2022-2023学年江苏省无锡市九年级下册月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市九年级下册月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市九年级下册月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：(本题8个小题，每题3分，共24分。请把选一选答案填写在下表中）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 高考
2. 计算(－a3)2的结果是 （ ）高考
A. －a5 B. a5 C. a6 D. －a6高考
3. 若△ABC∽△A′B′C′，AB=2，A′B′=4，则△ABC与△A′B′C′ 的面积的比为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 中考模拟1：4 D. 4：1
4. 如下图所示，该几何体的俯视图是 （ ）高考

A B. C. D.
5. 无理数a满足： 2＜a＜3，那么a可能是（ ）高考
A. B. C. D.
6. 为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（ ）高考
阅读量（单位：本/周）

0

1

2

3

4
高考
人数（单位：人）

1

4
高考
6
高考
2

2

高考
A. 中位数是2 B. 平均数是2 C. 众数是2 D. 极差是2
7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后，
所得函数的图像与轴的两个交点之间的距离为2个单位，则平移方式为（ ）
A. 向上平移2017个单位 B. 向下平移2017个单位
C. 向左平移2017个单位 D. 向右平移2017个单位高考
8. 如图，函数与反比例函数的图像交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图像于点M、N，则四边形PMON面积的值是（　 　）高考
高考
A. B. C. 6 D. 12
二、填 空 题: (本题10个小题，每题3分，共30分。不需写出解答过程，并把填 空 题答案填在相应的横线上）
9. 根据“精准扶贫”，每年要减贫约人，将数据用科学记数法表示为__________．
10. 函数的自变量x的取值范围是______．高考
11. 分解因式：ax2﹣2a2x+a3=_____________ .
12. 计算：的结果是_____．
13. 已知，则 _______ .
14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=105°，则∠BOD等于_____．
高考
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____°．
高考
16. 函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是_____．

17. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－5
－4
－3
－2高考
－1高考
…高考
y
…
3
－2
－5高考
－6
－5高考
…高考
则关于x一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是______．
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是_____．（把你认为正确的说法的序号都填上）高考

三、解 答 题：（本题共9个小题，共计96分。请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）。
19. （1）计算：； （2）解不等式组:．高考
20. 已知x、y满足方程组，求代数式的值．高考
21. 为迎接2018年中考，我校对初三学生进行了数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生?
(2)求样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
(3)我校初三共有700人参加了这次数学考试，请估计我校初三共有多少名学生的数学成绩可以达到?高考

22. “邮扬新干线”是指从高邮站开往扬州站的公交车，中途只停靠江都站，现甲、乙、丙3名不相识的乘客同时从高邮站上车．
（1）求甲、乙、丙三名乘客在同一个站下车的概率；高考
（2）求甲、乙、丙三名乘客中至少有一人在江都站下车的概率．高考
23. 某文化用品商店用1 000元购进一批“晨光”套尺，很快一空；商店又用1 500元购进第二批该款套尺，购进时单价是批的倍，所购数量比批多100套．高考
（1）求批套尺购进时单价是多少？
（2）若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？
24. 如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O,∠ABC=60°，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：四边形ABEC为菱形；
(2)若AB=6，连接OE，求OE值.高考

25. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；高考
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．
26. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．

（1）已知A(2，3)，B(5，0)，C(，2)．高考
①当时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 ；高考
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，则t的值为 ；
（2）已知点D(1，1)，点E(，)，其中点E是函数的图像上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．
27. 2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个中选择一个进行生产，一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品价为120元，每年最多可生产125万件；二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品价为180元，每年可生产120万件，另外，年x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个的年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得，你会选择哪个？
28. 已知矩形OABC在如图所示平面直角坐标系中，点B坐标为（4，3），连接AC．动点P从点B出发，以2cm/s的速度，沿直线BC方向运动，运动到C为止（不包括端点B、C），过点P作PQ∥AC交线段BA于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm2），设点P的运动时间为t（s）．
（1）请用含t的代数式表示BQ长和N点的坐标；
（2）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；高考
（3）如图2，点G在边OC上，且OG=1cm，在点P从点B出发的同时，另有一动点E从点O出发，以2cm/s的速度，沿x轴正方向运动，以OG、OE为一组邻边作矩形OEFG．试求当点F落在正方形PQMN的内部（不含边界）时t的取值范围．高考
























