第三章 圆锥曲线的方程 章末重点题型大总结（精讲）-高二数学上学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第一册）

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第三章 圆锥曲线的方程 章末总结（精讲）
目录
第一部分：知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：圆锥曲线的定义
重点题型二：圆锥曲线的标准方程
重点题型三：圆锥曲线的几何性质
重点题型四：椭圆、抛物线中的离心率问题
重点题型五：直线与圆锥曲线的位置关系
重点题型六：圆锥曲线中的中点弦问题
重点题型七：圆锥曲线中的弦长问题
重点题型八：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
重点题型九：圆锥曲线中的定点问题
重点题型十：圆锥曲线中的定值问题
重点题型十一：圆锥曲线中的定直线问题
重点题型十二：圆锥曲线中的向量问题








第一部分：知 识 框 架


第二部分：典 型 例 题 剖 析


重点题型一：圆锥曲线的定义
1．设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（       ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】D
因为，所以动点M的轨迹是线段，
故选：D
2．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.
因为，
所以.
故选：D
3．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
4．已知A（0，－4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，当a＝3和4时，点P轨迹分别为（　　）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线
C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线
【答案】D
∵A(0,－4)，B（0，4），
∴|AB|＝8，
又|PA|－|PB|＝2a，
∴当a＝3时，|PA|－|PB|＝6＜8，由双曲线定义可得点P的轨迹为双曲线的上支；
当a＝4时，|PA|－|PB|＝8，
∴点P的轨迹为y轴上的以点B为端点的方向向上的射线；
故选：D．
5．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（       ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】D
由已知，，所以点的轨迹是一条以为端点向轴正方向的射线.
故选：D.
6．若动点满足，则点的轨迹应为（     ）
A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆
【答案】B
动点满足，
可知：动点到定点与到定直线距离相等，
其中定点不在定直线上.因此P点的轨迹应为抛物线.
故选：B.
7．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于___________.
【答案】17
由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.
因为点与一个焦点的距离等于1，而，
故点与该焦点同在轴的上方或下方，
故点与另一个焦点的距离为，
故答案为：.
重点题型二：圆锥曲线的标准方程
1．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意可设双曲线的标准方程为，
因为双曲线的焦距为8，则2c＝8，所以c＝4，
又双曲线的离心率为，
所以a＝2，则，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B．
2．若抛物线的焦点坐标为，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意抛物线的焦点坐标为，故 ，
抛物线方程即，
故 ，
故选：C
3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（     ）
A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x
【答案】D
∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），
∴，可得.
又点M到准线l的距离为3，
∴，解得p＝2或p＝4.
则该抛物线的方程为 y2＝4 x或 y2 ＝ 8x.
故选：D.
二、解答题
4．求以坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（，）的椭圆的标准方程.
【答案】.
令椭圆方程为，
所以，可得，
故椭圆的标准方程为.
5．（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.
（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．
【答案】【小问1】
【小问2】
（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.
又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，
解得λ=11或(舍去).
故所求椭圆的标准方程为.
（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，
∴，解得，
∴该双曲线的方程为．
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，虚轴长为，离心率为；
(2)顶点间的距离为，渐近线方程为．
【答案】(1)
(2)焦点在轴上的双曲线的方程为；焦点在轴上双曲线的方程为
(1)解：由题意，双曲线的焦点在轴上，设所求双曲线的方程为1，
因为虚轴长为，离心率为，可得，解得，
所以双曲线的方程为．
(2)解：当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，
因为顶点间的距离为，渐近线方程为，
可得，解得，所以双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为1，
因为顶点间的距离为，渐近线方程为，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
7．根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)双曲线经过点，，焦点在x轴上；
(2)经过点，且与双曲线有相同的焦点．
【答案】(1)；(2).
(1)因双曲线的焦点在轴上，且，则设所求双曲线的方程为，
而双曲线过点，则有，解得，
所以所求双曲线的标准方程为.
(2)所求双曲线与双曲线有相同的焦点，则设所求双曲线的方程为，
而此双曲线过点，于是有，解得或（舍去），
所以所求双曲线的标准方程为.
8．回答下列各题.
(1)求经过点的抛物线的标准方程；
(2)求经过点，且与有相同的焦点的椭圆的标准方程.
【答案】(1)或(2)
(1)解：因为点在第三象限，
所以经过点的抛物线的焦点在轴的负半轴或轴的负半轴，
当抛物线的焦点在轴的负半轴时，设抛物线的方程为，
将点代入得，解得，
所以抛物线的方程为，
当抛物线的焦点在轴的负半轴时，设抛物线的方程为，
将点代入得，解得，
所以抛物线的方程为，
综上所述，经过点的抛物线的标准方程为或；
(2)解：椭圆的焦点为，
可设所求椭圆方程为，
将点代入得：
，
整理得，解得或（舍去），
所以椭圆的标准方程为.
9．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点；
(2)焦点在直线上.
【答案】(1)抛物线方程或，对应的准线方程分别是， .
(2)抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.
(1)设所求的抛物线方程为或，
因为过点，所以或，所以或.
所以所求的抛物线方程为或，对应的准线方程分别是或.
(2)令得，令得，
所以抛物线的焦点为或.当焦点为时，，
所以，此时抛物线方程；焦点为时，，
所以，此时抛物线方程为.
所以所求的抛物线的方程为或，
对应的准线方程分别是，.
重点题型三：圆锥曲线的几何性质
1．线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（       ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】B
若以为原点为x轴建立平面直角坐标系，

