初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用优质学案

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用优质学案，文件包含专题14-6解直角三角形及其应用-简单数学之2022-2023九年级下册基础考点三步通关解析版北师大版docx、专题14-6解直角三角形及其应用-简单数学之2022-2023九年级下册基础考点三步通关原卷版北师大版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共156页， 欢迎下载使用。

专题1.4-6 解直角三角形及其应用

一、基础知识点
1.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
3.解直角三角形的应用
4.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．
5.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
二、热门考点训练
考点1：解直角三角形
典例：（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图，在中，， ， ，求AC的长及的正切值．

【答案】5，
【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出的正切值．
【详解】在中，
,，


．
方法或规律点拨
本题考查解三角形，熟练掌握直角三角形三边关系并使用勾股定理是本题解题的关键．
巩固练习
1．（2022·上海黄浦·九年级期中）已知：在中，，则BC的值（    ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个
【答案】B
【分析】如图， 过作于，再利用特殊角的三角函数值求解的长度，再以为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为的位置，从而可得答案．
【详解】解：如图， 过作于，

∴，
∵，
∴以为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为的位置，
∴的值有两个．
故选B．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，圆的基本性质，熟练的画出图形解题是关键．
2．（2022·上海·九年级期中）在Rt中，，如果，，那么AC的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】如图：

在Rt中，AC．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级期中）在中，，，，则的长是（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据求出，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：在中，，，，

∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟记正弦的定义和勾股定理是解题的关键．
4．（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】直接利用锐角三角函数关系，进而计算得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
则坡的铅垂高度为（米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，合理选择三角函数是解题的关键．
5．（2022·江苏·星海实验中学九年级期中）在中，，，是边上的高，，则的长为______．
【答案】2
【分析】利用勾股定理、等腰三角形的性质先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出，勾股定理求出，最后利用线段的和差阿关系求出．
【详解】解：∵是边上的高，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
在中，


∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质、勾股定理是解决本题的关键．
6．（2022·上海市市北初级中学九年级期中）如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）．

【答案】
【分析】先在中由求出，再在中由求出．
【详解】∵，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，准确的选择合适的三角函数是解题的关键．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级期中）在中，，，，则的值为___________
【答案】##
【分析】先由勾股定理求出的长，再由求解即可．
【详解】如图

∵中，，，，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键．
8．（2022·江苏·星海实验中学九年级期中）如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为，面积为，．求：

(1)的长；
(2)和的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】因为平行四边形的周长为，且相邻两边之比为比，所以可求出每边的长，根据面积为，即可求出边上的高；
在四边形中，已知两个直角，所以，而即的值也就时，在直角中，可通过已知的和求出．
【详解】（1）解：平行四边形中，，，
平行四边形的周长为，
，
又：：，
，，
，
；
（2）在四边形中，，
，，
，
在平行四边形中，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角函数定义．
9．（2022·上海市田林第三中学九年级期中）如图，已知中，是边上的中线，，，求的长．

【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，所以，然后利用的余切值求出的值，再利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】解：在中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴在中，．
∴
【点睛】本题考查了余切解直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据边相等求出是解题的关键，还考查了勾股定理的应用．
10．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，在中，．已知，，求，和的值．（参考数据，，，结果精确到0.1）

【答案】，，
【分析】利用直角三角形两锐角互余即可求得，利用余弦与正弦的概念可求得，．
【详解】解：，，
∴，
∵，
，
∵，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握正余弦概念：在中，，，是解题的关键．
11．（2022·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，已知在中，于点D，，

(1)求的长；
(2)如果过的中点E，且满足，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证明得到，再由勾股定理得到，由此求解即可；
（2）如图所示，过点B作于H，先解直角三角形求出，进而求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可证明是等边三角形，则，解直角三角形求出，进而求出即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴（负值舍去）
（2）解：如图所示，过点B作于H，
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角函数综合，直角三角形斜边上的中线，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
考点2：解非直角三角形
典例：（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）等腰三角形ABC的腰长AB＝AC＝5，底边BC＝6，求．

【答案】
【分析】作BC边的高AD，根据等腰三角形的性质求出DC，再由已知条件和三角函数的定义求出．
【详解】解：如图，作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，
∴DC=BC=6=3，
在RtACD中，DC=3，AC=5，
∴．
方法或规律点拨
本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．
巩固练习
1．（2022·陕西·西安市中铁中学三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　

A． +1 B．2 C． D．-
【答案】B
【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果．
【详解】如图，

作于，作于，
在Rt中，，
在Rt中，，，
，
在Rt中，设，
在Rt中，，
，
由得，
，
，
，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
2．（2022·全国·九年级单元测试）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ）

A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．
【详解】过点A作于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴　．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴点A的坐标是．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．

故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．
3．（2022·山东·冠县东古城镇第二中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
4．（2022·山东·临淄区淄江中学九年级阶段练习）在△ABC中，，，，则______________．
【答案】或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：

过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
5．（2022·福建·闽侯县实验中学八年级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝2，则AB＝___．

【答案】4
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，得到一个30°和一个45°的直角三角形，再利用锐角三角形函数求解即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D
∴∠ADC=∠ADB=90°
∵AC＝2，∠ACB＝45°
∴sin∠ACB＝=
∴AD=2
∵∠ABC＝60°
∴sin∠ABC==
∴AB=4
故答案为：4．

【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，利用特殊角60°和45°构造直角三角形是解决问题的关键．
6．（2022·安徽安庆·九年级期末）已知锐角中，，，则的长为_______．
【答案】
【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长．
【详解】如图，过点作于点，



设，
，,


，


故答案为：
【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
7．（2022·江苏常州·九年级专题练习）在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝2，BC＝6，则∠B的正切值为________．
【答案】
【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中可求EC，BE，在Rt△BEA中可求AE，由AC=AE+EC，可求AC；在Rt△ADC中，可求CD，AD，由BD=BC-CD，可求BD；则在Rt△BAD中，∠B的正切值可求．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，如图，