2022-2023学年江苏省无锡市九年级下册月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选：(本题8个小题，每题3分，共24分。请把选一选答案填写在下表中）高考
1. 的倒数是（ ）高考
A. B. C. D.
【正确答案】C高考
高考
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】∵，∴的倒数是.高考
故选C
2. 计算(－a3)2的结果是 （ ）
A. －a5 B. a5 C. a6 D. －a6
【正确答案】C

【分析】根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即可得出结果
【详解】，故选C.高考
本题考查幂的乘方，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握幂的乘方法则，即可完成.

3. 若△ABC∽△A′B′C′，AB=2，A′B′=4，则△ABC与△A′B′C′ 的面积的比为（ ）高考
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
【正确答案】C

【详解】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到结果.
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比是1∶2
∴△ABC与△A′B′C′ABC面积的比是1∶4高考
故选C.
“点睛”本题是相似三角形的性质的基础应用题，难度一般，学生只需熟练掌握三角形的面积比与相似比的关系即可轻松完成.高考
4. 如下图所示，该几何体的俯视图是 （ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B高考

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.高考
【详解】从上面看是三个长方形，故B是该几何体的俯视图.
故选B.高考
本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
5. 无理数a满足： 2＜a＜3，那么a可能是（ ）
A. B. C. D. 高考
【正确答案】B

【详解】解：∵，∴无理数a可能是．故选B．
6. 为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（ ）
阅读量（单位：本/周）
高考
0

1
高考
2
高考
3

4

人数（单位：人）
高考
1
高考
4

6
高考
2
高考
2


A. 中位数是2 B. 平均数是2 C. 众数是2 D. 极差是2高考
【正确答案】D高考
高考
【详解】试题分析：根据表格中的数据，求出中位数，平均数，众数，极差，即可做出判断．高考
15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，高考
中位数为2；平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15=2；
众数为2；极差为4﹣0=4；所以A、B、C正确，D错误
考点：（1）极差；（2）加权平均数；（3）中位数；（4）众数．
7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后，
所得函数图像与轴的两个交点之间的距离为2个单位，则平移方式为（ ）
A. 向上平移2017个单位 B. 向下平移2017个单位高考
C. 向左平移2017个单位 D. 向右平移2017个单位高考
【正确答案】A
高考
【详解】解：二次函数y=（x﹣2016）（x﹣2018）﹣2017向上平移2017个单位后得到二次函数y=（x﹣2016）（x﹣2018），该函数与x轴交于（2016，0）和（2018，0），两交点之间的距离为2，符合题意．故选A．
8. 如图，函数与反比例函数的图像交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图像于点M、N，则四边形PMON面积的值是（　 　）
高考
A. B. C. 6 D. 12高考
【正确答案】A高考

【详解】解：设反比例函数解析式为y=，函数解析式为y=ax+b，将点A（1，12）代入y=中，得k=12，∴反比例函数解析式为y=，将点A（1，12）、B（6，2）代入y=ax+b中，得，解得，∴函数解析式为y=﹣2x+14．
设点P的坐标为（m，14﹣2m），则S四边形PMON=S矩形OCPD﹣S△OCM﹣S△ODN=S矩形OCPD﹣|k|=m（14﹣2m）﹣12=﹣2m2+14m﹣12=﹣2+，∴四边形PMON面积的值是．
故选A．
点睛：本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数与函数交点的问题，解题的关键是找出S四边形PMON关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，利用分割图形求面积法是解题的关键．
二、填 空 题: (本题10个小题，每题3分，共30分。不需写出解答过程，并把填 空 题答案填在相应的横线上）
9. 根据“精准扶贫”，每年要减贫约人，将数据用科学记数法表示为__________．
【正确答案】1.17×107高考

【详解】解：=1.17×107．故答案为1.17×107．
10. 函数的自变量x的取值范围是______．高考
【正确答案】x≤3
高考
【详解】由题意可得，3-x≥0，
解得x≤3．
故x≤3．
11. 分解因式：ax2﹣2a2x+a3=_____________ .
【正确答案】a（x﹣a）2

