高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀精练

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2.4.2圆的一般方程（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：圆的一般方程的理解重点题型二：求圆的一般方程重点题型三：圆的一般方程与标准方程转化重点题型四：点与圆的位置关系重点题型五：求动点的轨迹方程重点题型六：关于点或直线对称的圆第五部分：高考（模拟）题体验 知识点一：圆的一般方程对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.知识点二：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程圆的一般方程方程（）圆心半径知识点三：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系已知点和圆的一般式方程：（），则点与圆的位置关系：①点在外②点在上③点在内1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(        )（2）二元二次方程一定是某个圆的方程．(        )（3）方程表示圆．(        )【答案】     √     ×     √（1）圆的一般方程可以通过配方法转化为标准形式，正确；（2）满足，表示的才是圆，错误；（3）方程，即，由于，所以表示的是圆，正确.2．（2022·全国·高二课时练习）若圆的直径为3，则m的值为_________．【答案】该圆的标准方程为所以由题可知：       故答案为：3．（2022·全国·高二课时练习）圆的圆心坐标是(        )A．          B．            C．          D．【答案】D该圆标准形式为，所以圆心为故选：D4．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示圆，则k的取值范围是(        )A．          B．          C．          D．【答案】A由题可知： 故选：A重点题型一：圆的一般方程的理解典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B若方程表示圆，则，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知圆方程的圆心为（   ）A． B． C． D．【答案】C解：因为，即，所以圆心坐标为；故选：C例题3．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知实数满足，则的最大值是（  ）A．3 B．2 C． D．【答案】D可化为：，所以，解得：，即的最大值是4.故选：D同类题型归类练1．（2022·北京平谷·高二期末）已知实数，满足，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】A由可化为，所以，解得，因此的最小值是．故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于直线对称，则（       ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C解：由题得圆心的坐标为，因为已知圆关于直线对称，所以.故选：C3．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））若方程表示圆，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C依题意，即，解得或，所以的取值范围是.故选：C重点题型二：求圆的一般方程典型例题例题1．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知圆经过点，，.(1)求圆的方程；【答案】(1)；(2)(1)设圆的一般方程为，把三个点代入得，得 所以圆的方程为   即.例题2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一阶段练习）已知三个顶点坐标分别为：，直线经过点．(1)求外接圆的方程；(2)若直线与相切，求直线的方程；【答案】(1)；(2)或.(1)设⊙M的方程为，则由题意可得：，解得，故所求圆方程为，即.(2)当直线斜率不存在时，的方程为，显然不满足题意；当直线斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于2，即，解得或，故所求直线方程为或.  同类题型归类练1．（2022·天津天津·高二期末）已知圆C经过，，三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.【答案】解：设圆的方程为，则，，，，，即,令，可得，解得、，所以、，或、，，2．（2022·江苏·高二课时练习）已知的顶点为，，，求的外接圆的方程．【答案】设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A、B、C三点在圆上，将三点的坐标代入圆的方程，得，解得，∴△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－4x-2y－20＝0.3．（2022·江苏·高二课时练习）求过三点，，的圆的方程．【答案】设圆的方程为经过，所以，解得：，所以圆的方程为.4．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆过三点，，，求圆的方程．【答案】设圆的一般方程为 则 ，解得,∴所求圆的方程为．重点题型三：圆的一般方程与标准方程转化典型例题例题1．（2022·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.例题2．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）若方程表示圆，则实数的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】D方程化为标准式得，则.故选：D.例题3．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）圆的圆心坐标及半径分别为（       ）A．与5 B．与5C．与 D．与【答案】D已知圆，可化为，故圆心坐标为，半径为.故选：D.同类题型归类练1．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）已知实数满足方程，则的最大值为（       ）A．3 B．2 C． D．【答案】D将方程变形为，则圆心坐标为，半径，则圆上的点的横坐标的范围为： 则x的最大值是故选：D.2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，它的半径是___________.【答案】由，则半径为故答案为：3．（2022·广西·鹿寨县鹿寨中学高二阶段练习（文））圆的圆心到直线的距离为2，则______________.【答案】##0.75将化为，所以该圆的圆心为，因为圆心到直线的距离为2，所以，解得.故答案为：.4．（2022·全国·高二课时练习）已知方程表示圆，则实数的取值范围是________.【答案】方程可化为：，因为方程表示圆，所以 ，解得 ，故答案为：重点题型四：点与圆的位置关系典型例题例题1．（2022·四川省内江市第六中学高二开学考试（理））点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．【答案】B因为 ，所以 ，由于点 在圆 内所以，所以，所以 故选：B例题2．（2022·全国·高三专题练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（   ）A．1 B．2 C．2或1 D．或【答案】A因圆过原点，于是得，解得：或，当时，原方程为，它是一个点，不是圆，当时，原方程为，它是以为圆心，为半径的圆，所以实数的值为1.故选：A例题3．