高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程精品习题

2.4.1圆的标准方程（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：求圆的标准方程

重点题型二：点与圆的位置关系

重点题型三：与圆有关的最值问题

重点题型四：与圆有关的对称问题

第五部分：新定义问题

第六部分：高考（模拟）题体验

知识点一：圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：

知识点二：圆的标准方程

我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.

知识点三：点与圆的位置关系

判断点与：位置关系的方法:

（1）几何法（优先推荐）

设到圆心的距离为，则

①则点在外

②则点在上

③则点在内

（2）代数法

将点带入：方程内

①点在外

②点在上

③点在内

知识点四：圆上的点到定点的最大、最小距离

设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;

①若点在外，则;

②若点在上，则;

③若点在内，则;

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误

（1）方程一定表示圆．(        )

（2）圆的圆心坐标是，半径是4．(        )

（3）若圆的标准方程为，则圆的半径一定是a．(        )

2．（2022·全国·高二课时练习）圆的半径为(        )

A．1          B．          C．2            D．4

3．（2022·全国·高二课时练习）以为圆心，4为半径的圆的方程为(      )

A．          B．

C．          D．

4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程是，则点满足(        )

A．是圆心          B．在圆上          C．在圆内          D．在圆外

重点题型一：求圆的标准方程

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二课时练习）分别根据下列条件，求出圆的方程：

(1)圆心在原点，半径为6；

(2)圆心为点，半径为；

(3)过点，圆心为；

(4)过原点，圆心为点．

例题2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程．

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二）求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；

(2)经过点、，且以线段AB为直径；

(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；

(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．

2．（2022·江苏·高二课时练习）（1）已知点，，求以线段AB为直径的圆的方程；

（2）求圆心在直线上，且过两点，的圆的方程．

重点题型二：点与圆的位置关系

典型例题

例题1．已知点)在圆的外部，则实数的取值范围是_____.

例题2．已知点在的内部，则实数的取值范围为___________.

同类题型归类练

1．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（       ）

A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关

2．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（       ）．

A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定

3．点在圆上，则实数的值是___________.

4．点是圆上的动点，则的最大值是________.

重点题型三：与圆有关的最值问题

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（ ）

A． B． C．1 D．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，分别为圆：，：上的动点，为轴上一点，则的最小值（  ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·全国·高三专题练习）一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（   ）

A． B． C． D．

同类题型归类练

1．（2022·浙江·高三专题练习）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习（理））点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·四川·成都外国语学校高二开学考试（理））已知圆的方程为，直线恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值为______.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知C为圆：上一动点，点坐标为，点坐标为，则的最小值为_________．

重点题型四：与圆有关的对称问题

典型例题

例题1．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（   ）

A． B．9 C．4 D．8

例题2．（2022·江苏·高二）若直线是圆的一条对称轴，则（   ）

A． B． C．1 D．

例题3．（2022·全国·模拟预测）已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二）圆：关于直线对称的圆的方程为（       ）．

A． B．

C． D．

2．（2022·江苏·高二）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·江苏·高二）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）圆关于直线l：对称的圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（       ）

A． B．

C． D．

2．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，，且满足，则点的运动轨迹方程为____________，点到直线的最小距离为__________.

1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（       ）

A． B． C．1 D．

2．（2022·福建福州·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（       ）

A． B． C． D．

3．（多选）（2022·重庆·三模）设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（       ）

A．该圆的圆心为 B．该圆过原点

C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为

4．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

5．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知实数满足，，，则的最大值为___________.