由，则，若，
故轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，且轨迹方程为，
所以|PM|的最小值是.
故选：B
2．过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（       ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
设双曲线的左、右焦点分别为，


．
故选：B
3．已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（       ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
由双曲线的对称性可得点Q在双曲线的左支上，且，

由可知，，
∴.
故选：C.
4．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
【答案】##
不妨设点为，，则，则
设圆的圆心为，则坐标为
则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.
又
当时，，当且仅当时取得等号；
故.
故答案为：.
5．已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．
【答案】[1,3]
由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.
故答案为：.
6．已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____.
【答案】
设点，则，可得，其中，
，
当且仅当时，取得最大值.
故答案为：.
7．双曲线上一点P到的距离最小值为___________.
【答案】2
设，则，即，
于是得，而，则当时，，
所以双曲线上一点P到的距离最小值为2.
故答案为：2
8．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
【答案】
如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，

而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，
从而得，即，
设点，而，，则，
当且仅当t=1时取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
9．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________.
【答案】
设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为
|AP|2=x2+（y﹣a）2
=x2+y2﹣2ay+a2，
∵x2=2y，
∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0）
=y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0），
∴对称轴为a﹣1，
∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，
∴a﹣1≤0解得a≤1，
又a＞0，
∴0＜a≤1，
故答案为：．
10．抛物线E：与圆M：交于A，B两点，圆心，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的取值范围是______.
【答案】
如图，可得圆心也是抛物线的焦点，PN交抛物线的准线于H，
根据抛物线的定义，可得，故的周长，

由，解得，
∵，且 ∴PH的取值范围为，∴，
∴的周长的取值范围为.
故答案为：.
重点题型四：椭圆、抛物线中的离心率问题
1．已知椭圆，焦距为，以点O为圆心，b为半径作圆O，若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，可得，，，
故，
在直角中，由，可得，
故，整理得，
所以，即，
所以，可得，解得.
即椭圆的离心率为.
故选：B.

2．设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
如图所示，椭圆，可得焦距，
因为在直线上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，
可得，即，可得，即，解得
又因为椭圆的离心率，所以.
故选：B.

