人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用精品习题

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：平面的法向量及其求法重点题型二：利用向量方法证明线线平行重点题型三：利用向量方法证明线面平行重点题型四：利用向量方法证明面面平行重点题型五：利用向量方法证明线线垂直重点题型六：利用向量方法证明线面垂直重点题型七：利用向量方法证明面面垂直第五部分：高考（模拟）题体验知识点一：用向量表示点、直线、平面的位置1、用向量表示点的位置：在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.2、直线的方向向量如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①或②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.知识点二：平面的法向量及其应用1、平面法向量的概念如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．2、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量. 知识点三：空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔知识点四：空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔ 1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误（1）直线l的方向向量是唯一的．(        )（2）若点A，B是平面上的任意两点，是平面的法向量，则．(        )（3）若向量为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(        )2．（2022·全国·高二课时练习）设平面法向量为，平面的法向量为，若，则k等于(        )A．2          B．          C．4          D．3．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是直线的一个方向向量．若，则(        )A．          B．          C．          D．4．（2022·全国·高二课时练习）若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是(        )A．          B．          C．          D．5．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面，的法向量分别为，，则平面，的位置关系为_________．6．（2022·全国·高二单元测试）若直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是__________________．重点题型一：平面的法向量及其求法典型例题例题1．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（       ）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）     例题3．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，．建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；   同类题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（       ）A． B． C． D．2．（2022·江苏·高二课时练习）已知向量，，则平面的一个法向量为（       ）A． B． C． D．3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，.(1)建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；    重点题型二：利用向量方法证明线线平行典型例题例题1．在棱长为1的正方体中，为的中点，、是正方体表面上相异两点．若、均在平面上，满足，．判断与的位置关系；    例题2．如图，在正方体中，点，分别在线段，上，且，，为棱的中点．求证：．例题3．在长方体中，，，，点在棱上，且，点在上，且，点，分别为，的中点.求证：. 重点题型三：利用向量方法证明线面平行典型例题例题1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面：   例题2．已知正方体中，棱长为，是棱的中点.求证：平面.  例题3．如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，．求证：平面．  同类题型归类练1．如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？   2．如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．   3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E是的中点，，.求证：平面； 重点题型四：利用向量方法证明面面平行典型例题例题1．如图，正方体中，、分别为、的中点．用向量法证明平面平面； 例题2．如图，已知棱长为4的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，求证：平面∥平面.同类题型归类练1．如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．   2．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.   重点题型五：利用向量方法证明线线垂直典型例题例题1．在棱长为1的正方体中，､分别是棱､上的动点，且.求证：；   例题2．已知空间四边形中，，求证：.    例题3．如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点，是否存在：.   同类题型归类练1．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．证明：.  2．如图，在空间直角坐标系Axyz中，底面ABCD为矩形，P（0，0，2），．（1）求证：； 3．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．    4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.   5．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1⊥AB1.  重点题型六：利用向量方法证明线面垂直典型例题例题1．如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求证：平面.     例题2．在棱长为1的正方体中，分别是､的中点.(1)判断向量与､是否共面；(2)求证：平面.    例题3．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.求证：平面；同类题型归类练1．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.   2．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．    3．如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．(1)求证：平面ABD．  4．如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，．(1)求证：平面；(2)点为线段的中点，求证面．      重点题型七：利用向量方法证明面面垂直典型例题例题1．如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.（1）平面；（2）平面平面.  例题2．已知正方体中，为棱上的动点．（1）求证：；（2）若平面平面，试确定点的位置．    同类题型归类练1．如图，四棱锥中，底面，E为棱上的点，且．（1）证明：平面平面； 2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．3．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.     4．如图所示，在直三棱柱中，，，，点为的中点，证明：平面平面.    1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（       ）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面  2．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线异面，直线平面D．直线与直线相交，直线平面3．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（       ）A．//B．C．//平面D．平面4．（多选）（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图，正方体的棱长为 ，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（       ）A．B．正方体体积是三棱锥的体积的6倍C．D．异面直线，所成的角为定值