高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数随堂练习题

课时跟踪检测（二十三） 指数函数的图象和性质

层级(一)　“四基”落实练

1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选B　由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<，即实数a的取值范围是.

2．设a＝，b＝，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>c>b　　    B．a>b>c　   　  C．c>a>b　　   D．b>c>a

解析：选A　∵函数y＝x是减函数，∴c＞b；又函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，故a＞c.从而选A.

3．如果函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则(　　)

A．b＜－1   B．－1＜b＜0

C．0＜b＜1   D．b＞1

解析：选B　∵函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

∴函数f(x)＝3x＋b是由函数f(x)＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到的，且|b|＜1，

又∵图象向下平移，∴b＜0，

∴－1＜b＜0.

4．函数y＝ax在[1,2]上最大值与最小值的差为2，则a的值为(　　)

A．－1或2         B．2           C.           D.

解析：选B　根据题意知，函数y＝ax在区间[1,2]上是单调函数，

即当x＝1和2时，取得最值，

当a＞1时，a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1(舍去)；

当0＜a＜1时，a－a2＝2，方程无解．

综上知，a＝2.

5．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　)

A．a＞1   B．0＜a＜1

C．b＞0   D．b＜0

解析：AD　因为函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a＞1.当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0.故选A、D.

6. 满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．

解析：设t＝2x(t>0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，

∴t＝1或t＝－2.

∵t>0，∴t＝－2舍去．

∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.

答案：0

7．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.

解析：由已知f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①

f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2，

又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，

∴－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2.②

由①②得g(2)＝2，f(2)＝a2－a－2，

又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(2)＝22－2－2＝.

答案：

8．画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．

解：原函数变形为y＝

显然函数y＝|x|是偶函数，先画出y＝x (x≥0)的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即得y＝|x|的图象，再向右平移1个单位得到y＝|x－1|的图象，如图所示．由图象可知，函数y＝|x－1|的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，其值域是(0,1]．

层级(二)　能力提升练

1．设函数f(x)＝若f＝4，则b的值为(　　)

A．1   B.

C.    D.

解析：选D　f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2－b＝4＝22，解得b＝.

2．已知函数f(x)＝－1，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________．

解析：令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增，又y＝t为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0]．∵t＝－1，∴t≥－1，∴t∈(0,2]．故f(x)的值域为(0,2]．

答案：(－∞，0]　(0,2]

3．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．

解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变．如图，得到y＝|2x－1|的图象，由图象可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，所以m∈(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

4．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范围．

解：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝x，因此由g(2x－1)<g(3x)，即2x－1<3x，得2x－1>3x，解得x<－1.故x的取值范围为(－∞，－1)．

5．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．

(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；

(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．

解：(1)f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以

又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.

(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0，即a0＋b＜0，所以b＜－1.故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．

(3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．

层级(三)　素养培优练

1．某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝2|x－1|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①函数f(x)的值域为(0，＋∞)；②函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增；③函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；④函数f(x)的图象与直线y＝－a2(a∈R)不可能有交点．

则其中正确结论的个数为(　　)

A．1          B．2         C．3           D．4

解析：选B　函数f(x)的值域为[1，＋∞)，①错误；函数f(x)在区间[0,1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，②错误；函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，③正确；因为y＝－a2≤0，所以函数f(x)的图象与直线y＝－a2(a∈R)不可能有交点，④正确．正确结论的个数为2，故选B.

2．已知函数f(x)＝3x＋.

(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．

(2)是否存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f(t－2)<f(2t－m)恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：(1)函数f(x)＝3x＋在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(3x1－3x2)＋＝(3x1－3x2)＋＝.因为0<x1<x2，所以3x1<3x2，3x1>1,3x2>1，所以<0，即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)＝3x＋在(0，＋∞)上单调递增．

(2)不存在．理由如下：由(1)知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)是偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．若存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f(t－2)<f(2t－m)恒成立，则|t－2|<|2t－m|恒成立，即(t－2)2<(2t－m)2，即3t2－(4m－4)t＋m2－4>0对任意的t∈R恒成立，则Δ＝[－(4m－4)]2－12(m2－4)<0，得到(m－4)2<0，故m∈∅，所以不存在．