高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用达标测试

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课时跟踪检测（四十七） 三角函数的应用层级(一)　“四基”落实练1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5　　　　B．6　　　　　C．8　　　　D．10解析：选C　根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.2．如图，一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)，则有(　　)A．ω＝，A＝3  B．ω＝，A＝3C．ω＝，A＝5  D．ω＝，A＝5解析：选A　由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.又T＝15，则ω＝.故选A.3.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0,0＜φ＜的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)A．－5安  B．5安  C．5安 D．10安解析：选A　由图象知A＝10，＝－＝，所以ω＝＝100π.所以I＝10sin(100πt＋φ)．因为为五点作图法中的第二个点，所以100π×＋φ＝，所以φ＝，所以I＝10sin，当t＝秒时，I＝－5(安)．4.(多选)一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　)A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4sin＋2解析：选ABC　设点P距离水面的高度为h(米)和t(秒)的函数解析式为h＝Asin(ωt＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜，由题意，hmax＝6，hmin＝－2，∴解得∵T＝＝60，∴ω＝＝，则h＝4sin＋2.当t＝0时，h＝0，∴4sin φ＋2＝0，则sin φ＝－，又∵|φ|＜，∴φ＝－.h＝4sin＋2，故D错误；令h＝4sin＋2＝6，∴sin＝1，得t＝20秒，故A正确；当t＝155秒时，h＝4sin＋2＝4sin 5π＋2＝2米，故B正确；当t＝50秒时，h＝4sin＋2＝4sinπ＋2＝－2米，故C正确．5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.答案：20.56．某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数解析式．(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？解：(1)由题意可得解得A＝200，b＝300.又＝2×(8－2)，解得ω＝.∴y＝f(x)＝200sin＋300.又sin＝－1,0＜|φ|＜π，解得φ＝－.∴y＝f(x)＝200sin＋300.(2)由200sin＋300≥400，可得sin≥，即＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，化简得6＋12k≤x≤10＋12k，k∈Z，令k＝0，得x＝6,7,8,9,10.因此应该在6,7,8,9,10月份要准备不少于400人的用餐． 层级(二)　能力提升练1．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，得到如下表格：x   ωx＋φ0π2πy040－40 则A，ω，φ的值分别为(　　)A．4,2，－  B．4，，C．4,2，  D．4，，－解析：选A　由表中的最大值为4，最小值为－4，可得A＝4，由－＝T，则T＝π，∴ω＝＝2，∴y＝4sin(2x＋φ)，又图象过，∴0＝4sin，∴×2＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝－.2．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n个月的月平均最高气温G(n)可近似地用函数G(n)＝Acos(ωn＋φ)＋k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1,12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整数，ω＞0，φ∈(0，π)．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度；②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高；③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同．根据已知信息，得到G(n)的表达式是_____________________________________．解析：由题意知，函数G(n)＝Acos(ωn＋φ)＋k中，由解得k＝18，A＝15.由＝7－1＝6，解得T＝12，所以ω＝＝.由G(7)＝15cos＋18＝33，cos＝1，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又φ∈(0，π)，所以φ＝.所以G(n)＝15cos＋18，n是正整数，且n∈[1,12]．答案：G(n)＝15cos＋18，n是正整数，且n∈[1,12]3．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系式；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?解：(1)依题意知T＝＝12，故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin＋12.2.又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，有sin＜－，因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，解得12k＋8＜t＜12k＋12(k∈Z)．令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．故这一天共有8 h水深低于10.3 m. 层级(三)　素养培优练平潭国际“花式风筝冲浪”集训队在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：t/时03691215182124y/米1.52.41.50.61.42.41.60.61.5 (1)根据表中近似数据画出散点图．观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．解：(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示：依题意，选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，∴A＝＝0.9，b＝＝1.5，∵T＝＝12，∴ω＝，∴y＝0.9cos＋1.5，又∵函数图象过点(3,2.4)，∴2.4＝0.9×cos＋1.5，∴cos＝1，∴sin φ＝－1，又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－，∴y＝0.9cos＋1.5＝0.9sin＋1.5.(2)由(1)知：y＝0.9sin＋1.5，令y≥1.05，即0.9sin＋1.5≥1.05，∴sin≥－，∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)．又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18，∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．