在Rt△BEC中，
∵cosC＝，
∴EC=BC•cos60°=3．
∴BE===．
在Rt△BEA中，
AE===1．
∴AC=AE+EC=3+1=4．
在Rt△ADC中，
∵cosC=，
∴CD=AC•cos60°＝2．
∴AD===．
BD=BC﹣CD=6﹣2=4．
在Rt△BAD中，tan∠B===．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解非直角三角形，勾股定理．作出锐角三角形的高线，将非直角三角形问题转化成解直角三角形，利用直角三角形的边角关系和勾股定理求解是解题的关键．
8．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）△ABC中，∠B为锐角，cosB＝，AB＝，AC＝2，则∠ACB的度数为________．
【答案】60°或120°
【分析】根据题意，由于的长没有确定，故分类讨论，分是锐角和钝角两种情况画出图形，解直角三角形即可
【详解】解：①如图，当是锐角时，过点作于点，

cosB＝，AB＝，AC＝2，







①如图，当是钝角时，过点作的延长线于点，

cosB＝，AB＝，AC＝2，








故答案为：或
【点睛】本题考查了解斜三角形，构造直角三角形并分类讨论是解题的关键．
9．（2022·上海·九年级单元测试）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___．
【答案】
【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，

在中，，即，
解得，
则的面积是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键．
10．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）中，，，，求边的长度．

【答案】
【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论．
【详解】解：过点作，交的延长线于点．

，，，
，．
在中，
，
，，
，．
在中，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
11．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）如图，在中，，，，求的面积．

【答案】
【分析】过点A作ADCB于点D，利用，，勾股定理，结合三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，过点A作ADCB于点D，

因为，AB=6，
所以，
所以=；
因为，AD=3，
所以DC=3AD=9，
所以的面积为：=．
【点睛】本题考考查了化斜为直解直角三角形，勾股定理，熟练掌握解直角的基本方法，灵活选择三角函数是解题的关键．
12．（2022·天津河北·一模）如图，小明、小华分别位于一条笔直公路PQ上的两点A，B处，点C处为一超市．测得，，A，B之间距离为3.8km，求小明、小华分别距离超市多少千米（结果保留小数点后一位）．
参考数据：，，，，，．

【答案】小明、小华分别距离超市7.7千米和5.6千米．
【分析】作交于点D，构造直角三角形BCD，直角三角形ACD，利用求出BD，进一步可求出BC，AC．
【详解】解：作交于点D，如图：

∵
∴
∵
∴
∴
解之得：
∵
∴
∵
∴
∴小明、小华分别距离超市7.7千米和5.6千米．
【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，解直角三角形．
考点3：仰角俯角问题
典例：（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级期中）长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图是大桥的实物图，图是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．结果精确到米参考数据：，，

【答案】大桥立柱的高约为米
【分析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再根据，进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，米，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∴大桥立柱的高约为米．
方法或规律点拨
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（　　）

A．米 B．米 C．50sin40°米 D．50cos40°米
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数解决问题．
【详解】解：在中，
∵，（米），
∴，
∴（米），
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的意义是解决本题的关键．
2．（2022·福建·泉州五中九年级期中）如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（    ）米．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，由坡比的定义和特殊锐角三角函数值可求出，进而，，在中，求出，进而求出即可．
【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于点，

斜坡的坡比为，即，
，
又米，
，，
，
在中，，，
米，


米，
故答案为：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握仰角、俯角、坡比的定义是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
3．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（    ）

A．200米 B．300米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：，，,
，，
米，,
米，（米），
米．
故选：C．
【点睛】此题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意数形结合思想的应用．
4．（2022·山东威海·九年级期中）小丽想测量学校旗杆的高度，她在地面A点安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为30°，测倾器到旗杆底部的距离为12米，测倾器的高度为1.6米，那么旗杆的高度为__________米（结果保留根号）．

【答案】
【分析】根据已知条件和的值求出，即可求解．
【详解】解：作于E，如图所示，
可知四边形是矩形，
，，
在中，，米，
，
，
=；
故答案为：．

【点睛】此题考查了解直角三角形与仰角的定义，熟练掌握并运用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．
5．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅，现在乙建筑物的顶部测得条幅顶端A的仰角为，条幅底端B的俯角为，已知街道宽，则广告条幅AB的长是______．（结果保留根号）

【答案】##
【分析】过点作于点，根据，得出，即可得出，根据等腰三角形的判定，得出，在中，根据正切函数，得出，即可得出结果．
【详解】解：过点作于点，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义，记住特殊角的三角函数值，是解题的关键．
6．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米．

【答案】2
【分析】过该建筑物的顶端点作，交的延长线于点，可得，即，则千米，在中，，即可求得．
【详解】解：如图，过该建筑物的顶端点作，交的延长线于点，

由题意得，，，千米，
，
，
千米，
在中，，
解得，
该建筑物离地面的高度为2千米．
故答案为：2．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
7．（2022·山东·冠县东古城镇第二中学九年级阶段练习）如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶端处的仰角为．求旗杆的高．（精确到米）参考数据：，，

【答案】旗杆的高约为米
【分析】过作于，在中，利用正切概念求出即可求解．
【详解】解：过作于，
根据题意，，，，
在中，（米），
∴（米），
答：旗杆的高约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．
8．（2022·山东·巨野县教学研究中心九年级期中）如图，张华同学在他学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为，旗杆底部B点的俯角为，若旗杆底部B点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶点A离地面的高度（结果保留根号）．

【答案】米
【分析】作于点，构成两个直角三角形．运用三角函数定义分别求出和，即可解答．
【详解】解：作于点．

根据题意可得：在中，有．
在中，有．
故．
则旗杆顶点离地面的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定测量小河对面一幢建筑物的高度．他们先在斜坡的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度为9米，坡底的长度米，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角为，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物的高度．（结果精确到1米，参考数据：）

【答案】50米
【分析】过点作，交于点，先证明四边形为矩形，得到，，再根据三角函数值得到，最后利用即可算出答案；
【详解】解：过点作，交于点．

∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，米，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴米．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2022·福建·晋江市第一中学九年级期中）八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：，，）

【答案】八仙阁AB的高度为48米．
【分析】证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答．
【详解】解：由题意得，，
则四边形均为矩形．
所以米，米，
在中，，则．设米，
在中，，
则，即，
解得：，
所以米，
则（米）．
答：八仙阁AB的高度为48米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期中）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长（结果保留根号）

【答案】米
【分析】由题意可求得 米，分别在和中，利用三角函数的求出和，最后根据可得出答案．
【详解】解：由题意得，米，
∴米，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
∴米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
12．（2022·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°看这栋高楼底部的俯角为30°热气球与高楼的水平距离为120米，请问：这栋高楼的楼高为多少米?（，结果精确到0.1米）

