数学必修 第一册4.1 指数精练

课时跟踪检测（二十二） 指数函数的概念

层级(一)　“四基”落实练

1．(多选)下列函数中，能化为指数函数的是(　　)

A．y＝2x·3x　　　　　　　 B．y＝2x－1

C．y＝32x   D．y＝4－x

解析：选ACD　对于A：y＝2x·3x＝6x，是指数函数；

对于B：y＝·2x，不是指数函数；

对于C：y＝32x＝9x，是指数函数；

对于D：y＝x，是指数函数．

2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)

A．{a|a＞0且a≠1}   B．{a|a≥0且a≠1}

C.   D.

解析：选C　函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则解得a＞且a≠1，所以a的取值范围是.

3．若点(a,27)在函数y＝()x的图象上，则 的值为(　　)

A.   B．1

C．2   D．0

解析：选A　点(a,27)在函数y＝()x的图象上，

∴27＝()a，

即33＝，∴＝3，解得a＝6，∴＝.故选A.

4．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　)

A．a(1＋p%)元   B．a(1－p%)元

C.元   D.元

解析：选C　设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，

∴x＝.

5．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　)

A．f(x＋y)＝f(x)f(y)

B．f(x－y)＝

C．f＝f(x)－f(y)

D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)

解析：选ABD　f(x＋y)＝＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；，故B中的等式正确；f＝＝，f(x)－f(y)＝ax－ay≠，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．

6．已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.

解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则a＝，

即a＝3，a＝3，∴f(x)＝3x.

故f(－2)＝3－2＝.

答案：

7．已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%，设质量为1的这种物质，经过x年后剩余质量为y，则x，y之间的关系式是________．

解析：设质量为1的物质1年后剩余质量为a，

则a100＝0.957 6.

所以a＝所以y＝ax＝

答案：y＝

8．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．

(1)求f(x)的表达式；

(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．

解：(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，

∴f(x)＝2x.

(2)F(x)＝2x－2－x，∴F(－x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．

层级(二)　能力提升练

1．某食品保鲜时间y(单位：时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A．16小时   B．20小时

C．24小时   D．28小时

解析：选C　对于y＝ekx＋b(k，b为常数)，当x＝0时，eb＝192；当x＝22时，e22k＋b＝48，∴e22k＝＝，e11k＝.当x＝33时，e33k＋b＝(e11k)3·(eb)＝3×192＝24.

2．(多选)如图，某湖泊蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　)

A．蓝藻面积每个月的增长率为200%

B．蓝藻每个月增加的面积都相等

C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80 m2

D．若蓝藻面积蔓延到2 m2,4 m2，8 m2 所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1＋t3

解析：选ACD　由图可知，函数 y＝at的图象经过(1,3)，即a1＝3，则a＝3，∴y＝3t，∴3t＋1－3t＝3t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的3倍，则每个月的增长率为200%，A对、B错；当t＝4时，y＝34＝81＞80，C对；若蓝藻面积蔓延到2 m2，4 m2,8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则3t1＝2,3t2＝4,3t3＝8，∴(3t2)2＝3t1·3t3，则t1＋t3＝2t2，D对．

3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________小时．

解析：∵细胞分裂一次时有21个细胞，分裂2次时变为2×2＝22个细胞，分裂3次时变为2×2×2＝23个细胞…，∴当分裂n次时变为2n个细胞，故可得出2n＝4 096，∵212＝4 096，∴n＝12，∵细胞15分钟分裂一次，∴细胞分裂12次所需的时间为12×15＝180分钟＝3小时．故这种细菌由1个分裂为4 096个，这个过程要经过3小时．故答案为3.

答案：3

4．衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a，若一个新丸体积变为a，求需经过的天数．

解：由题意得V＝a·e－50k＝a，①

可令t天后体积变为a，即有V＝a·e－kt＝a，②

由①可得e－50k＝，③

又②÷①得e－(t－50)k＝，两边平方得e－(2t－100)k＝，

与③比较可得2t－100＝50，解得t＝75，

即经过75天后，体积变为a.

5．设f(x)＝3x，g(x)＝x.计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

解：f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，

f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，

f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.

结论：从以上计算的结果看，当两个函数的自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．