【详解】原式=a（x2﹣2ax+a2）=a（x﹣a）2.高考
12. 计算：的结果是_____．高考
【正确答案】

【详解】试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可，

考点：二次根式的加减
13. 已知，则 _______ .
【正确答案】2019高考

【详解】解：∵m2+m﹣1=0，∴m2+m=1，∴m3+2m2+2018高考
=m（m2+m）+m2+2018
=m+m2+2018
=1+2018
=2019．
故答案为2019．
点睛：本题主要考查了因式分解的应用，根据已知正确将原式分解出现m2+m是解题的关键．
14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=105°，则∠BOD等于_____．
高考
【正确答案】150°

【详解】解：∵⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=105°，∴∠C=75°，∴∠BOD=150°．故答案为150°．高考
点睛：此题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，正确掌握相关定理是解题关键．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____°．

【正确答案】36高考
高考
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=72°，高考
∴∠DBC=36°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=72°﹣36°=36°，高考
故答案为36高考
本题考查等腰三角形的性质．
16. 函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是_____．高考
高考
【正确答案】

【分析】高考
【详解】解：根据图象和数据可知，当y>0即图象在x轴的上方，．
故答案为．高考
17. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x高考
…高考
－5
－4
－3
－2
－1
…
y高考
…
3
－2高考
－5
－6
－5高考
…
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是______．
【正确答案】x1=-4，x2=0高考
高考
【详解】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．∵x=﹣4时，y=﹣2，∴x=0时，y=﹣2，∴方程ax2+bx+c=3的解是x1=﹣4，x2=0．故答案为x1=﹣4，x2=0．高考
点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．高考
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是_____．（把你认为正确的说法的序号都填上）
高考
【正确答案】②④．

【分析】根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以A B中点O为圆心，AO为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出③错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度．高考
【详解】解：如图：
∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，
∴∠AGB保持90°不变，高考
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，
∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点， 高考
∴AG=GE，故①错误；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，高考
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，高考
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
，
∴故②正确；
∵当E点运动到C点时停止，
∴点G运动的轨迹为圆，
圆弧的长=×π×2=，故③错误；高考
由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
OC=，
CG的最小值为OC-OG=-1，故④正确；高考
综上所述，正确的结论有②④．
故②④．高考

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，利用隐圆求最值，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键．

三、解 答 题：（本题共9个小题，共计96分。请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）。高考
19. （1）计算：； （2）解不等式组:．
【正确答案】（1）2；（2）不等式组的解集为.
高考
【详解】试题分析：（1）根据实数的运算法则进行求解即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解.
试题解析：（1）原式
（2）解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集为
20. 已知x、y满足方程组，求代数式值．高考
【正确答案】
高考
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．
【详解】原式=（x2-2xy+y2）-（x2-4y2）=x2-2xy+y2-x2+4y2=-2xy+5y2，
方程组，
①+②得：3x=-3，即x=-1，
把x=-1代入①得：y=，高考
则原式=.
此题考查了代数式求值，以及解二元方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 为迎接2018年中考，我校对初三学生进行了数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：高考
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生?
(2)求样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；高考
(3)我校初三共有700人参加了这次数学考试，请估计我校初三共有多少名学生的数学成绩可以达到?
高考
【正确答案】（1）50人；（2）10；（3）140人
高考
【详解】试题分析：（1）根据差学生的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）根据（1）求出的总人数乘以“中”所占的百分比求出“中”的人数，从而补全统计图；
（3）用初三的总人数乘以人数所占的百分比，即可得出答案．
试题解析：解：（1）这次调查中，一共抽取的学生数是：=50（人）；
（2）“中”的人数有：50×20%=10（人）；补图如下：

（3）根据题意得：　700×=140（人）．
答：该校初三共有140名学生的数学成绩可以达到．
22. “邮扬新干线”是指从高邮站开往扬州站的公交车，中途只停靠江都站，现甲、乙、丙3名不相识的乘客同时从高邮站上车．
（1）求甲、乙、丙三名乘客在同一个站下车的概率；
（2）求甲、乙、丙三名乘客中至少有一人在江都站下车的概率．
【正确答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由（1）可求得甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在江都站下车的有7种情况；然后利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：解：（1）画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的有2种情况，∴甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的概率为：=；高考
（2）∵甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在江都站下车的有7种情况；高考
∴甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在江都站下车的概率为：．
23. 某文化用品商店用1 000元购进一批“晨光”套尺，很快一空；商店又用1 500元购进第二批该款套尺，购进时单价是批的倍，所购数量比批多100套．
（1）求批套尺购进时单价是多少？
（2）若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？
【正确答案】 （1）2高考
（2）