【答案】这栋高楼的楼高约为米
【分析】分别解和求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴米，
∵在中，，
∴米，
∴米，
∴这栋高楼的楼高约为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键．
13．（2022·山东·临沂第二十七中学八年级期中）如图，学校科技小组，计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测到D的仰角，向塔正前方水平直行到达点B，测到塔尖的仰角，若小明的眼睛离地面，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．

【答案】，计算过程见解析．
【分析】先证明，在中，利用含角的直角三角形的性质求出，即可解决问题．
【详解】∵，，
∴
∴
在中，
∴
∵
∴
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和直角三角形的性质，属于中考常考题型．
14．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）端午节赛龙舟，小红在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，她在高出水面30m的A处测得在C处的龙舟俯角为；她登高15m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：，，，）

【答案】
【分析】的延长线交于点，根据已知条件分别解，求出，进而求出即可．
【详解】解：如图：的延长线交于点，由题意知：
，

∴，
，
∴．
答：两次观测期间龙舟前进了．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用．将题中的已知条件，转化为几何图形中角度和线段的长度，通过构造直角三角形，进行求解是解题的关键．
15．（2022·上海·九年级专题练习）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；
（2）量得测角仪的高度；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为________．

【答案】
【分析】延长交于点，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点，

则，
在中，，
∴，
∴，
∴旗杆的高度可表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．

(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；
(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【答案】(1)7.0
(2)建筑物高约为米
【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再证，推出，代入数值即可求解；
（2）过点作，垂足为，利用矩形的性质求出，，，解可得，进而得出，再解，列等式求出，则．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
∴设，则，
由勾股定理得：，即，
解得，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
由题意，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴米；
则平台的长为，
（2）解：过点作，垂足为．

在矩形中，
，，
∴．
在矩形中，
，，
在中，，
∴，
，
，
解得：，
（米），
即建筑物高约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
考点4：与方位角有关的问题
典例：小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）

(1)求点D与点A的距离；
(2)求隧道的长度．（结果保留根号）
【答案】(1)点D与点A的距离为300米
(2)隧道的长为米
【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解；
（2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长
（1）由题意可知：，
在中，
∴（米）
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作于点E．

∵是东西走向
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴（米）
答：隧道的长为米
方法或规律点拨
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
巩固练习
1．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离（  ）

A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里
【答案】D
【分析】过点B作于点N．根据三角函数求的长，从而求的长．
【详解】解：如图，过点B作于点N．

由题意得，海里，．
作于点．
在中，海里．
在直角中，，则，
所以（海里）．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
2．山西省阳曲县青龙古镇，是全国传统古村和全省十大新锐景区，交通十分便利．周末，张老师一家自驾到该镇（记为点A）游玩，到达B地后，手机导航显示，该镇恰好在B地的正北方向，前面路况出了问题，车辆应沿北偏西60°方向行驶6km至C地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇．则C，A两地的距离是______km．

【答案】
【分析】如图所示，过点C作于D，先解直角三角形求出的长，再解直角三角形求出的长即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
由题意得：，，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3．一艘轮船以千米时的速度向正东方向航行，到达点时测得小岛在点北偏东方向；继续航行一小时到达点，这时测得小岛在点的东北方向；再继续航行______小时，轮船刚好到达小岛的正南方向．
【答案】
【分析】根据题意画出相应的图形，利用直角三角形的边角关系列方程求出 CD、BD ，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
【详解】解：如图，由题意得，千米，，，
过点作交的延长线于点，

，，
，，
设千米，则（x+15）千米，
在中，    
，
，
即，
解得（千米），
即千米，
需要的时间为：（时），
答：再继续航行小时，轮船刚好到达小岛的正南方向．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
4．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，）

【答案】50
【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，

根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=，
故答案为：50．
【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．
5．期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．

(1)求的距离：
(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：）．
【答案】(1)
(2)小西家会被划为管控区，理由见解析．

【分析】（1）过点作于点，根据题意可得，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；
(2)过点作于点，根据题意可得，所以，然后根据锐角三角函数即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点作于点，

根据题意可知：m，
，
，
，；
的距离约为
（2）小西家会被划为管控区，理由如下：
如图，过点作于点，
根据题意可知∶，

在Rt中，，


小西家会被划为管控区．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握解直角三角形的应用．
6．如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知岛在基地A的南偏东的方向，且在处南偏东的方向，巡逻快艇从处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：，）

【答案】小时
【分析】过点C作的延长线于点D，得出，，再由三角函数及勾股定理得出，确定，，结合图形求解得出，，，再由勾股定理计算出，，然后求时间即可．
【详解】解：如图所示，过点C作的延长线于点D，

∴，，，
∵，，
∴在中，，
设，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵每小时行驶30海里
∴需要的时间为：小时．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的应用及勾股定理解三角形，理解题意，熟练运用三角函数是解题关键．
7．九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．

(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离．
(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据：，，]
【答案】(1)从手工坊D处回到门口A处的距离为100米；
(2)从手工坊D处回到门口A处的方位角为南偏东．

【分析】（1）作出如图的辅助线，利用三角形函数先求得、的长，推出米，米，再利用勾股定理求解即可；
（2）中，求得，据此即可求解．
【详解】（1）解：过点D作于点E，过点D作于点F．

则四边形是矩形，
∴，，
根据题意，米，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，，
由勾股定理得
从手工坊D处回到门口A处的距离为100米；
（2）解：中，，
所以，
所以，
所以从手工坊D处回到门口A处的方位角为南偏东．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形运用三角函数是解题的关键．
8．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）

【答案】这条河的宽度为m．
【分析】过点C作于D．构造直角三角形，设，列出关于x的比例式，再根据三角函数的定义解答即可．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于D．

设．
∵在 中，，
∴．
在中，，
，
∴．
即．
解得．
∴这条河的宽度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
9．公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西方向，米，再从C地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西方向，甲工程队以每天米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：≈1.4）

(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；
(2)新的景观步道能否在天内完成？请说明理由．
【答案】(1)米
(2)能，见解析

【分析】（1）过点C作于点D，C位于A的北偏西方向，，且B在A的正东方，可知，从而得到，再利用C位于B的北偏西方向，可得，，最后利用求值即可；
（2）由（1）可得路线总长为：，
再设新的景观步道能在天内完成，利用前两天修的长度加乙工程队加入后一起修的长度等于总长度列方程求出所需天数，再与15比较大小即可得解．
【详解】（1）解：如下图，过点C作于点D，
∵C位于A的北偏西方向，，且B在A的正东方，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
又∵C位于B的北偏西方向，

