第一章 直角三角形的边角关系（单元测试卷）-简单数学之2022-2023学年九年级下册基础考点三步通关（北师大版）

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第一章 直角三角形的边角关系单元测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·上海奉贤·九年级期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ）
A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍
【答案】B
【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变．
【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍，
∴各角的大小不变，即大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余切值保持不变．
故选B．
【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）已知∠A，∠B均为锐角，且cosA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（    ）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵∠A，∠B均为锐角，cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
3．（2022·上海·九年级专题练习）如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（    ）

A．5米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选B．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．
4．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）如图，已知，在的两边上分别截取，分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E．连接OE．则OE的长为（    ）

A． B．2cm C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，从而可证，，四边形CODE是菱形，再运用菱形的性质及特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：如图，连接CD交OE于点G，

∵以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴四边形CODE是菱形，
∴，即．
∵，，
∴，
∵四边形CODE是菱形，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定及性质，以及运用特殊角三角函数值计算相关线段长度，综合运用以上几何知识是解题的关键．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB=AB=0.8，
在Rt△OCB中，sin∠OBC=，
∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里．观测站B到AC的距离BP是（    ）

A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】证△BCP是等腰直角三角形，得BP=PC，再由含30°角的直角三角形的性质得PA=BP，然后由PA+PC=AC，得BP+BP=+1，求解即可．
【详解】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故选：B．
【点睛】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
7．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）某游乐场一个不等臂跷跷板AB长 5.6 米，支撑柱 OH 垂直地面，如图 1，当 AB的一端A着地时，AB与地面的夹角的正切值为；如图2，当AB 的另一端 B 着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，则支撑柱 OH的长为（     ）

A．0.4 米 B．0.8 米 C．米 D．1.2 米
【答案】D
【分析】根据正弦的定义得到OH=OA，OB=3OH，根据题意列式计算即可．
【详解】解：在Rt△AOH中，tanA=，
设OH=3x，AH=4x，
∴OA==5x，
∴OH=OA，
sinB=，
∴OB=3OH，
∵AB=5.6米，
∴OH+3OH=5.6，
解得：OH=1.2（米），
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2022·山东淄博·九年级期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ）

A． B． C． D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【详解】解：如图，分别作出两三角形的高

∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．2
【答案】C
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵，
∴BD＝2，

∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，
∴，
故选C．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．
10．（2022·广东·东莞市光明中学一模）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可．
【详解】解：


，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级课时练习）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（    ）

A．米 B．米 C．10米 D．米
【答案】B
【分析】先证明，在中， 米，，由即可求解．
【详解】解：由题意可知，米，，，
∴（米），，
∴，
在中，米，，

∴（米），
∴（米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及解直角三角形的应用，掌握特殊角的三角函数是解题的关键．
12．（2022·福建南平·二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若，则矩形ABCD的周长可表示为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段BC和CD的表达式，进而求得矩形的周长．
【详解】解：如图，过D作DF⊥CE于点F，过B作BG⊥CE于点G，

∵，，DF=2，
∴，
∵矩形ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴矩形ABCD的周长为
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造直角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的表达式是解题关键．
13．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　）

A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论．
【详解】解：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．

在Rt△中，AB=，
∴的值最小时，AB的值最小，
∵OA+OB=OA+≥，
∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l'垂直平分线段，
∴TB=，
∴∠ =∠，
∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，
∴∠TAB=∠TBA，
∴TA=TB，
∵cos∠AOB=cos∠ATB=，
∴，
∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，
∴BH=TB-TH=2k，
∴AH==4k，
∴AB=，  
∵，
∴，
解得k=，
∴AB的最小值，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题．
14．（2022·陕西·交大附中分校九年级期中）如图，与，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，，则长为（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，得，进而求，证，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、三角形的相似、勾股定理，证是解本题的关键．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2022·浙江·九年级专题练习）计算：sin30°＝____．
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简即可．
【详解】解：sin30°＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，牢记各值是解答此题的关键．
16．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）已知是锐角，，则=______°．
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．（2022·上海·九年级期中）在中，，，，那么的长是_____．
【答案】
【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论．
【详解】解：在中，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
18．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有______________．

【答案】①②③④
【分析】①证明，可得，由等腰三角形的性质可求；
②证明，可得；
③证明，可得，进而可得结论；
④由外角的性质可求，由勾股定理可求AG，即可求．
【详解】解：①∵四边形是正方形，，
∴，AC⊥BD，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴，故①正确；
②如图，过点作于，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，故②正确；

③在和中，

∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）计算：
【答案】4
【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，∠A=60°

(1)求BC的长．
(2)求sinB
【答案】(1)7
(2)

【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D ．可利用∠A的三角函数值求出AD、CD，在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC ；
（2）Rt△BCD中利用边角间关系可得结论．
(1)
解∶过点C作CD⊥AB，垂足为D ．