3．已知椭圆，点C在椭圆上，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，若圆C与x轴相交于M，N两点，且为直角三角形，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
不妨设在第一象限，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，则，又在椭圆上，则，所以圆M的半径，因为为直角三角形，，即，化简可得，即，解得．
故选：C．
4．圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．
【答案】C
双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径为5，
因为圆C上有四个点到的距离为2，
所以圆心到的距离，即，
而，所以，即．
故选：C
5．已知双曲线的左右焦点分别为， ，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
因，则点是线段中点，由得，即AM垂直平分，
则有，，而，则，
又，令双曲线的半焦距为c，在中，，，
由余弦定理得：，即，
化简得，
所以双曲线的离心率是.
故选：C
6．（多选）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（       ）
A． B． C． D．2
【答案】AC
若曲线是椭圆则其离心率为；
若曲线是双曲线则其离心率为；
故选：AC
7．设、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为______．
【答案】
设，，所以，，，
所以，，．
，则，即，解得，
由，即，所以，，则，解得．

因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
8．设双曲线的焦距长为，直线过点、两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，
所以，，所以，，
解得或（舍去），所以.
故答案：.
9．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
设，，，则，
两式相减得，所以.
因为，，所以.
因为，，
所以，，故.
故答案为：．
重点题型五：直线与圆锥曲线的位置关系
1．已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
【答案】A
由，则，
则直线，恒过定点，
由，则点，在椭圆1内部，
∴直线与椭圆相交．
故选：A
2．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
根据曲线，得到，解得：；，
画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：

当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，
把直线代入椭圆方程得：，得到，
即，化简得：，解得或(舍去)，
则时，直线与曲线只有一个公共点；
当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，
当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，
则当时，直线与曲线只有一个公共点，
综上，满足题意得的范围是或．
故选：D．
3．过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线的条数是（       ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
当不存在时，直线不满足条件；
设直线，与双曲线方程联立可得 ，
即 ，
当时，即，当时，方程无解，不符合题意，
当时，方程只有一解，满足条件；
当时，，
即
解得：或（舍去），
综上可知，满足条件的有或，共2条直线.
故选：B
4．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
联立方程组，整理得，
设方程的两根为，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，
则满足，解得，
又由，解得,
所以的取值范围是.
故选：D.
5．关于的方程有解，则的取值范围是___________．
【答案】
表示过点的直线，
两边平方并化简得，
所以表示椭圆的上半部分.
，
由两边平方得，
，
令，
或（舍去）.
所以的取值范围是.
故答案为：

6．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为_______
【答案】
因为焦点在x轴上的椭圆，
所以
因为直线过定点，且直线与椭圆总有公共点，
所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，
即
解得，
综上，
故答案为：
7．直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围．
【答案】
由于椭圆的焦点在轴上，故
由，得，
则对恒成立，
即对恒成立．
因为，所以对恒成立，
故，即．
又因为，所以．
8．已知双曲线及直线.若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.
【答案】
联立，得，
由题意，知，
解得，且.
即实数的取值范围是.
重点题型六：圆锥曲线中的中点弦问题
1．已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
设直线交双曲线于点、，则，
由已知得，两式作差得，
所以，，即直线的斜率为，
故直线的斜率为，即.经检验满足题意
故选：B.
2．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，
由得：，又，
于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，
所以这条弦所在的直线方程是.
故选：B
3．直线与双曲线的同一支相交于两点，线段的中点在直线上，则直线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
设、，线段的中点，
由已知，两点在双曲线上，所以x122-y12=1x222-y22=1，两式做差可得，
点在直线上，所以，代入上式可得，
故直线的斜率为.
故选：D.
4．直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
设，，因点A，B在双曲线 上，
则，，两式相减得：，
因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，
此时，直线l的方程为：，
由消去y并整理得：，，
即直线l与双曲线 交于两点，
所以直线l的斜率为1.
故选：D
5．已知点是抛物线上的两点，点是线段的中点，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
设 则 ，由中点坐标公式可得
两式相减可得， 则直线的斜率
直线的方程为 即
联立方程可得