∴，
∴
答：A、B两地的距离是米

（2）能，理由如下：
∵，
∴路线总长为：
设新的景观步道能在天内完成，则有：

解得：，
∴新的景观步道能在天内完成．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用和一元一次方程的应用，正确作出辅助线掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
10．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．

(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
【答案】(1)米；
(2)经过点B到达点D较近．

【分析】（1）过D作于F，由已知可得四边形是矩形，则米，根据点D在点E的北偏东，即得DE的长；
（2）由，即得米，的长，再分别求得、的长，即可得答案．
【详解】（1）解：过D作于F，如图：

由已知可得四边形是矩形，
∴米，
∵点D在点E的北偏东，即，
∴是等腰直角三角形，
∴（米）；
（2）解：由（1）知是等腰直角三角形，米，
∴米，
∵点B在点A的北偏东，即，
∴，
∵米，
∴米，（米），
∵米，
∴经过点B到达点D路程为（米），
（米），
∴（米），
∴（米），
∴经过点E到达点D路程为（米），
∵，
∴经过点B到达点D较近．
【点睛】本题考查解直角三角形-方向角问题，解题的关键是掌握含、角的直角三角形三边的关系．
11．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）

(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
【答案】(1)167.79米
(2)能，理由见解析

【分析】（1）过点M作，交AC的延长线于D，设．解，得，解，得，进而可得，解方程即可；
（2）作，交l于点F．解求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可．
（1）
解：过点M作，交AC的延长线于D，设．

∵在中，，
又∵在中，，
∴，
∵，
∴．
∴（米）．
即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）
解：作，交l于点F．

在中，有：（米），
∴．
∴该轮船能行至码头靠岸．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：，，）

(1)求货船到A的距离（结果精确到1米）；
(2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？ 请说明理由．
【答案】(1)货船到A的距离为58米
(2)货船能行驶到码头所在线段上

【分析】（1）过点C作于M，在Rt△ACM中，根据sin45°解得CM的长，则AM=CM，在Rt△CPM中，∠CPM=∠PCB∠A=30°，根据tan30°求出PM的长，再根据AP=AM+PM即可得到答案；
（2）设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N，利用三角函数求出AN和NQ，再根据AQ=AN+NQ求出AQ的长，与AB作比较即可．
（1）
过C作于M，

由题可得：，，，
在中，，
∴，
又∵，
在中，，
∴，
∴AP=AM+MP=（米），
答：货船到A的距离为58米；
（2）
设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N，

在中，，
，
∴，
∴AN=，
在中．，
，
∴，
∴，
∴货船能行驶到码头所在线段上．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
13．小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．

(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)米

【分析】（1）过点A作交于点，根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果
（2）过点B作BG⊥AD于G，则有，可得，，，可求得，再根据可得结果．
（1）
如图示，过点A作交于点，
∵且
∴
∵且
∴；
（2）
过点B作BG⊥AD于G．

∵
∴
在中，，

在中，


∵
∴
∴
答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键．
14．如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．

(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？
【答案】(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析
(2)没有触礁危险，证明见解析

【分析】（1）过C作于O，通过证明，即可求出CB的长；判断C到AB的距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；
（2）过C作交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断．
（1）
过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的方向，
∴，
又∵B处测得岛C在北偏东方向，
∴，，
∴，
∴（海里），
∵，，
∴，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；

（2）
过C作交BF于D，交BO于E，
，
∴没有触礁危险．
【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
15．如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里，≈1.732，≈1.414，≈2.449）

【答案】我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了133.8海里
【分析】过点C作CDAB，先根据三角形的内角和求出CD=AD，再设CD=AD =x海里，再根据三角函数求出BD=x海里，再根据题意列出关于x的方程，最后根据勾股定理解答即可．
【详解】解：过点C作CDAB，如图所示：

BAC=-=，
在RtACD中，
BAC=ACD=，
CD=AD，
设CD=AD =x海里，
在RtBCD中， ADC=，
CBD=，
CBD=，
BD=x海里，
AD-BD=40，
x-x=40，
x=60+20，
在RtACD中，
AC=
=
133.8(海里)，
即我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了133.8海里．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，锐角三角函数，一元一次方程的应用，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形求解．
16．如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，求小岛P离观测点B的距离．

【答案】海里
【分析】过点P作PD⊥AB于D，在AB上取一点C，使∠PCD=，则∠CPB=∠CBP=，CP=CB， 先证PA=PC=BC，再证AD=CD， PD=PA， AD=CD=PD= PA= BC，设PD=x海里，则PA=2x海里， 由AB=2AD+BC得出方程，解方程，即可解决问题．
【详解】解∶过点P作PD⊥AB于D，在AB上取一点C，使∠PCD=，则∠CPB=∠CBP=，CP=CB，

∵∠PAC=90°- 60°=30°，
∴∠PCD=∠PAC=30°，
∴PA=PC=BC，
∵PD⊥AB，
∴AD=CD， PD=PA， AD=CD=PD= PA= BC，
设PD=x海里，则PA=2x海里， BD=CD+BC= (x+2x )海里，
∵AB=2AD+BC=40，
∴40=2x+2x，
解得∶x=10(-1)，
∴PA=20(-1)= (20-20)海里，BD=×10( -1 ) +20-20= ( 10+10)海里，
∴ (海里)，
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到∠PBA=36.9°，同时，巡逻船B观测到∠PAB=67.5°，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A与落水人P的距离？（参考数据sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈）

【答案】巡逻船A与落水人P的距离为39海里
【分析】过点P作PC⊥AB，设PC=x海里，根据tan∠A的值可求出AC，根据tan∠B的值可求出BC，根据AC+BC=AB=63即可求出x的值，最后结合sin∠A即可求出PA的值．
【详解】过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．

在Rt△APC中，
∵tan∠A=，
∴
在Rt△PCB中，
∵tan∠B=，
∴，
∵AC+BC=AB=63，
∴+=63，解得x=36．
∵sin∠A=，
∴PA==36×=39（海里）．
∴巡逻船A与落水人P的距离为39海里．
【点睛】本题主要考查了用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
考点5：坡角坡比问题
典例：（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．

(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）
【答案】(1)1.8米
(2)5：4
【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；
（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．
（1）解：延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，