（2022·辽宁丹东·一模）“”是“点在圆外”的（  ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B将化为标准方程，得当点在圆外时，有，解得∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.故选：B.同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】A由题意，表示圆故，即或点A（1，2）在圆C：外故，即故实数m的取值范围为或即故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部（不含边界），则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B圆，即，圆心，半径，因为点在圆的外部，所以点到圆心的距离大于半径，即，解得，故选：B.3．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知点是圆C:外一点，则m的取值范围为___________.【答案】由题设，圆的标准方程为，又在圆外，所以，解得.故答案为：.重点题型五：求动点的轨迹方程典型例题例题．（2022·全国·高二课时练习）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点的轨迹方程是___________．【答案】设，即，整理得：即．故答案为：．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆上一定点，为圆上的动点，则线段中点的轨迹方程为______________．【答案】设线段中点的坐标为，且点，又由，可得，解得，又由，可得，即.故答案为：.例题3．（2022·全国·高三专题练习）直线与圆相交于，两点，为圆心，当变化时，求弦的中点的轨迹方程．【答案】设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习（理））若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（        ）A． B． C． D．【答案】A设，则，即，化简得，所以点的轨迹为以为圆心，的圆，则圆心到直线的距离，所以点C到直线的距离的最小值为；故选：A.2．（2022·安徽滁州·二模（文））已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】B圆即,半径因为,所以又是的中点,所以所以点的轨迹方程为故选：B3．（2022·广东茂名·高三阶段练习）已知圆C：，点是圆上的动点，与圆相切，且，则点的轨迹方程是（       ）A． B．C． D．【答案】B解：因为圆C：，所以圆心，半径，因为点是圆上的动点，所以，又与圆相切，且，则，设，则，即，所以点的轨迹方程为；故选：B4．（2022·吉林省实验中学高二期末）动点M在圆上移动，则M与定点连线的中点P的轨迹方程为___________.【答案】##设，中点，则，即，因为在圆上，代入得．故答案为：.5．（2022·浙江·高三专题练习）已知点，P为圆上的动点，则线段AP中点的轨迹方程为___________.【答案】.设AP的中点为，，所以，而，所以，即AP中点的轨迹方程为：.故答案为：.6．（2022·上海·高三专题练习）自圆上点引此圆的弦，则弦的中点的轨迹方程为______．【答案】.解：设中点为,由中点坐标公式可知,B点坐标为．点在圆上,．故线段中点的轨迹方程为．不包括A点,则弦的中点的轨迹方程为故答案为：．7．（2022·江苏·高二）已知圆过三个点.(1)求圆的方程；(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.【答案】(1)(2)(1)解：设圆的方程为，因为圆过三个点，可得，解得，所以圆的方程为，即.(2)解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，联立方程组，解得或，所以点的轨迹方程为.重点题型六：关于点或直线对称的圆典型例题例题1．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（   ）A． B． C．1 D．2【答案】A解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称，所以直线过圆心，所以，又，所以即当取最大值为，故选：A.例题2．（2022·江苏·高二）求圆关于点对称的圆的方程为___________.【答案】圆化为标准方程为：.所以，半径.故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D.由中点坐标公式求得: ,所以对称圆的方程为：.故答案为：例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上一动点，关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，则的取值范围是___________.【答案】解：由题知：圆，圆心为，半径，设，则，所以，而，所以，所以的取值范围是，故答案为：.同类题型归类练1．（2022·河北·高三期中）若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是（       ）A．3 B．4 C．5 D．8【答案】B由题可知圆的圆心为，若圆上存在两点关于对称，则说明直线过圆心，即，即，变形可得故当且仅当，即时取得等号，故最小值为4.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）若直线始终平分圆，则（       ）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【答案】A解：由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．故选：A.3．（2022·江苏·高三专题练习）若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为（        ）A．1 B．5C．4 D．3＋2【答案】D由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．∴＋的最小值为3＋2.故选：D4．（2022·广东清远·高二期末）圆：关于直线：对称的圆的标准方程为_____________.【答案】.解：由圆：得其标准方程为，圆心的坐标为，半径.设圆心关于直线的对称点为，则，解得 ，所以所求圆的方程为.故答案为：.1．（2022·北京·一模）已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（       ）A． B． C．1 D．【答案】A由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，将圆的一般方程转变为标准方程： ，圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ， ， ，函数是开口向下，以   为对称轴的抛物线，所以 ，故选：A.2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C因为点在圆：的外部，所以，解得，又方程表示圆，所以，解得，故实数a的取值范围为．故选：C3．（2022·陕西西安·二模（理））已知，方程表示圆，则圆心坐标是______．【答案】方程表示圆，所以，解得或，当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；当时，方程，即，此时，方程不表示圆．综上所述，圆心坐标是．故答案为：．4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）过点作圆的切线有两条，则的取值范围是________【答案】表示一个圆，，又由过点作圆的切线有两条，得：P在圆外，所以，解得：或.综上所述：.所以的取值范围是.故答案为: .5．（2022·天津·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为，则__________．【答案】详解：的标准方程为，则圆心为，圆心到直线的距离为，解得，故答案为0.