故选C．
6．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是______________
【答案】
设的坐标分别为 ，
则 ，
将两式相减得：，
整理得：，
根据点恰为弦中点，可知 ，
，即直线斜率是 ，
故答案为：
7．已知抛物线，直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率__________．
【答案】
设，因为，
以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，所以，
因为，
所以，
故答案为：.
8．已知双曲线方程为，求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程.
【答案】
设以为中点的弦的两端点为，，则，，
根据对称性知，由，在双曲线上，则有，，
两式相减得，，
过点且斜率的直线方程为，即，
由消去y并整理得：，，
从而得直线与双曲线相交，
所以以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为.
重点题型七：圆锥曲线中的弦长问题
1．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
2．已知椭圆x2+4y2＝16，直线l过点其左焦点F1，且与椭圆交于A、B两点，若直线l的斜率是1，则弦长|AB|＝__．
【答案】##
椭圆的标准方程为1，其中a＝4，b＝2，
则c2，，
又由直线的斜率为1，则直线的方程为
与椭圆的方程联立可得：

弦长|AB|；
故答案为：
3．设椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求弦的长度．
【答案】(1)(2)
(1)解：将点代入椭圆的方程得，所以．
又由，得，即，所以．
所以椭圆C的方程为．
(2)解：过点且斜率为的直线方程为，
设直线与的交点为，，
联立方程，消去得，
得，．
由弦长公式
4．给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．
①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；
②求弦长的最大值．
【答案】(1)(2)；
(1)由题可知，，，又，解得，故椭圆的标准方程为：；
(2)①由（1）可求“伴随圆”为：，因为，所以圆心到直线距离为，由圆心到直线距离公式得，解得；
②联立直线与椭圆方程，得，由得，由得，，设，则，
由弦长公式可得：