由题意得：AD∥EF，
∴∠A＝∠EFG＝37°，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，DE＝AF，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴BF＝≈＝7.2（米），
∵AB＝9米，
∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），
∴水平平台DE的长度约为1.8米；
（2）由题意得：
MN＝EG＝3米，
在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），
∴AD＝EF＝5米，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴CF＝＝＝9（米），
∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），
∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．
方法或规律点拨
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·巨野县教学研究中心九年级期中）在坡度为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是（ ）米.
A．3 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．
【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是米，坡度为．
∴垂直高度为米．
根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．
故选C．
【点睛】本题考查了解直角三角形坡度问题，解题的关键是熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度．
2．（2022·福建·泉州五中九年级期中）如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（    ）米．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，由坡比的定义和特殊锐角三角函数值可求出，进而，，在中，求出，进而求出即可．
【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于点，

斜坡的坡比为，即，
，
又米，
，，
，
在中，，，
米，


米，
故答案为：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握仰角、俯角、坡比的定义是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
3．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）某人沿着坡度为1：2的山坡前进了米，则此人所在的位置升高了（　　）
A．100米 B．米 C．50米 D．
【答案】A
【分析】坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度．根据坡度的定义，可得，设米，由勾股定理可知米，求解即可．
【详解】解：如下图所示，

由题意可知，，，
∴，
设米，则米，
∴，
∴，解得米，
即此人所在的位置升高了100米．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坡度以及勾股定理的知识，解题关键是根据题意构建直角三角形．
4．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡度是，堤坝高cm，水平宽度的长度（   ）

A．100cm B．cm C．150cm D．cm
【答案】D
【分析】根据坡度的定义可得，即可得的长．
【详解】解：的坡度是，
，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意，
水平宽度的长度为．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．
5．（2022·江苏无锡·九年级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度为（   ）

A．30° B． C． D．
【答案】C
【分析】求斜坡的坡度，关键是斜坡的铅垂直高度和水平长度，根据已知条件，由勾股定理可求出AC的长即可得出结果．
【详解】解:
又

∴斜坡AB的坡度
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坡度的概念，涉及到构造直角三角形，用勾股定理求出相应的边长．
6．（2022·山东·泰山外国语学校九年级阶段练习）如图，在坡角为a的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，，则这两棵树之间的坡面AB的长为（   ）

A．1m B．9m C． D．
【答案】C
【分析】先解直角三角形求出BC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可．
【详解】解：由题意得，在Rt△ABC中，，
∴，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出BC的长是解题的关键．
7．（2022·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）

A．6米 B．米 C．米 D． 米
【答案】C
【分析】过点B作于点C，构造直角求出的长即可．
【详解】解：过点B作于点C，
∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，
∴ ，
∴米，
在中，，由勾股定理得米 ，
故选：C．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
8．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期中）如图所示，一水库迎水坡的坡度，则求坡角的正弦值______．

【答案】
【分析】过点作于，根据坡度与坡角的概念得，设，，根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的概念即可求出答案．
【详解】过点作于，

∵的坡度，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坡度坡角的知识与解直角三角形的知识，熟练掌握坡度坡角的概念与勾股定理的应用是解本题的关键．
9．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，斜坡的坡度是，如果点B离地面的高度是3米，那么斜坡的长度是_____________米．

【答案】
【分析】根据坡度的定义，求出水平宽度的长，再利用勾股定理求出斜坡的长度即可．
【详解】解：斜坡的坡度是，
，
点B离地面的高度是3米，
，
（米）
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义、勾股定理是解答此题的关键．
10．（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图，某仓储中心有一斜坡，斜坡顶部A处的高为2米，在同一水平面上，若该斜坡的坡度，则该斜坡的水平宽度为_________米．

【答案】4
【分析】根据坡度的概念计算即可．
【详解】∵斜坡的坡度，
∴
∴米，
故答案为：4．
【点睛】本题考查坡度的概念，熟记坡度是铅垂高与水平宽的比（类似于正切的计算公式）是本题的解题关键．
11．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）如图，水库大坝横截面的迎水坡坡度（即与的长度之比）为，背水坡（即与的长度之比）为，大坝高．坝顶宽，求大坝横截面的周长．

【答案】
【分析】根据坡度的定义得出，在中，勾股定理求得的长，继而求得，同理求得，根据图形可四边形为矩形可得，进而结合图形计算周长即可求解．
【详解】解：∵迎水坡坡度（与的长度之比）为，
∵，
∴．
在中，，
∵背水坡坡度（与的长度之比）为．
∵，
∴．
在中，，
由四边形为矩形，可得，
大坝横截面的周长为
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的定义是解题的关键．
12．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：）

【答案】该建筑物的高度约为31.9m
【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解．
【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H
则，，
∵
∴设，则

在中，
∴
∴
∴（负值舍去）
∴，
∴，
设，则
在中，
∵
∴
在中，
∵
∴
即
∵
∴
∴
∴
答：该建筑物的高度约为31.9m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．（2022·上海·九年级专题练习）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底AE的长为8米，在B处测得树顶部D的仰角为30°，在E处测得树顶部D的仰角为60°，求树高．（结果保留根号）

【答案】（）米
【分析】作于点F，设米，则米，米，从而计算出米，结合，得到，建立起等式计算即可．
【详解】解：作于点F，根据题意可得四边形是矩形，
∴，
∵斜坡的坡度，坡底AE的长为8米，
∴，
设米，
在中，，
则（米），
在中，米，，
∴米．

∵，
∴，
∴．
解得：，
则米．
答：的高度是米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：

(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）在中，，可得，根据解直角三角形进行求解即可；
（2）根据求解即可．
（1）
解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，，

则为坡顶B到所在直线的距离，
则，，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）
由题意得，四边形是矩形，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
答：塔架高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．
15．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为．

(1)点坐标为______，段关于的函数解析式为______；
(2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式；
(3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：，，）
【答案】(1)，
(2)，
(3)9秒

【分析】（1）通过三角函数值和已知题意信息可以解出A点坐标，再通过A点坐标和原点进而确定段的函数解析式．
（2）通过段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和（1）问得到小明所走的路程，进而解出小明在段的速度，由A，点确定段解析式．
（3）通过段和段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为时所用的时长，进而计算出无人机与小明之间距离不超过的时长．
（1）
解：如图，过A点作于点，