【分析】（1）设批套尺购进时单价是x元/套，则设第二批套尺购进时单价是元/套，根据题意可得等量关系：第二批套尺数量﹣批套尺数量=100套，根据等量关系列出方程即可；
（2）两批套尺得总数量×4﹣两批套尺的总进价=利润，代入数进行计算即可．高考
【详解】（1）设批套尺购进时单价是x元/套．
由题意得：，
解得：x=2．
经检验：x=2是所列方程的解．
答：批套尺购进时单价是2元/套；高考
（2）（元）．
答：商店可以盈利1900元．
分式方程的应用．高考
24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,∠ABC=60°，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.高考
(1)求证：四边形ABEC为菱形；高考
(2)若AB=6，连接OE，求OE的值.
高考
【正确答案】（1）见解析（2）高考

【分析】（1）先证明四边形ABEC为平行四边形，再利用△ABC为等边三角形证明四边形ABEC为菱形；高考
（2）求出OB长，证明∠OBC=90°，再根据勾股定理解答即可．高考
【详解】解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB=BC，AB∥DE．
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC为平行四边形．高考
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，高考
∴平行四边形ABEC为菱形；
（2）∵AB=6，∠ABC=60°，△ABC为等边三角形，
∴∠OBC=30°，OB=3，高考
∵∠CBE=∠ACB=60°，
∴∠OBE=30°+60°=90°，
∴OE=．高考
本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
25. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．
高考
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）相切，理由见解析；（3）
高考
【分析】（1）根据圆周角定理，由得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；
（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；
（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE-CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD进行计算．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠DCE=∠BAD，
∴∠ACD=∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，高考

∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
而∠OCD=∠DCE，
∴∠DCE=∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD=EH，
∵CE=1，AC=4，
∴OC=OD=2，
∴CH=HE-CE=2-1=1，
在Rt△OHC中，∠HOC=30°，
∴∠COD=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD
高考

本题考查了切线的判定定理：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．
26. 中考模拟在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．高考
高考
（1）已知A(2，3)，B(5，0)，C(，2)．
①当时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 ；高考
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，则t的值为 ；高考
（2）已知点D(1，1)，点E(，)，其中点E是函数的图像上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．
【正确答案】（1）①35；②②t ＝－3或6；（2）

【详解】试题分析：（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；高考
②由定义可知，t=-3或6；
（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙H的半径最小r=，当点E的纵坐标为1时，⊙H的半径r=，即可得出结果；
试题解析：
解：（1）：（1）①∵A（-2，3），B（5，0），C（2，-2），矩形任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，
∴最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，
∴最优覆盖矩形的面积为：7×5=35；高考
②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，
∴由定义可知，t=-3或6，高考
（2）如图1，OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，高考

∵点D（1，1），
∴OD所在的直线表达式为y＝x，高考
∴点E的坐标为（2，2），
∴OE=，
∴⊙H的半径r ＝，
如图2，

∵当点E的纵坐标为1时，1＝，解得x＝4，
∴OE==，
∴⊙H的半径r =，
∴．高考
本题是圆综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．
27. 2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个中选择一个进行生产，一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品价为120元，每年最多可生产125万件；二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品价为180元，每年可生产120万件，另外，年x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；高考
（2）分别求出这两个的年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得，你会选择哪个？高考
【正确答案】（1）y1=（120-a）x（1≤x≤125，x为正整数），y2=100x-0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；（2）15000-125a（万元），5000（万元）；（3）当40＜a＜80时，选择一；当a=80时，选择一或二均可；当80＜a＜100时，选择二．高考