，当且仅当时取到等号，故
5．已知双曲线（，）的右焦点为，离心率，虚轴长为.
(1)求的方程；
(2)过右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于､两点，求.
【答案】(1)；(2).
(1)由题意可得：，解得：，所以双曲线的方程为.
(2)由（1）知：，所以，可得直线的方程为：，
设，，由可得：，
所以， ，
所以
，
所以弦长.
6．直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标等于，求弦的长．
【答案】
直线代入抛物线，整理可得，
设，，由AB的中点的横坐标为2，
所以4得：k＝-1或2，
当k＝-1时，有两个相等的实数根，不合题意，
当k＝2时，|AB|．
综上，弦的长为.
7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于，两点，求弦长．
【答案】(1)(2)
(1)解：在抛物线上，且，，则，
故抛物线的方程为；
(2)解：联立，可得．
设，，，，则，，
．
8．已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，且一个焦点与抛物线：的焦点重合．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过抛物线的焦点且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点，求．
【答案】(1)(2)
(1)由双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，
，
又抛物线：的焦点为，则，
由已知可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为．
(2)抛物线的焦点坐标为，直线l的斜率为1，直线l的方程为，
设，，
由得：，，
．
重点题型八：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
1．已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．
【答案】(1)(2)6
(1)由题意可得，
所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；
(2)由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，则由根与系数关系有，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，
所以四边形ABDE面积为，令得，
由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．
2．已知椭圆C：经过点，其长半轴长为2.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设经过点的直线与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求的面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：由已知得，∴椭圆C的方程为
∵椭圆经过点，
∴，解得
∴椭圆C的方程为
(2)解：由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
由，消去得，
∴，，，
∵为点关于轴的对称点，
∴，直线的方程为，
即
令，则
∴，
∴的面积
，
令，则，
∴，又函数在上单调递增，
所以，
∴，
∴的面积的取值范围是
3．已知椭圆的两焦点分别为、，为椭圆上一点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第二象限，，求△的面积．
【答案】(1)(2)
(1)解:∵椭圆的两焦点分别为、，
∴设椭圆的方程为，，
，
．，
椭圆的标准方程为．
(2)解：在△中，由余弦定理得，
即，
，
，
．
4．已知P是圆O：上一动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)若A是椭圆E的右顶点，过左焦点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积.
【答案】(1)(2)
(1)设，，，
因为
所以
从而，代入得
即为所求.
(2)由，得，
所以，,
所以过且斜率为的直线的方程为，
联立消去x，得，
显然，设，，
则，
∴，
∵A是椭圆E的右顶点，
∴，
∴△AMN的面积.
5．在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C1以椭圆C2：1长轴的两个端点为焦点，以C2的焦点为顶点．
(1)求C1的标准方程；
(2)过（0，1）的直线l与C1的右支相切，且与C2交于点M，N，求 OMN的面积．
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意得双曲线a＝1，c＝2，
则b²＝c²﹣a²＝3，
所以C1的标准方程为：；
(2)设过（0，1）的直线l的方程为y＝kx+1，
联立，可得（3﹣k²）x²﹣2kx﹣4＝0，
因为直线与双曲线相切，
所以Δ＝4k²+16（3﹣k²）＝0，
解得k＝±2，
因为直线l与双曲线右支相切，
所以l方程为：y＝﹣2x+1，
联立，可得19x²﹣16x﹣8＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2，
则|MN||x1﹣x2|•，
又原点O到直线l的距离d，
所以 OMN的面积Sd•|MN|．
6．已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)解：因为双曲线的一条渐近线方程是，
所以，即
因为焦距为4，所以，即
因为，
所以，
所以双曲线的方程为
(2)解：由题知双曲线的右焦点为，
故设直线的方程为，
则联立方程得，
设，，
所以，
因为直线与双曲线的右支交于A，B两点，
所以，即且，
所以，解得：且
因为直线与轴交于点，所以，
因为，所以
所以，
点到直线的方程为距离为，
所以面积为，
令，则，
所以，
因为在是单调递减函数，
所以，
所以.
所以面积的取值范围为
7．已知抛物线C： 的焦点为F，并且经过点A（1，﹣2）．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过原点O作倾斜角为 的直线l交抛物线C于M，N两点，求 的面积．
【答案】(1)(2)2
(1)把点A（1，﹣2）代入抛物线C：，可得 ，
解得p＝2，所以抛物线C的方程为C： ；
(2)抛物线的焦点为F（1，0），过原点O作倾斜角为的直线l方程为y=x，
联立，解得或．
不妨设M（0，0），N（4，4）．
则△FMN的面积为 ，
所以所求△FMN的面积为2．
8．已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且．
(1)求曲线C和曲线E的方程；
(2)若直线l：交曲线C于P、Q两点，1交y轴于点R．求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）．
【答案】(1)C：，E：(2)
(1)，椭圆C：
又，椭圆C：抛物线E：．
(2)设，
联立
由，且，
，
原点O到直线l距离，
，
令，所以，
当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为．
9．已知直线是抛物线的准线，是坐标原点，是上一点，过作，垂足为，已知.
(1)求的方程；
(2)直线经过的焦点，且与交于两点，若，求的面积.
【答案】(1)(2)
(1)由题可知准线的方程为.
因为，所以.
又，所以，
故的方程为.
(2)由（1）可知.
因为，所以直线的方程为，设，
联立方程组整理得，
则，故.
点到直线的距离，
则的面积.
10．已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2．
(1)求实数的值；
(2)若过焦点F的动直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作抛物线的切线、，且、的交点为Q，、与y轴的交点分别为M、N．求面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为点到其焦点F的距离为2，由抛物线的定义知
解得
(2)由上问可知，抛物线方程E：
设，，（，），
设l：，联立，得，
判别式，故R
，
设：
联立方程组，消x得，
所以
所以
则：，即，令，得，
同理：，，
联立，得交点Q的横坐标为，
∴
∴面积的取值范围是．
重点题型九：圆锥曲线中的定点问题
1．已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．
(1)求椭圆的方程
(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：依题意、，又，解得，，
所以椭圆方程为，离心率；
(2)解：由（1）可知，
当直线斜率存在时，设直线为，联立方程得，消去整理得，
设，，所以，；
因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以；
即
所以，
即，
所以，即，所以或，
当时，直线：，恒过定点，因为直线不过A点，所以舍去；
当时，直线：，恒过定点；
当直线斜率不存在时，设直线，，，
则，且，
解得或（舍去）；
综上可得直线恒过定点.
2．已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.
(1)求椭圆与圆的方程；
(2)若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
【答案】(1)椭圆C：，圆O：(2)为定值，且该定值为0
(1)设椭圆C的半焦距为c，
根据题意得
又∵经过点，
∴，
解得
∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.
(2)设联立l与椭圆方程，
化简整理得
则
∵
∴