，
，
，斜坡的坡度：：，
，，
点A坐标为，
设段关于的函数解析式为，
代入，，
解得：，
段关于的函数解析式
，
故答案为：；．
（2）
解：在中，，，
，
，
，，
在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为，
小明在斜坡上跑步的时间为：，
小明在斜坡上的跑步速度是：，
，，
，
，
设段关于的函数解析式为：代入，，
得：，
解得：，
段关于的函数解析式为；
故答案为：．
（3）
解：在段上无人机与小明之间的距离为时，
则有：，
解得：，
无人机飞行的时间为；
在段上，无人机与小明之间距离为时，则有：，
解得：，
无人机飞行的时间为，
无人机与小明之间距离不超过的时长为：．
【点睛】本题主要考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力．
考点6：解直角三角形的其它应用问题
典例：（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，．

(1)如图③，A处离地面多高？
(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌（点D、C、H在同一水平线上），测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时（忽略眼睛到头顶的距离）视线俯角为，求此时的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）连接，先证明，在中，再根据即可求解；
（2）过点B作于点E，过点B作于点F，则可得四边形是矩形，即有，，根据，，可得，即有，在中，，根据即可求解．
（1）解：连接，图，

∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，
，
即A处离地面；
（2）解：过点B作于点E，过点B作于点F，图②，

根据题意有：，则可得四边形是矩形，
即有，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴ ．
答：的长度约为．
方法或规律点拨
本题主要考查了解直角三角形的应用，明确题意，找准对应关系，灵活运用三角函数是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为45°，若窗高米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则在A处搭建的挡板AC（垂直于AB）的长最少应为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．1.5米
【答案】D
【分析】根据已知条件作出辅助线，再利用得出AC的长即可．
【详解】解：如下图所示，设光线FB经过点C，延长AC至D，

∵光与水平线夹角为45°，即，
∴，
∵米，
∴，即，
∴米．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是利用锐角三角函数关系得出．
2．（2022·吉林·长春高新兴华学校九年级期中）中国最长的索道为张家界天门山索道全长为7454米，若索道AC和地面AB的夹角为，则索道的落差BC可表示为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知斜边，，求得的对边，根据正弦的定义可得，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
3．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校九年级阶段练习）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．

（1）若，，求点A到直线的距离为________；
（2）为了观看舒适，保持，在（1）的情况下，将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上即可，求旋转的角度为________．
【答案】          ##30度
【分析】（1）过点作于点，根据的正弦值求出的长，再作于点，于点，求出长，由即可求出结果；
（2）连接，求出的值，得到的度数，再求出的度数即可得出结果．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，
∵，，
∴，
作于点，于点，
∴，，
∵，
∴，
∵,
∴
∴，
∴，
答：点到直线的距离是；

故答案为：
（2）∵，
如图，连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
答：CD旋转的度数为．
故答案为：
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
4．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，在中，，，，点、分别是边、上的点，且，将沿对折，若点恰好落到了的外部，则折痕的长度范围是______．

【答案】
【分析】把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，根据折叠的性质得到，，证明，同理可得，于是可得的长，然后根据勾股定理计算的长，由正切的定义可得和的长，计算的长，再计算当与重合时的长，从而得结论．
【详解】解：把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，如图1，

，，
，，
，
而，
，
，
同理可得，
，
，
在中，，，，
，
，
在中，，即，
，
在中，，即，
，
；
如图2，当与重合时，，即，
，

，
折痕的长度范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和锐角三角函数．
5．（2022·浙江·九年级专题练习）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC=BD，AFBE，sin∠BAF=0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆CD随之伸长．已知直线BE⊥，=2CD，那么AB的长为 ____cm，的长为 ____cm．

【答案】     20     40
【分析】过A作AP⊥EB延长线交于点P，由BE旋转一定角度后得到可知，旋转角度为90°，过作⊥AP，交AP于点H，分别表示出、PB的长，即可得出AB的长，设CD=xcm，则AC=BD=cm，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
【详解】解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，

∵AFBE，
∴∠ABP=∠BAF，
∴sin∠ABP=0.8，cos∠ABP=0.6，
∴BP=0.6AB，
由BE旋转一定角度后得到可知，旋转角度为90°，
过作⊥AP，交AP于点H，
∵∠PAB+∠ABP=90°，∠+∠PAB=90°，
∴∠=∠ABP，=sin∠=ABsin∠=0.8AB，
∴28=+PB=0.8AB+0.6AB=1.4AB，
∴AB=20cm；
设CD=xcm，则AC=BD=cm，AD'=AD=x+(cm)，
=2CD=2x，
∵∠=90°，
∴，
∴，
解得x=20，或x=20（舍），
∴=2x=40cm，
故答案为：20，40．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键．
6．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测．如图，是水平地面，其中是测温区域，测温仪安装在竖直标杆上的点D处，若该测温仪能识别体温的最大张角为（即），能识别体温的最小张角为（即）

(1)当设备安装高度为2米时，求测温区域的长度；（结果保留根号）
(2)为了达到良好的检到效果，该公司要求测温区的长不低于米，则设备的最低安装高度约是___________米．（结果保留1位小数，参考数据：，）
【答案】(1)测温区域的长度为米；
(2)最低安装高度为米．

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值先求解，从而可得答案；
（2）根据已知条件判断，再解直角三角形即可．
【详解】（1）解：由题意可知：米，
∴（米）；
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴米，
在中，，
∴（米）．
答：最低安装高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，确定需要的直角三角形再结合图形进行解答是解本题的关键．
7．（2022·陕西·交大附中分校九年级期中）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧BG的长为60cm，，ED长度约为21cm．求出该书架中最多能竖放几个这样的档案盒．（点A、点B、点C、点D、点E、点F、点G在同一平面内．参考数据：，，）

【答案】12个
【分析】根据题意可得：，设每一个档案盒的厚度为x cm，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据书架内侧长为60cm，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】由题意得：，
设每一个档案盒的厚度为x cm,
∵，
在中，设cm,
∴（cm），
由题意得：，
∴，
∴（个），
∴该书架中最多能放12个这样的档案盒．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，、分别表示地面和墙壁的位置，表示垂直于地面的栏杆立柱，、是两段式栏杆，其中段可绕点O旋转，段可绕点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时，段与竖直方向夹角为．已知立柱宽度为，点O在立柱的正中间，，，．

(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；
(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留的安全距离，问一辆最宽处为，最高处为的货车能否安全通过该入口？（本小题中 取）
【答案】(1)点A到地面的距离为
(2)货车不能安全通过该入口

