】(1)x1=6,x2=1；(2)x1=,x2=；(3)方程无解.
【详解】试题分析：（1）利用十字相乘法将左边分解因式，然后利用因式分解法解方程；
（2）把方程右边移至左边，提出公因式(5x－1)，利用因式分解法解方程；
（3）利用公式法求解，先计算根的判别式可得△＜0，可得方程无解．
解：（1）(x－6)(x－1)＝0，
x－6＝0或x－1＝0，
x1＝6，x2＝1；
（2）（5x－1)2－3(5x－1)＝0，
(5x－1)(5x－4)＝0，
5x－1＝0或5x－4＝0，
x1＝，x2＝；
（3）∵a＝2，b＝－2，c＝3，
△＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×3＝－24<0
∴此方程无解．
点睛：本题考查了一元二次方程解法，恰当的选择方法是解决此题的关键．若方程中含有公因式或能够利用公式应用因式分解法解方程，若没有能利用因式分解法再考虑使用公式法或其它方法．
18. 如图，二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知函数y=kx+b的图象该二次函数图象上点A(1，0)及点B．
(1)求二次函数与函数解析式；
(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x﹣2)2+m的x的取值范围．
【正确答案】(1)二次函数解析式为y=(x﹣2)2﹣1；函数解析式为y=x﹣1．(2)1≤x≤4．
【分析】(1)将点A(1，0)代入y=(x-2)2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出函数解析式．
(2)根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围．
【详解】解：(1)将点A(1，0)代入y=(x﹣2)2+m得，(1﹣2)2+m=0，解得m=﹣1．
∴二次函数解析式为y=(x﹣2)2﹣1．
当x=0时，y=4﹣1=3，∴C点坐标为(0，3)．
∵二次函数y=(x﹣2)2﹣1的对称轴为x=2， C和B关于对称轴对称，
∴B点坐标(4，3)．
将A(1，0)、B(4，3)代入y=kx+b得，
，解得．
∴函数解析式为y=x﹣1．
(2)∵A、B坐标为(1，0)，(4，3)，
∴当kx+b≥(x﹣2)2+m时，直线y=x﹣1的图象在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上方或相交，此时1≤x≤4．
19. 某种电脑传播非常快，如果一台电脑被，两轮后就会有81台电脑被．请你用学过的知识分析，每轮中平均一台电脑会几台电脑？若得没有到有效，3轮后，被的电脑会没有会超过700台？
【正确答案】每轮中平均1台电脑会8台电脑，3轮后被的电脑会超过700台．
【分析】根据题意可直接设每轮传染x台，从而列出两轮后共计传染数量为台，建立一元二次方程求解即可，求出每轮传染数之后即可判断三轮传染之后的总数，即可得出结论．
【详解】设每轮中平均1台电脑会台电脑．
根据题意可列：，
解得：，（舍去）．
∴3轮后，被得电脑为：．
答：每轮中平均1台电脑会8台电脑，3轮后被的电脑会超过700台．
本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意准确列出一元二次方程是解题关键．
20. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
【正确答案】见解析．
【分析】根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可．
【详解】根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．
如图所示：点P就是发射塔修建的位置．
本题考查了作图与角平分线以及垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线以及垂直平分线的性质并且能根据题意作图．
21. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
【正确答案】证明见解析.
【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证.
【详解】
证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中,
∴△BCF≌△CDE(AAS)，
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE.
22. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比是，如果要使彩条所占的面积是图案的面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
【正确答案】
【详解】试题分析：设每个横彩条的宽为2xcm，则每个竖彩条的宽为3xcm．求出剩余部分的面积，根据剩余部分的面积是原图案面积的列方程求解即可．
试题解析：
解:设每个横彩条的宽为2xcm，则每个竖彩条的宽为3xcm．
∴剩余部分的宽为：(20－6x)cm，剩余部分的长为：(30－4x)cm，
∴剩余部分矩形的面积为：(20－6x)(30－4x)＝24x2－260x＋600（cm2）.
根据题意，得24x2－260x＋600＝(1－)×20×30.
整理，得6x2－65x＋50＝0.
解方程，得x1＝，x2＝10，
∵x2＝10没有合题意，舍去.
∴x＝.
则2x＝，3x＝．
答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm、cm.
点睛：本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，根据题、图，正确的列出方程是解决此题的关键．解出的x要判断其是否符合题意，舍去没有合题意的x的值．
23. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
【正确答案】汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米.
【分析】试题分析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5．
在Rt△BCD中，∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5．
∴AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米．
24. 某商场以每件42元的购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的量t（件），与每件的价x（元/件）可看成是函数关系：t=-3x+204
（1）写出商场卖这种服装每天的利润与每件的价x之间的函数关系式（每天的利润是指所卖出服装的价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得的利润，每件的价定为多少最为合适；利润为多少？
【正确答案】当每件的价为55元时，可取得利润，每天利润为507元.
【详解】试题分析：（1）商场的利润是由每件商品的利润乘每天的的数量所决定．在这个问题中，每件服装的利润为(x－42)，而的件数是(－3x＋204)，由利润y＝（售价－成本）×量，那么就能得到一个y与x之间的函数关系，这个函数是二次函数．
（2）要求的利润，就是要求这个二次函数的值．
试题解析：
解：（1）由题意，利润y与每件的价x之间的函数关系为
y＝(x－42)(－3x＋204)，即y＝－3x2＋330x－8568
（2）配方，得y＝－3(x－55)2＋507
∴当每件的价为55元时，可取得利润，每天利润为507元.
点睛：本题考查的是用二次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的问题．注意利用二次函数求最值时，关键是应用二次函数的性质，即由函数y随x的变化，自变量的取值范围确定最值．
25. 随着人民生活水平的没有断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2008年底拥有家庭轿车64辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
（1） 若该小区2008年底2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，按2010年的增长率求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？
（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定15万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量没有少于室内车位的2倍，但没有超过室内车位的2.5倍，求该小区至多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的．
【正确答案】一：建室内车位20个，露天车位50个；二：室内车位21个，露天车位45个.
【详解】试题分析：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据2015年底拥有家庭轿车64辆，2017年底家庭轿车的拥有量达到100辆列出方程，求出平均增长率，即可计算出2018年家庭轿车的数量；
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，根据总是15万元建立a、b的关系，然后用a去表示b，根据露天车位的数量没有少于室内车位的2倍，但没有超过室内车位的2.5倍建立没有等式组，求出a的范围，因为a是正整数即可确定a的值，进而得出．
试题解析：
解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
则依题意得：64(1＋x)2＝100，
解得：x1＝＝25％，x2＝－，（没有合题意，舍去）.
∴100（1＋25％）＝＝125.
答：该小区到2018年底家庭轿车将达到125辆．
(2)设该小区可建室内车位a个，露天车位b个.
则：
由①得：b＝150－5a代入②得：20≤a≤ ，
∵a是正整数，∴a＝20或21.
当a＝20时b＝50，当a＝21时b＝45.
∴一：建室内车位20个，露天车位50个；二：室内车位21个，露天车位45个.
点睛：本题考查了一元没有等式组和一元二次方程的综合应用，解答综合题，需要由浅入深，认真读题，理解题意，合理设未知数，分步解答．
26. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.
（1）若直线、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
【正确答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.
（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度没有是很大，是一道没有错的中考压轴题．
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