综上所述，为定值，且该定值为0.
3．已知点，点P是圆B：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线BP交于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，点E在x轴上且使得对任意直线l，OE都平分．求点E的坐标．
【答案】(1)(2)
(1)由题意知，，所以，
由椭圆定义知点Q的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，设椭圆C：，其中，，即，，则，所以点Q的轨迹方程C为．
(2)设，当l与x轴垂直时，恒成立，
当l与x轴不垂直时，因为OE都平分，即，所以，
设，，直线l的斜率为，则直线l的方程为，
又，，
所以，
又，，所以，
即，
联立方程组消去y，得，，
所以，，代入上式可得，即点．
4．已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点、在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线：与双曲线相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析，.
(1)由题意设双曲线的标准方程为，
由已知得：解得，
∵且的面积为1，
∴，，
∴
∴，，
∴双曲线的标准方程为．
(2)证明：设，，联立与双曲线
得，
，
即，
则，
又，
∵以为直径的圆过双曲线的右顶点
∴，即，
∴，
∴，
化简，得，即
∴，，且均满足，
当时，直线的方程为，
直线过定点，与已知矛盾．
当时，直线的方程为，过定点，
所以直线过定点，该定点的坐标为．
5．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且点F与圆M：(x+4)2+y2＝1上点的距离的最大值为1．
(1)求p；
(2)已知直线l：y＝kx+4与C相交于A，B两点，过点B作平行于y轴的直线BD交直线l'：y＝﹣4于点D．问：直线AD是否过y轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【答案】(1)p＝2(2)直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)
(1)由抛物线的方程可得焦点F(0，)，
圆M：(x+4)2+y2＝1可得圆心M(﹣4，0)，半径r＝1，
F到圆M的最大距离为：|FM|+r1，
由题意可得11，p＞0，
解得：p＝2；
(2)由(1)得抛物线的方程为：x2＝4y，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，整理可得：x2﹣4kx﹣16＝0，
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，
由题意可得D(x2，﹣4)，
所以直线AD的方程为：y+4(x﹣x2)x，
令x＝0，可得y0，
所以直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)．
6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；
(3)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．
【答案】(1)y2＝8x(2)（2，4）或（2，-4）(3)证明见解析
(1)（1）抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为，
即，则，
解得p＝4，
故抛物线的方程为y2＝8x，
(2)设P（x0，y0），由抛物线的定义可知，即，
解得x0＝2，
将x0＝2代入方程y2＝8x，
得y0＝±4，
即P的坐标为（2， 4）或（2，-4）．
(3)由题意知直线l不能与x轴平行，
故方程可设为x＝my+n（n≠0），
与抛物线联立得，消去x得y2﹣8my﹣8n＝0，
设A（x1，y1）B（x2，y2），
则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，
由OA⊥OB，所以，所以x1x2+y1y2＝0，又，
所以，即，
亦即﹣8n（1）＝0，又n≠0，
解得n＝8，
所以直线方程为x＝my+8，易得直线l过定点（8，0）．
重点题型十：圆锥曲线中的定值问题
1．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)
(2)存在点，使得为定值.
(1)设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
整理得，则曲线E方程为；
(2)当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点
联立方程组，消可得，
设，，
可得，，
所以


.
要使上式为定值，则，解得，
此时
当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.
所以，存在点，使得为定值.
2．已知定点，动点满足：直线，的斜率之积为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设的轨迹为．直线过抛物线的焦点且与相交于不同的两点，．在轴上是否存在一个定点，使得的值为定值？若存在，写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)1；
(2)存在一个定点.
(1)设 ，因为直线，的斜率之积为．
所以，整理得方程为1 .
即动点的轨迹方程为1.
(2)因为抛物线的焦点，
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
代入椭圆方程，得，
设，则，，
，
故
，
令，则,
所以，解得m，此时；
当直线与轴垂直时，的方程为，
代入椭圆方程解得，所以；
综上所述：在轴上存在一个定点，使得为定值．
3．已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.
(1)求的标准方程；
(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)为定值，定值为1
(1)解：因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，点关于x轴的对称点为也在椭圆上，再由点到的两焦点的距离之和为可得，即，
又椭圆的离心率，所以，
可得，
所以椭圆的方程为：；
(2)解：为定值，且定值为1，
证明如下：设 ，则，
联立，整理可得：，
则，
直线的方程为：，
令，可得
；
所以当变化时直线与轴交于定点，
所以，
即为定值，且定值为.
4．已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)见解析.
(1)虚轴长为4，，即，
直线为双曲线的一条渐近线，
，，
故双曲线的标准方程为．
(2)由题意知，，，
由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，
设，，，
联立，得，
，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
，为定值．