【分析】（1）过点作,垂足为点，利用三角函数求得，的长度即为点A到地面的距离；
（2）作,交于点,使，利用三角函数求出，，在高度正好的情况下，求得货车靠墙行驶需要宽度超过了的长度，说明不能安全通过．
【详解】（1）
解：如图，过点作,垂足为点


则点A到地面的距离为
（2）
解：如图，作,交于点,使




若货车靠墙行驶需要宽度为
则货车不能安全通过该入口.
【点睛】本题考查了与解直角三角形相关的应用题，掌握三角函数并能解决实际问题是解题关键．
9．（2022·山东潍坊·九年级期中）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中，，，，，现由于故障，不能完全升起，最大为．

(1)求故障时A点最高可距离地面多少m（精确到0.1m）．
(2)若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？
（参考数据：，，）
【答案】(1)约3.3m
(2)一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m不能在升降杆故障时进入停车场

【分析】（1）求故障时A点最高可距离地面的长度，过点A作于点F，构造出，先算出的长度，再加上点到的长度，即为A点距离地面的高度；
（2）小货车能否在升降杆故障时进入停车场，需要计算以货车宽度正好卡在栏杆上时的高度，比较这个数值与货车高度，若比货车高度低，则货车过不去，反之，货车能过去．
【详解】（1）解：过点A作于点F，则，
当故障时A点最高时，，
在中，，即，
∴，
∴此时A点离地面长为：；

（2）解：在上取点H，使得，过点H作，交于点G，交于点M，
则，，
在中，，即，
∴，
∴，
即小货车不能在升降杆故障时进入停车场

【点睛】本题主要考查了解三角函数的实际应用，做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）

【答案】、两点之间的距离约为94米
【分析】过点作，垂足为点，分别解，，求得的长，进而根据即可求解．
【详解】如图，过点作，垂足为点，

在中，
∵，米，
∴，，
∴（米），
（米），
在中，
∵，米，
∴，
∴（米），
∴（米）.
答：、两点之间的距离约为94米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
11．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）综合与实践
小明为自己家设计了一个在水平方向可以伸缩的遮阳蓬，如图所示，已知太原地区在夏至日的正午太阳高度角（即正午太阳光线与地平面的夹角）为 ，冬至日的正午太阳高度角为 ，小明家的玻璃窗户 高为 ，在点上方 的处安装与墙垂直的宽为的遮阳蓬，并且该遮阳蓬可伸缩（可变化）；为了保证在夏至日正午太阳光不射到屋内，冬至日正午整块玻璃都能受到太阳光照射，求可伸缩的遮阳蓬宽度的范围．（结果精确到，参考数据：，，，，，）

【答案】
【分析】夏至日正午时，通过解，求出的最大值；冬至日正午时，通过解，求出的最小值；
【详解】解：夏至日时，在中，
，
  
冬至日时，在中，
，

所以，可伸缩的 长度的范围是
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解决问题的关键．
12．（2022·上海·九年级专题练习）超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是 米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手， 是两根与地平线都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（参考数据：，，，）

(1)求点B与点C离地面的高度差的长度；
(2)如果支撑杆、的长度相等，且．求扶手的长度．
【答案】(1)0.75米
(2)1.875米

【分析】（1）根据每级台阶高度都是米，计算出3个台阶的总高度即可；
（2）连接，根据题意可得：，，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，，从而求出，最后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
（1）
解：（1）∵每级台阶高度都是米
∴（米）
∴点B与点C离地面的高度差的长度为米；
（2）
解：（2）如图，连接
由题意得：
，
∴四边形是平行四边形
∴，
∴
在中，米
∴（米）
∴扶手的长度约为米

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（2022·上海·九年级专题练习）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“”的度数处于 到 之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．

(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到，参考数据： ， ，， ，，，，）
(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
【答案】(1)之间
(2)16000元

【分析】（1）过点A作于点D，根据题意可得，当时，当 时，利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为元．由题意列出方程即可解决问题．
（1）
解：如图，过点A作于点D，

根据题意可知：，
∴，
当 时， ，
在 中， ，
∴（m），
当 时， ，
在中，，
∴ ，
答：小佳家要选择电视屏幕宽为之间的激光电视就能享受黄金观看体验；
（2）
解：设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为元．
由题意可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，符合题意，
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形的应用以及分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．
14．（2022·上海领科双语学校九年级期中）如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼和成轴对称，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼边缘，且与闸机侧立面夹角．

(1)求闸机通道宽度，即和之间的距离；
(2)经实践调查，：至：该公园入园游客较多，图为该公园：至：每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为人．
①求出：：时段的入园游客人数；
②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过人”或“在园内游客总数超过人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．
【答案】(1)
(2)①人；②：：和：：需要限流，理由见解析

【分析】（1）过A作于点，过作于点，根据三角函数即可得到答案；
（2）平均数为人，设：：人数为，然后根据平均数概念列出方程求解即可．
（1）
解：过A作于点，过作于点，

直角三角形中，，
同理，且，，
与间的距离为．
（2）
①平均数为人，设：：人数为，
，
，
：：时段的入园游客人数为；
②：：和：：需要限流，
：：限流原因：入园人数是，超过；
：：限流原因如下：
：：入园总人数为人超过人；
：：入园人数为：人，超过人；
：：时段入园游客超过人或在园内游客总数超过人．
【点睛】此题考查的是条形统计图，掌握三角函数和平均数的概念是解决此题关键．
15．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）

(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）
【答案】(1)60°，
(2)

【分析】（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知，没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为：
（2）根据，求得，，根据，即可求解．
（1）
设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知∶
，
，
正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为
由题意可知：没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为∶

没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为 ，
故答案为： ；
（2）
由题意可知∶
，
，
，
，
，
此时 的长为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
三、效能测试（50分）
一、单选题（每题3分）
1．（2022·山东青岛·九年级期中）如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得．
【详解】解：过点A作于点C，

四边形是矩形，
，
在中，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
2．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为，，则两脚张开的距离AB为（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆规两角张开形成等腰三角形，过点作，交于点，解直角三角形即可．
【详解】解：过点作，交于点，
∵是圆规两脚，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
3．（2022·上海黄浦·九年级期中）在中，，那么下列各式中正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦、余切和正切的定义对各选项进行判断．
【详解】解：中，∵，
∴，
∴，，
，．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦、余切和正切的定义是解决问题的关键．
4．（2022·河北沧州·九年级期末）如图是东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正南方向，由点向正西方向走a米到达点，此时测得点在点A的南偏西方向上，则河宽的长为(   )．

