四川省安岳县周礼中学2022-2023学年高二上学期期末测数学理科试卷(含答案)

高二第三学期末数学试卷理科

姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（每题5分，共60分）

1、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(   )

A. B. C. D.

2、圆与圆的位置关系是(   )

A.内切 B.外切 C.相交 D.外离

3、用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点O'是斜边B'C'的中点，且，则中BC边上的高为(   )

A.1      B.2      C.      D.

4、已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(   )

A. B. C. D.

5、如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是(   )

A. B. C. D.

6、鳖臑(biēnào)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼.已知三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，，，则三棱锥的外接球的体积是(   )

A. B. C. D.

7、如图，已知圆柱的底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，从侧面爬行到点C，则小虫爬行路线的最短长度是(   ).

A.2 B. C.3 D.

8、若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

9、若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线C的离心率为(   )

A. B. C. D.

10、已知抛物线的焦点为F,是C上一点, ,则 (    )

A.1            B.2            C.4            D.8

11、设l是直线，，是两个不同的平面(   )

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

12、已知三棱锥中，，且SA,SB,SC两两垂直，P是三棱锥外接球的球面上一动点，则点P到平面ABC的距离的最大值是(   )
A. B. C. D.

二、填空题（每题5分，共20分）

13、若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.

14、过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______________.

15、一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.

16、已知是抛物线的焦点, ,是上的两个点,线段的中点为则的面积等于__________.

三、解答题

17、(10分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是的中点，且，.

（1）求与平面所成角的正弦；

（2）求点到面的距离.

18、(12分)如图，的外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，.

（1）求证：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

19、(12分)如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面底面，E为的中点．

（1）求证：；

（2）在线段不包括端点）上是否存在点F，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

20、(12分)已知圆,直线

（1）当a为何值时,直线与圆相切

（2）当直线 与圆相交于两点,且时,求直线的方程

21、(12分)已知抛物线，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D.是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

22、(12分)已知椭圆的一个顶点为，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值.

高二参考答案

1、答案：B

2、答案：B

解析：由题意知圆的圆心，半径，圆的方程可化为，其圆心，半径.两圆的圆心距，两圆外切.

3、答案：D

解析：直观图是等腰直角三角形，，，.根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，的BC边上的高.故选D.

4、答案：D

解析：方程表示焦点在x轴上的椭圆，

所以，

解得，

实数k的取值范围是.

故选：D.

5、答案：C

解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，

所以，，

设异面直线AB与CM所成角为，

则.

故选：C.

6、答案：D

解析：依题意，三棱锥可放在长方体中，如图所示

易得三棱锥的外接球的直径为AD，则，故三棱锥的外接球的半径，所以.

故选：D.

7、答案：B

解析：展开圆柱的侧面展开图如图所示，

由图可知，小虫爬行路线的最短长度.

8、答案：A

解析：直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆(包括点，).如图，作出半圆C，

当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为；

当l与半圆相切时，由，得，切线记为.

由图形可知当时，l与曲线C有两个不同的交点，

故选：A.

9、答案：C

解析：由双曲线方程得：渐近线方程为；

由圆的方程知：圆心为，半径；

与图象关于x轴对称，圆的图象关于x轴对称，

两条渐近线截圆所得弦长相等，

不妨取，即，则圆心到直线距离，

弦长为，解得：，

双曲线离心率.

故选：C.

10、答案：A

解析：根据抛物线的定义:到焦点的距离等于到准线的距离,又抛物线的准线方程为: ,则有: ,即有,可解得.

11、答案：B

解析：A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；B选项中，，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知，故B正确；C选项中，若，，则或，故C错误；D选项中，若，，则l与相交、平行或，故D错误.故选B.

12、答案：C

解析：三棱锥满足SA,SB,SC两两垂直，且，
SA,SB,SC是棱长为1的正方体上具有公共顶点S的三条棱，
以B为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，因此，，.设平面ABC的一个法向量为，则令，得.易知三棱锥的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，是三棱锥外接球的球面上一动点，由正方体与球的几何性质可得，当点P与点N重合时，点P到平面ABC的距离最大，点P到平面ABC的距离的最大值为.故选C.

13、答案：

解析：由题可知，离心率，即，

又，即，则，

故此双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

14、答案：

解析：法一(待定系数法)

设所求椭圆方程为，将的坐标代入可得，解得Error! Digit expected.(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为

法二(定义法)椭圆的焦点为，，即.由椭圆的定义知，

，解得.由可得.所以所求椭圆的标准方程为

15、答案：

解析：圆的圆心为，，

圆的圆心为，，

设动圆的圆心为P，半径为r，

由题意得，，则，，，

由椭圆定义得P的轨迹方程为，

故答案为：.

16、答案：2

解析：设两点的坐标分别为，由题意得，两式相减得,直线的方程为，由，解得或，又,.

17、答案：（1）（2）

解析：（1）因为底面是矩形，平面，所以以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，即，

设与平面所成角为，则

（2），，

设平面的法向量，

则，令，即，

设点到面的距离为，则.

18、答案：（1）见解析（2）

解析：（1）证明：的外接圆的直径.

又因为平面，所以

又

∴平面，又平面，

∴平面⊥平面.

（2）以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，则.

设

设平面的法向量为，

则取，

设平面的法向量为，

取

则，因为二面角的平面角为锐角

二面角的余弦值.

19、答案： (1)见解析(2)

解析：(1)证明：取的中点O，连结
因为，所以，
又因为平面平面，所以底面，
取的中点G，连结，则两两垂直，
分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设，则，
所以，
则，故，
所以；

(2)由(1)可知，，
所以，，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
所以，
整理可得，解得，
所以在上存在点F，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点F为靠近点B的三等分点，即．

20、答案：(4) (2)直线的方程是和

解析：(1)若直线与圆相切,则有.

解得.           

(2)解法一:过圆心作,则根据题意和圆的性质,

得解得

(解法二:联立方程并消去y,得

设此方程的两根分别为,

则用即可求出a)

∴直线的方程是和 

21、答案：（1），准线方程为

（2）存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或

解析：（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得，

所以，

所以准线方程为.

（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，.

由消去y，得.

令，解得.

所以且.

由根与系数的关系得，.

解法一：直线BF的方程为，

又，所以，

所以，

因为，所以直线DE与直线AF的斜率相等.

又，所以.

整理得，即，

化简得，

，即.

所以，整理得，

解得.经检验，符合题意.

所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.

解法二：因为，所以，

所以.

整理得，即，

整理得.

解得，经检验，符合题意.

所以存在这样的直线l，使得，直线l的方程为或.

22、答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）-4

解析：（Ⅰ）依题意可知，
得，故椭圆E的方程为.

（Ⅱ）由题可知直线BC的方程为，
设，，
联立直线BC和椭圆E的方程，得，
整理得，
，，
由得，
易知直线AB的斜率，
直线AB的方程为，

令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐标.





，得.

故k的值为-4.