5．已知双曲线的渐近线方程为：，且过点
（1）求双曲线的标准方程
（2）过右焦点且斜率不为的直线与交于，两点，点坐标为，求
【答案】（1）；（2）
（1）由题意可得： 解得：，所以
所以双曲线的标准方程为；
（2），所以，
设直线：，，，
由 可得：，
所以，，


，
所以.
6．已知抛物线上一点到焦点的距离．
(1)求C的方程；
(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得
所以抛物线的方程为．
(2)证明：①直线斜率不存在时，
可设，，
，
，，
又，，
，解得，
，为垂足，
，
故存在定点，使得为定值，
②直线斜率存在时，设直线，解得，
设，，，，则，，
因为，所以，
得，
所以，
得，即，
当时，过定点，不符合题意；
当时，直线过点，
所以点在以为直径的圆上，
故当为的中点时，定值．
7．已知曲线E上的点到的距离比它到直线的距离小1.
(1)求曲线E的方程；
(2)若直线l经过点F，与曲线相交于A，B两点，与直线相交于点C，已知点，设直线PA，PB，PC的斜率分别为，，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析，.
(1)由题设，令曲线E上的点为，则，
当时，，整理得且，满足前提；
当时，，整理得且，不满足前提；
所以曲线E的方程为.
(2)由题设，直线l的斜率必存在且不为0，设，则，
联立，整理可得：，则，，
所以，
又，，且，，，
则，故为定值.
重点题型十一：圆锥曲线中的定直线问题
1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．
(1)求C的方程；
(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
(1)由题意知，
，化简得，
解得，故椭圆的方程为；
(2)设过点G的直线方程为，
，消去x，得，
，设，
则，所以
又，得，
所以直线AM的方程为，
直线BN的方程为，两式相除，
得，即，
又，
即，解得，
即直线AM与BN的交点的横坐标为4，
所以直线AM与BN的交点在定直线上.

2．已知椭圆的左､右顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，且椭圆的焦距为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于，（其横坐标）两点，直线与的交点为，试问点是否在定直线上？若在，请给予证明，并求出定直线方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，证明见解析，点在定直线
(1)由题意可得，，设，
则，，所以.
因为点在椭圆上，所以，所以，
则.
因为，且，所以，，
故椭圆的标准方程为.
(2)设，，
联立，整理得，
则，.
由（1）可知，，
则直线的方程为，直线的方程为，
从而，即，
解得：.
故点在定直线上.
3．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
4．如图所示，P（在函数的左边）与Q（在函数的右边）分别为函数的两个点，F为该抛物线的焦点．

（1）若P的坐标为（-2，t），连接PF交抛物线另一点于H点，求H点的坐标；
（2）记PQ直线为m，其在y轴上的截距为6，过P作抛物线的切线，交抛物线的准线于M点，连接QF，若QF恰好经过M点，求直线m的方程．
【答案】（1）（2，1）；（2）．
（1）∵P位于抛物线上，故P的坐标为（-2，1）-
又∵F为抛物线的焦点，得2p=4，解得故F：（0，1）
则过PF的直线为y=1
根据抛物线的对称性，则H点坐标为（2，1）-
（2）由（1）可知，抛物线的准线方程应当为y=-1
令P：）；Q：
设过PQ的直线m为，将其代入抛物线
得，故
因为P为切点，故其切线方程为,根据化简得
当y=-1时，得，得
故M点的坐标为（，-1）Q点的坐标为
则MQ直线方程为，其过点（0，1），
故有，化简得
得，化简得
得，故，（舍）
故解得4k=2，得k=，直线m的方程为
5．设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
（1）由题意，得，则，解得，
故抛物线的方程为.
（2）证明：设，，，
直线的方程为.
由得，
，.
由，，得，，
故，化简得.
又，故，
化简得，
即，则或.
当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符.
故点在定直线上.
6．已知抛物线上的点到其焦点距离为3，过抛物线外一动点作抛物线的两条切线，切点分别为，且切点弦恒过点.

