高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词当堂达标检测题

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课时跟踪检测（七） 全称量词与存在量词层级(一)　“四基”落实练1．“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式是(　　)A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3解析：选C　“∀”和“任选一个”都是全称量词，故选C.2．下列命题中全称量词命题的个数为(　　)①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A．1　　　　　　　　　 B．2C．3   D．4解析：选B　①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．3．下列命题中存在量词命题的个数为(　　)①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A．0   B．1C．2  D．3解析：选D　①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．4．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　)A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆解析：选ABD　A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，是真命题．5．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)A．∀x∈R，x2＋2x＋1＞0B．所有菱形的4条边都相等C．若2x为偶数，则x∈ND．π是无理数解析：选B　对于A：∀x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，故A是假命题；对于B：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B正确；对于C：－2为偶数，但－1∉N，故C是假命题；对于D：π是无理数不是全称量词命题，故D错误．6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用“∃”或“∀”符号表示为________________．解析：含有全称量词“任意一个”，用符号“∀”表示，“不小于零”就是“≥0”．因此命题用符号表示为“∀x∈R，x2＋2x＋1≥0”．答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥07．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为______________．13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，…解析：根据已知条件的规律可得：∀n∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.答案：∀n∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)28．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断其真假．(1)没有一个实数α，tan α无意义．(2)存在一条直线，它经过原点．(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？(4)圆外切四边形，其对角互补．(5)有的反比例函数图象经过原点．解：由于(1)的实质是“所有的实数α，tan α有意义”，含有全称量词，所以(1)为全称量词命题，是假命题．(2)中含有存在量词，所以(2)是存在量词命题，是真命题．(3)是疑问句，不是命题．(4)“圆外切四边形，其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称量词命题，是假命题．(5)中含有存在量词，所以(5)是存在量词命题．因为所有的反比例函数都不经过原点，所以此命题是假命题． 层级(二)　能力提升练1．(多选)下列命题中，错误的是(　　)A．∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是假命题解析：选ABD　当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C正确．故选A、B、D.2．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4.答案：{m|m≤－4}3．下列命题：①∀x∈R，x2＋1＞0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x∈Z，x3＜1；④∃x∈Q，x2＝3；⑤∃x∈R，x2＋1＝0.其中真命题的序号是________，全称量词命题的序号是________．解析：①∀x∈R，x2＋1＞0；②∀x∈N，x2≥0；③∃x＝0∈Z，x3＜1；④x2＝3⇒x＝±∉Q；⑤∀x∈R，x2＋1≥1＞0.所以①③为真命题．命题①②中含有全称量词，是全称量词命题．答案：①③　①②4．若命题“∀1≤x≤3，一次函数y＝2x＋b的图象在x轴上方”为真命题，求实数b的取值范围．解：当1≤x≤3时，2＋b≤2x＋b≤6＋b.∵一次函数y＝2x＋b的图象在x轴上方，∴2＋b＞0，∴b＞－2.故实数b的取值范围是{b|b＞－2}．5．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题．∵当x≥－2时，x＋1≥－1，∴－9＜3－4m＜－1，解得1＜m＜3.又m为整数，∴m＝2.故存在整数m＝2，使得命题“∀x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题． 层级(三)　素养培优练根据下述事实，分别写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题：(1)1＝12.1＋3＝22.1＋3＋5＝32.1＋3＋5＋7＝42.1＋3＋5＋7＋9＝52.(2)如图，在△ABC中，AD，BE与CF分别为BC，AC与AB边上的高，则AD，BE与CF所在的直线交于一点O.解：(1)全称量词命题：任意从1开始的连续n个正奇数的和等于n的平方．(2)全称量词命题：任意三角形的三条高交于一点．