人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品同步练习题

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础1．平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（       ）A．，平行 B．，垂直C．，重合 D．，相交不垂直【答案】B因为，所以，所以，垂直.故选：B.2．已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】B 故选：B3．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（       ）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°．故选：B4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，设平面的法向量为，则，取，则，故，故到平面的距离为，故选：A.5．已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】C由正方体的性质，∥,∥，，，易得平面平面，则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，．连接，由，，且，可知平面，得平面的一个法向量为，则两平面间的距离．故选：C6．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（       ）A． B． C． D．【答案】B因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，则，.故点到直线的距离.故点到直线的距离是.7．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（       ）．A． B． C． D．【答案】A如图，设正方体棱长为1，，则，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．则，故，，又，则，所以．在正方体中，可知体对角线平面，所以是平面的一个法向量，所以．所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．所以.故选：A．8．如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（       ）A． B． C．2 D．【答案】A如下图所示，以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，平面的一个法向量为．设平面的法向量为，由，得，令，得平面的一个法向量为，由题意知，解得，故选A.二、多选题9．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（       ）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线与平面所成角的大小为D．若，则平面，所成二面角的大小为【答案】BC【详解】对于A：若，则直线平面，或直线平面，故A错误；对于B：若，根据平行的传递性可得直线平面，故B正确；对于C：因为直线与平面所成角范围为，且若，即与的夹角为，所以直线与平面所成角的大小为，故C正确；对于D：因为两面所成角范围为，若，则平面，所成二面角的大小为或，故D错误.故选：BC10．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（       ）A．平面B．若是上的中点，则C．直线与平面所成角的正弦值为D．直线与直线所成角最小时，线段长为【答案】ACD由题意可得，，，，，，，设，，， 直三棱柱中，，可得为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，对于A，，，即，又平面，所以平面，故A正确；对于B，若是上的中点，则，所以，所以与不垂直，故B不正确；对于C，由为平面的一个法向量，，设直线与平面所成角为，则，故C正确；对于D，设， 则， 当时，即时，取最大值，即直线与直线所成角最小，此时，，故D正确.故选：ACD三、填空题11．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角为_____;二面角的余弦值是_____. 【答案】          解：以为原点建立如图空间直角坐标系，则，，.由，故异面直线与所成角为，设平面的一个法向量为，由设，得，平面的一个法向量，所以，所以二面角的余弦值是.故答案为：；.12．已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______【答案】##取点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，0，，，2，，，1，，，1，，，，，，与所成的角为．故答案为：．四、解答题13．如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：∵面，面，∴，又,∴平面.(2)取的中点为N，则两两垂直，∴以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图，则，设面的法向量为，则令，则，．又面，∴面的法向量，∴，又二面角的平面角为锐角，∴余弦值为．14．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PA上一点，且．(1)证明：平面平面PAC；(2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥BC，∵在直角梯形ABCD中，，，，，∴，∴，∴，又．平面PAC，平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵平面EBC，∴平面EBC⊥平面PAC．(2)以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥AD，∵，，∴，∵，∴，易知，，，．则，，．设是平面BCE的法向量．则，即，所以可取∵．∴直线PB与平面BEC所成角的正弦值为．B能力提升1．如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列判断：①三棱锥的体积是定值与点位置无关；②若异面直线与所成的角为,则的最大值为；③无论点在线段的什么位置,都有；④当点与线段的中点重合时,与异面．其中正确的个数是(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C因为平面,所以点到平面的距离为,设正方体的棱长为,则,即无论点在线段 的什么位置,三棱锥的体积为定值,故①正确； 建立如图所示的直角坐标系,设正方体棱长为,则,设, ,则,又,设异面直线与 所成角为,则 ,当时,有最大值,此时点是线段 的中点,故②正确,又，所以,所以,故③正确；当点与线段的中点重合时,,显然与均在平面 ,故④错误,所以①②③正确.故选：C.2．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，若(0 ≤ λ ≤ 1)得：，， ，由，∴，则.故选：C.3．已知正方体的棱长为1，在正方体内部，且满足，则点到直线AD的距离是（       ）A． B． C． D．【答案】B如图，建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，因为，所以，易知，故点到直线AD的距离.故选：B.4．如图，在平行六面体中，AB＝AD＝2，，，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是______．【答案】##由题意，AB＝AD＝2，，且,, ，又,,,设异面直线与DE所成角为，则.故答案为：C综合素养1．在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且．(1)求证：∥平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(1)以C为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，设，因为，所以，故，得，同理求得，所以，因为是平面的一个法向量，且，所以，又平面，所以平面；(2)由（1）可得：，，设平面的一个法向量为，则，即令，则，所以，又平面的一个法向量为，设表示平面与平面所成锐二面角，则2．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：连接．因为分别为的中点，所以，且．又因为为的中点，所以．由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，．又平面EDC1，平面EDC1，所以平面C1DE．(2)解：由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则，，，，，，，．设为平面A1MA的法向量，则，所以可取．设为平面A1MN的法向量，则所以可取.于是，.所以平面AMA1与平面NMA1夹角的正弦值为．