A．a米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据题意确定∠CAB的度数，再利用三角函数求解即可．
【详解】解：如图，
∵点在点A的南偏西方向上，
∴∠CAB=50°．
∵该河道为东西流向且与河岸平行，点B在点A正南方向，
∴AB⊥BC．
∵点向正西方向走a米到达点，
∴BC=a．
∵，
∴．
故选：D．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到三角函数值的问题，解决本题的关键是读懂题意，能在图形中找出相应的角或线段，牢记三角函数公式等，考查了学生应用数学的意识与能力．
5．（2022·吉林·长春经济技术开发区洋浦学校九年级期中）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（    ）

A．35sin米 B．米 C．35cos米 D．米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，根据解三角函数的定义，列出方程是解题关键．
6．（2022·陕西·西安市第二十六中学九年级期中）如图，在矩形中，，直线l与分别相交于点E，F，P，且，则的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先过点F作，垂足为点，然后利用三角函数求出，根据边长关系求出、的长度，再证得，借助相似比得到的值，根据勾股定理求出的长度，从而可以求出．
【详解】解：如图，过点F作，垂足为点，则四边形为矩形，


，
∵
∴

∵
∴，
在和中

∴

在中，

∵
∴
故选：D
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理等知识，证明三角形相似，利用相似比求值是解题关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·上海奉贤·九年级期中）在中，，，______．
【答案】
【分析】由已知，得出和的关系，再根据勾股定理得出，计算即可得出结论．
【详解】解：

中，，，
设，则，
，
根据勾股定理，，

故答案为：
【点睛】本题考查解直角三角形，找出各个边之间的关系是解题的关键．
8．（2022·山西临汾·九年级期中）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则＝_____．

【答案】2
【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得的值．
【详解】解：由已知可得，
大正方形的面积为，
设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
则，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．
9．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．

【答案】20
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
10．（2022·上海·九年级专题练习）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看到楼顶顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高________米．（结果保留根号）

【答案】
【分析】过点A作于点D．则米，在Rt△ACD中， ，解得，在中， ，解得，由可得出答案．
【详解】解：过点A作于点D．

则米，，，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
∴米．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
11．（2022·湖南岳阳·中考真题）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为______米（结果保留整数，参考数据：）．

【答案】87
【分析】过点作，垂足为，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴点到赛道的距离约为87米，
故答案为：87．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2022·广东·佛山市华英学校三模）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AE的高度，沿旗杆正前方2米处的点B出发，沿斜面坡度i=1:的斜坡BC前进4米到达点C，在点C处安置测角仪，测得旗杆顶部E的仰角为37°，量得仪器的高CD为1.5米，已知A、B、C、D、E在同平面内，AE⊥AB，AE∥CD，则旗杆AE的高度是_________米．（参考数据：，，，，计算结果精确到1米）

0


【答案】8.7
【分析】过点D作DF⊥AE于点F，延长DC交AB于点G，则DF=AG，AF=GD，求出CG=BC=2（米），BG=2（米），则AF=GD=CG+CD=3.5（米），DF=AG=AB+BG=4（米），再由锐角三角函数定义求出EF的长，即可解决问题．
【详解】解：过点D作DF⊥AE于点F，延长DC交AB于点G，

则DF=AG，AF=GD，
在Rt△CDG中，tan∠CBG=i=1：=，
∴∠CBG=30°，
∴CG=BC=2（米），BG=CD•cos∠CBG=4×=2（米），
∴AF=GD=CG+CD=2+1.5=3.5（米），DF=AG=AB+BG=2+2=4（米），
在Rt△DFE中，EF=DF•tan∠EAF≈4×=3（米），
∴AE=EF+AF≈3+3.5≈8.7（米），
即旗杆AE的高度约为8.7米，
故答案为：8.7．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义、坡度坡角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·山东·招远市教学研究室九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为．

(1)求点B的坐标；
(2)求的值．
【答案】(1)点B的坐标为
(2)

【分析】（1）解，根据，，求出，再利用勾股定理求出，即可得出点B的坐标；
（2）先利用勾股定理求出，则．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点C，

在中，，，，
，
，
点B的坐标为．
（2）解：点A的坐标为，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟记各三角函数的计算公式是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）

【答案】点B到桌面得距离为28.78cm
【分析】
点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，在Rt△ABC中，解直角三角形求得AB，继而求得，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，继而即可求解．
【详解】
如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，
由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm，，
∵∠AOM=160°，
∴∠AOD=20°，
∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠OAD=70°，
∵∠OAB=115°，
∴∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=10cm，
在Rt△ABC中，
cos∠BAC=，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AOD中，
cos∠AOD=，
∴，
∴点B到桌面的距离为．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，熟练掌握并应用三角函数定义．
15．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）“太阳鸟”是某市文化广场的标志性雕塑.某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：

信息一：在H处用高1.5米的测角仪BH，测得最高点A的仰角为30°．
信息二：在F处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得米，点D、F、H在同一条直线上．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)在中，________（填、或），∴________．
(2)设米，则________米（用含x的代数式表示）米，________米（用含x的代数式表示）．
(3)“太阳鸟”的高度AD约为多少米？（精确到0.1，）
【答案】(1)，；
(2)x，（x＋25）；
(3)“太阳鸟”的高度AD约为35.6米．
【分析】（1）根据锐角三角函数定义及特殊角三角函数值求解即可；
（2）易证△ACE是等腰直角三角形，四边形EFHB是矩形，可得CE＝AC＝x米，EB＝FH＝25米，进而可表示出BC的长；
（3）根据（1）（2）列式求出AC，然后证明四边形BCDH是矩形，可得CD＝BH＝1.5米，进而可得答案．
（1）解：由题意得：在中，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：设米，
由可得∠ACB＝90°，
∵∠AEC＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AC＝x米，
由题意得：BH＝EF，BHEF，
∴四边形EFHB是平行四边形，
又∵BH⊥FH，即∠H＝90°，
∴平行四边形EFHB是矩形，
∴EB＝FH＝25米，
∴BC＝CE＋EB＝（x＋25）米，
故答案为：x，（x＋25）；
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴AC＝米，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
又∵∠D＝∠H＝90°，
∴四边形BCDH是矩形，
∴CD＝BH＝1.5米，
∴AD＝AC＋CD＝＋1.5≈35.6米，
答：“太阳鸟”的高度AD约为35.6米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．