在Rt△ACD中，
∵∠A=60°， AC=8，
∴∠ACD=30°，
∴AD= ，
∴， BD=AB-AD=1．
∴在Rt△BCD中，；
(2)
解：在Rt△BCD中，
∵由（1）知∶ CD=， BC=7，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值、勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）

（1）求点到点的水平距离的长；
（2）求楼的高度．
【答案】（1）米；（2）楼的高度为米．
【分析】（1）由的坡度，可得 设 则 由勾股定理可得 再列方程 解方程可得答案；
（2）如图，过作于 先证明四边形是矩形，可得 设 证明 可得 由 建立方程，再解方程检验即可得到答案．
【详解】解：（1） 的坡度，

设 则




（2）如图，过作于

四边形是矩形，

设




由


解得：
经检验：符合题意，

所以：建筑物的高为：米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．
22．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图，在四边形纸片ABCD中，，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）依题意，又，可得，证明，可得CD=CE，则四边相等，可得四边形是菱形；
（2）由题意易证明，又，可得，可得四边形为平行四边形，如图，过作于，再利用锐角三角函数求解，从而可得面积．
【详解】（1）证明：依题意
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
（2）∵，
∴，又，
∴， 又，可得．
∴四边形为平行四边形．
如图，过作于，

∵四边形为菱形，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，熟练的证明四边形是菱形是解本题的关键．
23．（2022·广东·江门市第二中学二模）如图，是直角三角形，．

(1)在上作一点D，使得（要求尺规作图，不写做法，保留作图狼迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)8

【分析】（1）以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于点E，分别以A，E为圆心，大于为半径画弧交点为M，连接CM与AE的交点D即为所求，如图；
（2）由题意得，根据即，计算求解即可．
(1)
解：以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于点E，分别以A，E为圆心，大于为半径画弧交点为M，连接CM与AE的交点D即为所求，如图；

(2)
解：∵，
∴
∵即
解得
∴的长为8．
【点睛】本题考查了作垂线，含30°的直角三角形，余弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
24．（2022·重庆市涪陵第十八中学校九年级阶段练习）小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角∠FGK＝80°，上半身与下半身所成夹角∠EFG＝125°，脚与洗漱台距离GC＝15cm，点D，C，G，K在同一直线上．（结果精确到1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41）

(1)求此时小强腰部点F到墙AD的距离；
(2)此时小强头部点E是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，则他应向前还是向后移动多少厘米，使头部点E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？
【答案】(1)80cm
(2)点E不在洗漱盆AB的中点O的正上方，要使点E在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前移动9cm，

【分析】（1）作，根据即可求解；
（2）作，由，，即可得，由即可求解．
（1）解：如图，作，∵，∴，∴，∵，，∴四边形MDNF是矩形，∴；
（2）如图，作，∵，，∴，∵，∴，∵，∴∵46.53-17-15=14.53≠48÷2=24，∴点E不在洗漱盆AB的中点O的正上方，24-14.53≈9cm，要使点E在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前移动9cm．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，正确构造辅助线是解本题的关键．
25．（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为海里的D处拦截到该可疑船只．

(1)求点A到直线CB的距离；
(2)若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：）
【答案】(1)60海里
(2)能，理由见解析

【分析】（1）先作的延长线于E，则AE即为点A到直线CB的距离，由题意知，，由三角形内角和定理求得，在中，由30°角对应的直角边等于斜边的一半可求得AE
（2）分别在和中求出DE，BE，进而求得BD，再结合海警船的速度可求得时间
（1）
解：过A作的延长线于E，如下图所示，
则AE即为点A到直线CB的距离
由题意可知：，（海里）

（海里）
∴ 点A到直线CB的距离为60海里

（2）
解：如下图所示：


由题意知：
在中，

在中，



∴海警船从B到D的时间约为25.4÷300.85＜1
∴ 海警船能在1小时内拦截到可疑船只

【点睛】本题主要考查了方向角及内角为30°的直角三角形的性质，理解题意作出辅助线是解题关键．
26．（2022·上海市建平实验中学九年级期中）已知在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC上，使RQ始终与射线AP垂直．

(1)如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长；
(2)如图2，试探索：的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；若没有变化，请求出它的比值；
(3)如图3，当点Q在线段AP上，设，请用含x的式子表示RM．
【答案】(1)；
(2)的比值随点的运动没有变化，比值为；
(3)．

【分析】（1）由正方形的性质及可求出，，由勾股定理可求出，再由即可求出结论；
（2）证明，得，即可得，故可得出结论；
（3）延长交的延长线于点，通过证明求得，进而得，通过证明得，进而证明，利用三角函数得定义即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得，，
在中，，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴   
∴
∴
（2）解： 的比值随点的运动没有变化 理由如下：如图，

∵
∴，
∵
∴
∵
∴  
∵
∴
∴，
∴
∵，     
∴
∴的比值随点的运动没有变化，比值为；
（3）解：延长交的延长线于点

∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质及勾股定理，正方形的性质以及三角函数，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．