【分析】（1）根据题意直接得出y1与y2与x的函数关系式即可；
（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的值．又因为﹣0.5＜0，可求出y2的值；
（3）第三问要分两种情况决定选择一还是二．当2000﹣200a＞500以及2000﹣200a＜500．
【详解】解：（1）由题意得：高考
y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），
y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；
（2）①∵40＜a＜100，∴120﹣a＞0，
即y1随x的增大而增大，
∴当x=125时，y1值=（120﹣a）×125=15000﹣125a（万元）高考
②y2=﹣0.5（x﹣100）2+5000，
∵a=﹣0.5＜0，
∴x=100时，y2值=5000（万元）；
（3）∵由15000﹣125a＞5000，
∴a＜80，
∴当40＜a＜80时，选择一；高考
由15000﹣125a=5000，得a=80，
∴当a=80时，选择一或二均可；
由15000﹣125a＜5000，得a＞80，
∴当80＜a＜100时，选择二．高考
考点：二次函数的应用．高考
28. 已知矩形OABC在如图所示平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），连接AC．动点P从点B出发，以2cm/s的速度，沿直线BC方向运动，运动到C为止（不包括端点B、C），过点P作PQ∥AC交线段BA于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm2），设点P的运动时间为t（s）．
（1）请用含t的代数式表示BQ长和N点的坐标；
（2）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；高考
（3）如图2，点G在边OC上，且OG=1cm，在点P从点B出发的同时，另有一动点E从点O出发，以2cm/s的速度，沿x轴正方向运动，以OG、OE为一组邻边作矩形OEFG．试求当点F落在正方形PQMN的内部（不含边界）时t的取值范围．高考
高考
【正确答案】（1）；（2）；（3）高考

【详解】试题分析：（1）作NH⊥BC于点H，根据△BPQ∽△BCA，利用相似三角形的对应边的比相等求得BQ，然后证明△BPQ≌△HNP，则BH以及HN的长即可利用t表示，则N的坐标即可求解；
（2）首先求出MN在AC上时t的值，然后分两种情况进行讨论，利用矩形的面积公式即可求解；
（3）求得AC的解析式，然后根据PQ∥AC，MN∥AC即可求得PQ和MN的解析式，F的坐标是（2t，1），把F的坐标分别代入PQ和MN的解析式即可求解
试题解析：解：（1）作NH⊥BC于点H．
∵PQ∥CA，∴△BPQ∽△BCA，∴，即，解得：BQ=t．∵在△BPQ和△HNP，∴，∴△BPQ≌△HNP，∴HP=BQ=t，NH=BP=2t，则BH=2t+t=t，则N点坐标（4﹣t，3﹣2t）；
（2）当MN在AC上时，如图②．
∵△BPQ∽△BCA，∴，即，解得：PQ=t，当MN在AC上时，PN=PQ=t，△ABC∽△PNC，即，即，解得：t=．
则S=t2．其中，0＜t≤．高考
当t＞时，设PN交AC于点E，如图③．
则△ABC∽△PEC，则，即，解得：PE=，则S=﹣3t2+6t．其中，＜t＜2．
综上所述：S= ；
（3）设AC的解析式是y=kx+b，则，解得：，则设直线MN的解析式是y=﹣x+3，则﹣（4﹣t）+c=3﹣2t，解得：c=6﹣t，则直线的解析式是y=﹣x+（6﹣t）．
同理，直线PQ的解析式是y=﹣x+（﹣t），F的坐标是（2t，1）．
当点F落在MN上时，t=．
当点F落在PQ上时，∴t=＜t＜．
高考
点睛：本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判和性质，待定系数法，正确求得MN在AC上时对应的t的值是关键．是一道中等难度的中考常考题．
























2022-2023学年江苏省无锡市九年级下册月考专项提升模拟卷
（B卷）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
1. 下列各数中，倒数是的数是( )
A. 3 B. C. D.
2. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4. 使分式有意义的x的取值范围是 （ ）
A. x≥2 B. x＞2 C. x＜2 D. x≠2
5. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）

A. B. C. D.
6. 下列说确的是（ ）
A. 一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖
B. 为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式
C. 一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1
D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
7. 已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线y= 上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y1＜y2 D. y2＜y3＜y1
8. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）

A. 1 B. 5 C. D.
二．填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 16的平方根是 ．
10. 一粒米质量是0.000021千克，0.000021用科学记数法表示为_____________．
11. 分解因式：x3y﹣4xy＝_____．
12. 正八边形的一个内角的度数是____ 度．
13. 如果关于x一元二次方程mx2﹣6x+1=0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是______．
14. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，则图中阴影部分面积是△ABC的面积的__________．

15. 如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD＝________°.

16. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（没有计损耗），则圆锥的底面半径r为______．

17. 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_____．


18. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．

三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分）
19. （1）计算：；
（2）解没有等式组：
20. 先化简，再求值：，其中x=2．
21. 设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅没有完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）在这次中，一共抽取了______名学生，α=______b= ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中D级对应的圆心角为______度；
（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
22. 某网上书城“五一·劳动节”期间在特定的书目中举办促销，有A、B、C、D四本书是小明比较中意的，但是他只打算选购两本，求下列的概率：
（1）小明购买A书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中C概率是_________；
（2）小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中A、C两本的概率．
23 列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略没有计）
24. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．


25. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（没有与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．

（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠Q= ，BP=6，AP=2，求QC的长．
26. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的值最小，我们就称p×q是n的分解．并规定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的分解，所以F（12）= ．
（1）若F（a）=且a为100以内的正整数，则a=________；
（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在值或最小值？若存在，求出（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由.
27. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(－1，0)，点B(0，)．
(1)求∠BAO的度数；
(2)如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当点A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？
(3)若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．



28. 如图1，原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．






2022-2023学年江苏省无锡市九年级下册月考专项提升模拟卷
（B卷）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
1. 下列各数中，倒数是的数是( )
A. 3 B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据倒数的定义判断即可.
【详解】-3的倒数是.
故选D.
本题考查倒数的定义,关键在于熟记基础概念.
2. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是宽相等两个相连的矩形．故选C．
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A选项中，因为，所以A中计算错误；
B选项中，因为，所以B中计算错误；
C选项中，因为，所以C中计算正确；
D选项中，因为，所以D中计算错误；
故选C.
4. 使分式有意义的x的取值范围是 （ ）
A. x≥2 B. x＞2 C. x＜2 D. x≠2
【正确答案】D

【详解】∵要使分式有意义，
∴，解得.
故选D.
5. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
【详解】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选B．
本题主要考查了尺规作图—作已知角相等的角，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
6. 下列说确的是（ ）
A. 一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖
B. 为了了解全国中学生心理健康状况，应采用普查的方式
C. 一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1
D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
【正确答案】C

【详解】试题分析：根据相关概念对各选项进行判断即可：
A、由概率意义，一个游戏中奖的概率是，则做100次这样的游戏有可能中奖，因此该说法错误，故本选项错误；
B、为了了解全国中学生的心理健康状况，因为全国中学生较多，应采用抽样的方式，因此该说法错误，故本选项错误；
C、这组数据的众数是1，中位数是1，故本选项正确；
D、根据方差的意义，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，则甲组数据比乙组稳定，故本选项错误．
故选C．
7. 已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线y= 上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y1＜y2 D. y2＜y3＜y1
【正确答案】D

【详解】∵在双曲线y=中，，
∴其图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
又∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1>y3>y2.
故选D.
8. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）

A. 1 B. 5 C. D.
【正确答案】D

【详解】如图，以点A为圆心，AC为半径作⊙A，当点C在⊙A上移动时，∠B的大小在发生变化，观察可得当BC和⊙A相切时，∠B，此时∠ACB=90°，
∵AB=3，AC=2，∠ACB=90°，
∴BC=.
故选D.

二．填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 16的平方根是 ．
【正确答案】±4

【详解】由（±4）2=16，可得16的平方根是±4，
故±4．
10. 一粒米的质量是0.000021千克，0.000021用科学记数法表示为_____________．
【正确答案】2.1×10-5

【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000021千克=2.1×10-5千克；
故答案：2.1×10-5．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
11. 分解因式：x3y﹣4xy＝_____．
【正确答案】xy(x+2)(x－2)

【详解】原式=.
故答案为.
12. 正八边形的一个内角的度数是____ 度．
【正确答案】135

【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.
【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°，
故答案为135.
13. 如果关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1=0有两个没有相等的实数根，则m的取值范围是______．
【正确答案】m＜9且m≠0