（1）求和；
（2）求证：动点在一条定直线上运动.
【答案】（1），.（2）证明见解析
（1）由题意得
抛物线方程为，∴，
（2）首先推导抛物线切线方程的一般性：设抛物线上的一点为，由，所以抛物线过点的切线的斜率为，切线方程为，化简得.
设
∴抛物线的切线的方程：
抛物线的切线的方程：
∵均经过，∴
故直线即过，也过
故方程：
∵它恒过，∴，∴它在上运动.
重点题型十二：圆锥曲线中的向量问题
1．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点A作倾斜角为的直线与C相交于A，B，且，其中O为坐标原点．

(1)求椭圆的离心率e；
(2)若，过点F作与直线平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点．
①求的值；
②点M满足，直线与椭圆的另一个交点为N，若，求的值．
【答案】(1)(2)①；②.
(1)解：由题意得：，
所以，代入椭圆方程得，即，
所以椭圆的离心率是；
(2)①由（1）知：b=1, ，则椭圆方程为：，
设直线方程为：，
与椭圆方程联立，消去x得，
设，
则，
则，
，
所以；
②设，因为，所以，
则，
因为，
所以，则，
因为P，Q，N在椭圆上，
所以，
则，
即，
由①知，
所以，解得.
2．设，，分别为椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为．
(1)求椭圆的焦距；
(2)如果，求椭圆的方程．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为直线的倾斜角为且过点，
所以直线的方程为，
到直线的距离为，
，解得，
椭圆的焦距.
(2)由（1）可得，设，，
联立，整理可得
，
解得①，②，
因为，即，所以③，
由①③得，④，
将④代入②得，整理得⑤，
因为，所以，代入⑤得，
因为，所以，
故椭圆的方程为.
3．已知椭圆的焦距为为C上不同的三点，关于原点对称，直线与的斜率之积为．
(1)求C的方程；
(2)已知直线过点，与C交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)设，则，为C上的三点，，直线与的斜率之积为，，，化简整理得，由，，所以椭圆C的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时，，，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
设，则，      
， .
综上，.
的取值范围为.
4．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.
(1)求双曲线的方程；
(2)求的取值范围（为坐标原点）.
【答案】(1)；(2)或.
(1)解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为
∵双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，
∴， ，∵   ∴，
∴双曲线的方程为.
(2)解：点的坐标为，设过的直线的方程为，
与双曲线方程联立可得消去可得
①，不符合题意，舍去；
②时，得.
设，，则，
∴
∴.
∵，, ∴，
∴或 ∴或
∴或.
5．已知双曲线C的方程为（），离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以
，故双曲线的标准方程为.
(2)当直线斜率存在时，设直线的方程为，
则由消去，得到，
∵直线与双曲线交于M､N两点，，解得.
设，则有，，
因此，
∵，∴且，故或，
故；
②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.
综上所述，所求的取值范围是.
6．已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且.
(1)求曲线C和曲线E的方程；
(2)若直线l：交曲线C于P､Q两点，交y轴于点R.
（i）求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）.
（ii）若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)（i）；（ii）
(1)，椭圆C：
又，椭圆C：，抛物线E：.
(2)（i）设，
联立
由，且，
，
原点O到直线l距离，
，
令，所以，
当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为.
（ii），，，
，，
又，，（）
.
7．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明：直线过定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)∵抛物线过点，
．．
∴动点的轨迹的方程为．
(2)设，，
由得，
，．
，
．
，
或．
，
舍去．
，满足．
∴直线的方程为．
∴直线必经过定点．