高中1.3 集合的基本运算一课一练

课时跟踪检测（四） 补集

层级(一)　“四基”落实练

1．已知全集U＝{－2，－1,0,1}，A＝{x|x2－x＝0}，则∁UA等于(　　)

A．{－2，－1}　　　　　　 B．{0,1}

C．{－2，－1,0}   D．{－2,0,1}

解析：选A　∵全集U＝{－2，－1,0,1}，A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，∴∁UA＝{－2，－1}．

2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于(　　)

A．{x|x≥0}   B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}   D．{x|0＜x＜1}

解析：选D　因为A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D.

3．(多选)已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则(　　)

A．M∩N＝{4,6}   B．M∪N＝U

C．(∁UN)∪M＝M   D．(∁UM)∩N＝∁UM

解析：选BCD　∵U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，

∴M∩N＝{4,5}，M∪N＝U，∁UN＝{3,7}，(∁UN)∪M＝M，∁UM＝{2,6}，(∁UM)∩N＝∁UM.

4．(多选)设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是(　　)

A．(∁IA)∪B＝I   B．(∁IA)∪(∁IB)＝I　　

C．A∩(∁IB)＝∅   D．(∁IA)∩(∁IB)＝∁IB

解析：选ACD　法一：∵A，B，I满足A⊆B⊆I，先画出Venn图，

根据Venn图可判断出A、C、D都是正确的．

法二：设非空集合A，B，I分别为A＝{1}，B＝{1,2}，I＝{1,2,3}且满足A⊆B⊆I.

根据设出的三个特殊的集合A，B，I可判断出A、C、D都是正确的．

5．设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＋k≥0}，若(∁RM)⊇(∁RN)，则k的取值范围是(　　)

A．{k|k≤2}  B．{k|k≥1}

C．{k|k＞－1}   D．{k|k≥2}

解析：选B　由(∁RM)⊇(∁RN)可得M⊆N，又N＝{x|x＋k≥0}＝{x|x≥－k}，∴－k≤－1.

则k的取值范围为{k|k≥1}．

6．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁UA＝________.若A⊆U，则x的值为______．

解析：若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则∁UA＝{2}．

若A⊆U，则x＝2(舍去)或x＝x2－2，解得x＝－1.

答案：{2}　－1

7．已知全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m的值是________．

解析：因为∁UA＝{1,2}，所以A＝{0,3}，即方程x2＋mx＝0的两个根分别为0,3，所以m＝－3.

答案：－3

8．设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1＜x＜2a，a∈R}，N＝{x|－1＜x＜3}，若N⊆∁UM，求实数a的取值范围．

解：(1)当M＝∅，即3a－1≥2a时，

得a≥1，∁UM＝R，满足条件N⊆∁UM.

(2)当M≠∅，即a＜1时，

∁UM＝{x|x≥2a或x≤3a－1，a∈R}，

若N⊆∁UM，则3a－1≥3或2a≤－1，

即a≥或a≤－，此时a≤－.

综上，a的取值范围是.

层级(二)　能力提升练

1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)等于(　　)

A．{2,5}   B．{3,6}

C．{2,5,6}   D．{2,3,5,6,8}

解析：选A　因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．

2．(多选)设U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，则下列结论正确的是(　　)

A．3∉A且3∉B   B．3∈A且3∉B

C．4∉A且4∈B   D．3∈A且3∈B

解析：选BC　由题意画出Venn图：

∴A＝{2,3}，B＝{2,4}．

则3∈A且3∉B,4∉A且4∈B，故选B、C.

3．已知全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}．则适合条件的集合A的个数为________，A∩(∁UB)＝________.

解析：∵U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，

∴A∪B＝{1,2,3}．又B＝{1,2}，

∴A＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}．

适合条件的集合A有4个．

∵∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．

答案：4　{3}

4．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．

(1)当m＝1时，求A∪B；

(2)若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．

解：(1)m＝1时，B＝{x|1≤x＜4}，A∪B＝{x|－1＜x＜4}．

(2)∁RA＝{x|x≤－1或x＞3}．

当B＝∅，即m≥1＋3m时，得m≤－，满足B⊆∁RA；当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，

则解得m＞3.

综上可知，实数m的取值范围是.

5．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}，同时满足①A∩B≠∅，②A∩(∁RB)＝{－2}，p·q≠0.求p，q的值．

解：设x0∈A(x0≠0)，则有x＋px0＋q＝0，

两端同除以x，得1＋p＋q＝0，

则知∈B，故集合A，B中元素互为倒数．

由A∩B≠∅，一定有x0∈A，

使得∈B，且x0＝，解得x0＝±1.

又A∩(∁RB)＝{－2}，

则－2∈A，A＝{1，－2}或A＝{－1，－2}．

由此得B＝或B＝.

根据根与系数的关系，

有或

得或

层级(三)　素养培优练

1．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于集合U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，X＝{1,2,3}，Y＝{3,4,5}，Z＝{2,4,7}，则(X*Y)*Z＝________________.

解析：由于U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，X＝{1,2,3}，Y＝{3,4,5}，Z＝{2,4,7}，则X∩Y＝{3}，由题中定义可得X*Y＝∁U(X∩Y)＝{1,2,4,5,6,7,8}，则∁U(X∩Y)∩Z＝{2,4,7}，因此，(X*Y)*Z＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝{1,3,5,6,8}．

答案：{1,3,5,6,8}

2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0或x≥4}都是U的子集．若∁U(A∪B)⊆C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：因为∁U(A∪B)⊆C，所以应分两种情况．

①若∁U(A∪B)＝∅，则A∪B＝R，

因此a＋2≤－a－1，即a≤－.

②若∁U(A∪B)≠∅，则a＋2>－a－1，即a>－.

又A∪B＝{x|x≤－a－1或x>a＋2}，所以∁U(A∪B)＝{x|－a－1<x≤a＋2}，又∁U(A∪B)⊆C，所以a＋2<0或－a－1≥4，即a<－2或a≤－5，即a≤－5.又a>－，故此时a不存在．

综上，存在这样的实数a，且a的取值范围是.