【详解】∵关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1=0有两个没有相等的实数根，
∴，解得：且.
故答案为且.
本题中m的取值需同时满足两个条件：（1）原方程是一元二次方程，故；（2）原方程有两个没有相等的实数根，故根的判别式△=b2-4ac=(-6)2-4m>0.
14. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的__________．

【正确答案】

【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．
【详解】解：∵AB被截成三等分，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴，，
∴S△AFG：S△ABC=4：9
S△AEH：S△ABC=1：9
∴S阴影部分的面积=S△ABC-S△ABC=S△ABC
故．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，本题的关键是利用三等分点求得各相似三角形的相似比．从而求出面积比计算阴影部分的面积．
15. 如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD＝________°.

【正确答案】50

【详解】试题分析：在⊙O中，AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB=90°，又由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，所以∠B=∠ACD=40°∴∠BAD=90°﹣∠B=90°-40°=50°．
考点：圆周角定理．

16. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（没有计损耗），则圆锥的底面半径r为______．

【正确答案】10cm

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得•2π•r•30=300π，
解得r=10（cm）．
故答案为10cm．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17. 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_____．


【正确答案】2

【详解】解：根据函数的图像可知其对称轴为=1，解得b=-2a，
则两根之和为x1+x2==2．
故2
此题主要考查了二次函数的图像与一元二次方程的关系，解题关键是由函数的图像求得对称轴x=，然后根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=求解即可．
18. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．

【正确答案】3

【详解】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，

则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E=，
∴taO′E=，
∴tan∠BOD=3.
考点：解直角三角形．
三、解 答 题（本大题共有10小题，共96分）
19 （1）计算：；
（2）解没有等式组：
【正确答案】（1）2 ；（2）

【详解】试题分析：
（1）代入角的三角函数值，再按实数的相关运算法则计算即可；
（2）先分别求出两个没有等式的解集，再求没有等式组的解集即可.
试题解析：
（1）原式=
=
=.
（2）解没有等式得：，
解没有等式得：，
∴原没有等式组的解集为.
20. 先化简，再求值：，其中x=2．
【正确答案】,3

【分析】先按分式的相关运算法则将原式化简，再代值计算即可.
【详解】原式=
=
=
当时，
原式=.
21. 设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅没有完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）在这次中，一共抽取了______名学生，α=______b= ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中D级对应的圆心角为______度；
（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
【正确答案】(1)50，24%，20%；(2)图见解析；(3)28.8；(4)160.

【分析】(1)根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出α，用C级的人数除以总数即可求出b；
(2)用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
(3)用360度乘以D级所占的百分比即可求出扇形统计图中D级对应的圆心角的度数；
(4)用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．
【详解】解：(1)在这次中，一共抽取的学生数是：24÷48%=50（人），
α=×=24%，
b=×=20%，
故答案是：50，24%，20%；
(2)等级为C的人数是：50-12-24-4=10（人），
补图如下：

(3)扇形统计图中D级对应的圆心角为×360°=28.8°，
故答案是：28.8；
(4)根据题意得：2000×=160（人），
答：该校D级学生有160人．
此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22. 某网上书城“五一·劳动节”期间在特定的书目中举办促销，有A、B、C、D四本书是小明比较中意的，但是他只打算选购两本，求下列的概率：
（1）小明购买A书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中C的概率是_________；
（2）小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中A、C两本的概率．
【正确答案】（1） ；（2）．

【分析】（1）由题意可知：购买A书后，还剩下3种书，由此可知从中恰好选中C的概率是：；
（2）根据题意画出树状图如下，找到所有可能的结果及选中A、C所占的次数，即可得到所求概率．
【详解】解：（1）由题意可知，购买A书后，还剩下3种书可选，每种书被选中的机会相等，
∴恰好选中C的概率是：；
（2）由题意画出树状图如下：

由图可知，共有12中等可能结果，其中刚好选中A、C的有2种，
∴P（恰好选中A、C）=．
23. 列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略没有计）
【正确答案】3.2克．

【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
【详解】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，根据题意，得：，
解得：x=3.2，
经检验：x=3.2是原分式方程的解，且符合题意．
答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．
本题考查分式方程的应用，掌握题目中等量关系是关键，注意分式方程结果要检验．
24. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．

