高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系巩固练习

课时跟踪检测（二） 集合间的基本关系

层级(一)　“四基”落实练

1．(多选)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)

A．3∈A　　　　　　　　　 B．{－3}∈A

C．∅⊆A   D．{3，－3}⊆A

解析：选ACD　根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3,3}．对于A,3是集合A的元素，正确；

对于B，{－3}是集合，有{－3}⊆A，错误；

对于C，空集是任何集合的子集，正确；

对于D，任何集合都是其本身的子集，正确．故选A、C、D.

2．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为(　　)

A．AB　　　　　　　　　 B．AB

C．A＝B   D．A⊆B

解析：选B　∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴BA.

3．(多选)集合M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系表述正确的有(　　)

A．S⊆P   B．S⊆M

C．M⊆S   D．P⊆S

解析：选AB　M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}表示被2整除余1的数的集合；

P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}表示被3整除余1的数的集合；

S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}＝{z|z＝3×(2m)＋1，m∈Z}＝{z|z＝2×(3m)＋1，m∈Z}，表示被6整除余1的数的集合．

故S P，SM.故S⊆P，S⊆M，即A、B正确．

4．已知集合M＝{4,2,3}，N＝{2，a2,3}．若M＝N，则实数a的值为(　　)

A．2   B．－2

C．±2   D．以上都不对

解析：选C　由M＝N，得a2＝4，a＝±2.故选C.

5．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是(　　)

A．{m|m＞3}   B．{m|m≥3}

C．{m|m＜3}   D．{m|m≤3}

解析：选B　因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.

6．已知集合A＝{2，x，x2}，则A的子集有______个；若1∈A，则x＝________.

解析：∵集合A＝{2，x，x2}，∴A的子集有23＝8个．

∵1∈A，解得x2＝1，再由x≠x2，解得x＝－1.

答案：8　－1

7．设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B⊆C⊆A的集合C＝________.

解析：∵A＝{1,2,3,4}，

若B⊆C⊆A，

∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，

答案：{1,2,3}(答案不唯一)

8．判断下列集合间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；

(2)M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，N＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．

解：(1)∵B＝{x∈N|x2＝1}＝{1}，∴BA.

(2)∵M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，

N＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，

∴M＝N.

层级(二)　能力提升练

1．集合M＝，N＝，则(　　)

A．M＝N   B．M⊆N

C．N⊆M   D．M∩N＝∅

解析：选C　∵M中：

x＝＋＝

N中：x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N⊆M.

2．(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M，则满足上述要求的集合M有(　　)

A．{－1,1,2,4}   B．{1，－2,2,4}

C．{－1,1}   D．{1}

解析：选CD　将A、B、C、D四个选项进行验证即可，

A．若M＝{－1,1,2,4}，其中4∈M，则42∉M；

B．若M＝{1，－2,2,4}，其中4∈M，则42∉M；

C．若M＝{－1,1}，x∈M，则x2∈M；

D．若M＝{1}，x∈M，则x2∈M.

故选C、D.

3．已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1,2,3,4}，C＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为________．

解析：∵集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，B＝{1,2,3,4}，C＝{0,1,2,3}，

∴集合A是两个集合的子集，集合B，C的公共元素是1,2,3，

∴满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，

∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24.

答案：24

4．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每个元素加上2就变成了A的一个子集且C中每个元素减去2就变成了B的一个子集，你能确定出集合C的个数是多少吗？

解：假设存在满足条件的集合C，则C≠∅，

将A中元素都减2，B中元素都加2，

则C⊆{0,2,4,6,7}且C⊆{3,4,5,7,10}，

由于两个集合的共同元素构成的集合为{4,7}，

故非空集合C是{4,7}的子集，

即C＝{4,7}或{4}或{7}．

故这样的集合有3个．

5．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，则同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由．

解：集合A＝{1,2}，

∵x＝1是方程x2－ax＋(a－1)＝0的解，∴B≠∅，

而BA，∴B＝{1}，

∴Δ＝(－a)2－4(a－1)＝0，解得a＝2.

由C⊆A，分情况讨论：

①若C＝∅，则Δ＜0，

∴(－b)2－8＜0，

解得－2<b<2；

②若C＝{1}或{2}，Δ＝0，∴b＝±2，

此时C＝{}或{－}，不符合题意，舍去；

③若C＝{1,2}，

由根与系数的关系得解得b＝3.

综上所述：实数a的值为2，实数b的值为3或－2<b<2.

层级(三)　素养培优练

1．根据国家新的高考改革精神，山东的新高考已启动，假设在分科时，必学科目除了语文、数学、外语之外，学生可以根据自己的兴趣爱好从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学六科中任意选择三科．

小明平时比较关注国家大事，喜欢思想政治和历史，而且对物理也有很高的兴趣；小月喜欢动植物和去各地旅游，她对生物学和地理很感兴趣，而且也比较喜欢历史．请根据他们的兴趣爱好回答下列问题：

(1)如果用A表示小明所选科目组成的集合，如何表示集合A?

(2)如果用B表示小月所选科目组成的集合，那么该集合的子集个数是________，真子集个数是________．

(3)若用C表示所有科目的集合，你能判断出集合A，B分别与集合C有何关系吗？

解：(1)集合A＝{语文，数学，外语，思想政治，历史，物理}．

(2)26　26－1

(3)AC，BC.

2．已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：(1)若a∈A1则a∉A2，(2)若a∈A2，则a∉A1，则称(A1，A2)是集合A的“互斥子集组”，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为不同的“互斥子集组”，求集合A＝{1,2,3,4}的不同“互斥子集组”的个数．

解：①当集合A1中只有1个元素({1}，{2}，{3}，{4}，共4种)时，集合A2是由集合A中除去这个元素后剩下的3个元素组成的集合的非空子集，故这样的“互斥子集组”共有4×(23－1)＝28(个)．

②当集合A1中有2个元素({1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6种)时，A2共有22－1＝3(个)，故这样的“互斥子集组”共有6×3＝18(个)．

③当集合A1中有3个元素({1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，共4种)时，A2只有1种情形，故这样的“互斥子集组”共有4×1＝4(个)．

综上所述，这样的“互斥子集组”共有28＋18＋4＝50(个)．