【正确答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析

【分析】(1) 由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
【详解】(1) 证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=BC，
∴AD=AF．
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．
∵AF=BD=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形，是的矩形.
查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形思想的应用．

25. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（没有与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．

（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠Q= ，BP=6，AP=2，求QC的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）

【详解】解：（1）如图，连结OC．

∵DQ=DC，
∴∠Q=∠QCD．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
∵QP⊥BP，
∴∠QPB=90° ，即∠B+∠Q=90°，
∴∠QCD+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；
（2）如图，连结AC，

∵BP=6，AP=2，
∴AB=8，
∵在Rt△BQP中，sinQ=，
∴BQ=10，
∵AB是是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠QPB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△QBP，
∴，即，
∴BC=，
∴CQ=BQ-BC=.
26. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的值最小，我们就称p×q是n的分解．并规定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的分解，所以F（12）= ．
（1）若F（a）=且a为100以内的正整数，则a=________；
（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在值或最小值？若存在，求出（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由.
【正确答案】（1）6，24，54，96；（2）当m为的两位数质数97时，F（m）存在最小值，最小值为.

【详解】试题分析：
（1）由题意可知且，由此可得，即a=6或24或54或96；
（2）由F（m）=且可知，F（m）的值为1，此时，则m是一个完全平方数，找出两位数中的所有完全平方数即可得到m的值；由F（m）=且可知，当m是两位数中的质数时，F（m）的值最小，找到两位数中的质数即可得到答案.
试题解析：
（1）∵，F（a）=，
∴，
∴ a=6或24或54或96；
（2）F（m）存在值和最小值.
①∵F（m）=且，
∴F（m）的值为1，此时，
∴当m是一个完全平方数时，F（m）有值1，
又∵m是两位数，
∴当m=16或25或36或49或64或81时，F（m）有值1；
②当m为质数时，p=1，q=m，此时由题意可知F（m）=，
∴当m为两位数中的质数97时，F（m）最小，
此时F（m）=F（97）=.
点睛：本题的解题要点是正确理解“正整数n的分解的含义”，F（n）=中，可得如下结论：（1）当n为“完全平方数”时，F（n）的值为1；（2）当n为“质数”时，F（n）的值为.
27. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(－1，0)，点B(0，)．
(1)求∠BAO的度数；
(2)如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当点A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？
(3)若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．

【正确答案】(1)∠BAO＝60°(2)S1＝S2

【分析】（1）先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；
（2）根据等边三角形的性质可得AO=AA'，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AO=AB，然后求出AO=OA'，再根据等边三角形的性质求出点O到AB的距离等于点A'到AO的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（3）根据旋转的性质可得BO=OB'，AA'=OA'，再求出∠AON=∠A'OM，然后利用“角角边”证明△AON和△A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
【详解】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，），
∴OA=1，OB=．在Rt△AOB中，tan∠BAO==，
∴∠BAO=60°；
（2）∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴OA'=AO=AB，
∴OA'=AA'=AO．根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，
∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；
（3）S1=S2没有发生变化；
理由：如图，过点'作A'M⊥OB．过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N．

∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，
∴BO=OB'，AO=OA'．
∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°﹣90°=90°，
∴∠AON=∠A'OM．
在△AON和△A'OM中，
∵∠AON=∠A′OM，∠OM A′=∠ON A，AO= A′O，
∴△AON≌△A'OM（AAS），
∴AN=A'M，
∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2．


28. 如图1，原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）y=2x2﹣3x；（2）C（1，﹣1）；（3）或（﹣，）．

【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；

（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；
（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△O，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．
【详解】（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，
∴C（1，﹣1）；

（3）存在．设MB交y轴于点N，
如图2，
∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中，
∵∠AOB=∠NOB，OB=OB，∠ABO=∠O，
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=，
∴N（0，），
∴可设直线BN解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，
∴直线BN的解析式为，联立直线BN和抛物线解析式可得：，解得：或，
∴M，
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=，OC=，
∵△POC∽△MOB，
∴，∠POC=∠BOM，
当点P在象限时
，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，如图3
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴
∵M，
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P（﹣，）；
综上可知：存在满足条件的点P，其坐标为或（﹣，）．

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．