阶段验收评价（一） 集合与常用逻辑用语 试卷

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阶段验收评价（一） 集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　)A．{x|x<－5或x>－3}　　 B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}   D．{x|x<－3或x>5}解析：选A　在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.2．命题“∀x∈R，x2－x＋≥0”的否定是(　　)A．∀x∉R，x2－x＋＜0   B．∃x∈R，x2－x＋＜0C．∃x∈R，x2－x＋≥0   D．∀x∈R，x2－x＋＜0解析：选B　全称量词命题的否定是将全称量词换为存在量词，“大于或等于”变为“小于”．故答案为“∃x∈R，x2－x＋＜0”．3．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)①{1}∈A；②－1⊆A；③∅⊆A；④{1，－1}⊆A.A．4个   B．3个C．2个   D．1个解析：选C　因为A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，所以{1}⊆A，集合与集合之间不能用属于符号，所以①不正确；－1⊆A，元素与集合之间不能用包含于符号，所以②不正确；∅⊆A，符合子集的定义，所以③正确；{－1,1}⊆A符合子集的定义，所以④正确，因此，正确的式子有2个，故选C.4．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝(　　)A．1　　　　  B．2         C．3　　　  　D．4解析：选B　根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数，知m＝2.故选B.5．下列存在量词命题是假命题的是(　　)A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＝0C．有的有理数没有倒数D．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角解析：选D　因为对任意的钝角三角形，其内角是锐角或是钝角，所以选项D不正确．故选D.6．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则“△ABC不是直角三角形”是“a2＋b2≠c2”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分又不必要条件解析：选A　“△ABC不是直角三角形”，则“a2＋b2≠c2”，所以充分条件成立．若a2＋b2≠c2，则角C不为直角，有可能A或B是直角，所以必要条件不成立，“△ABC不是直角三角形”是“a2＋b2≠c2”的充分不必要条件．故选A.7．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是(　　)A．1   B．－1C．0,1   D．－1,0,1解析：选D　因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．②当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，所以a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．综上，a＝0或a＝±1.故选D.8．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈M且x∉P}，则M－(M－P)等于(　　)A．P   B．MC．M∩P   D．M∪P解析：选C　由题意，作出Venn图，如图所示：可得M－(M－P)＝M∩P，故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知M＝{x∈R|x≥2}，N＝，其中正确的是(　　)A．a∈M   B．N⊆MC．a⊆M   D．N∩M＝N解析：选ABD　由题意，N＝{a∈N*|a2－9＝0}＝{3}，即a＝3.A中，根据元素与集合的关系，可知是正确的；B中，根据集合与集合的关系，可知是正确的； C是元素与集合的关系，应为a∈M，所以不正确；由B是正确的，可知N∩M＝N，所以D也是正确的，故选A、B、D.10．下列不等式：①x＜3；②0＜x＜2；③－3＜x＜0；④－3＜x＜3，其中，可以是x2＜9的一个充分条件的序号为(　　)A．①   B．②C．③   D．④解析：选BCD　由于x2＜9即－3＜x＜3，①显然不能使－3＜x＜3一定成立，②③④满足题意．故选B、C、D.11．下列命题为真命题的是(　　)A．∃x＜0，使得|x|＞xB．∀x≥0，都有|x|＝xC．已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，则对于∀k∈N*，都有A∩B＝∅D．∃x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立解析：选AB　对于∀x＜0，都有|x|＞0＞x，故A为真命题；对于∀x≥0，都有|x|＝x，故B为真命题；由A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，k∈N*，可知6∈A,6∈B，故C为假命题；因为方程x2＋2x＋5＝0的根的判别式Δ＝－16＜0，所以方程无实根，故D为假命题．故选A、B.12．下列说法中正确的是(　　)A．“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件B．“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件解析：选ABC　由A∩B＝B得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A选项正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B选项正确； “m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C选项正确；解方程|x|＝1，得x＝±1，则“|x|＝1”是“x＝1”的必要条件，D选项错误．故选A、B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．“a<1”是“一元二次方程x2－2x＋a＝0有实数解”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析：若一元二次方程x2－2x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即4－4a≥0，即a≤1，又“a<1”能推出“a≤1”，但“a≤1”不能推出“a<1”，即“a<1”是“一元二次方程x2－2x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．答案：充分不必要14．已知全集U＝{不大于20的素数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3,5}，(∁UM)∩N＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，则M＝________， N＝________.解析：法一：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，如图，所以M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．法二：因为M∩(∁UN)＝{3,5}，所以3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.又因为(∁UM)∩N＝{7,19}，所以7∈N,19∈N且7∉M，19∉M.又因为(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，所以∁U(M∪N)＝{2,17}，所以M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．答案：{3,5,11,13}　{7,11,13,19}15．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有________个．解析：U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∵∁U(∁UP)＝P，∴存在一个∁UP，即有一个相应的P(如当∁UP＝{－2,1,3}时，P＝{－3，－1,0,2}；当∁UP＝{－2,1}时，P＝{－3，－1,0,2,3}等)．由于S的子集共有8个，∴P也有8个．答案：816．给出下列四个命题：①平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；②任何实数都有算术平方根；③每个平面四边形的内角和都是360°；④至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数．其中假命题的序号为__________．解析：①由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，故该命题为假命题．②当a＜0时，实数a不存在算术平方根，故该命题为假命题．③任意平面四边形的内角和都是360°，是真命题．④因为n2＋n＝n(n＋1)，当n为奇数时，n＋1为偶数；当n为偶数时，n＋1为奇数，故n(n＋1)一定是偶数，所以不存在一个整数n，使得n2＋n为奇数．故该命题为假命题．答案：①②④四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．解：(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)因为M∩N＝M，所以M⊆N，因为M＝{2}，所以2∈N.所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.18．(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)有理数都是实数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x＞0}，x＋＞2.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题，当x＝1时，x＋＝2，故为假命题．19．(12分) 设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．(1)若a＝1时，求A∩B，A∪B；(2)设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．解：(1)因为集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，所以当a＝1时，A＝{1,3}，B＝{1,4}，所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1,3,4}．(2)因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而1,3,4∈C，故实数a的取值集合为{1,3,4}．20．(12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.21．(12分)已知集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝{x||x＋a|<1}．(1)若a＝3，求A∪B；(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2＋2x－3<0，解得－3<x<1，即A＝{x|－3＜x＜1}．当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即B＝{x|－4＜x＜－2}．所以A∪B＝{x|－4＜x＜1}．(2)因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．又集合A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－a－1＜x＜－a＋1，a∈R}，所以或解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．22．(12分)已知全集U＝R，A＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，B＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}．(1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M.(2)集合A，B是否能满足(∁UB)∩A＝∅？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．解：B＝{－4,1,2}．(1)当b＝4时，A＝∅.∴M≠∅且MB.∴符合题意的集合M有6个，分别是{－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}．(2)能．由(∁UB)∩A＝∅，得A⊆B.①若A＝∅，则Δ＝(－3)2－4b＝9－4b＜0，∴b＞.②若A≠∅，则方程x2－3x＋b＝0有实根．由根与系数的关系知，x1＋x2＝3，又A⊆B，∴A＝{1,2}．∴由根与系数的关系得b＝1×2＝2.∴综上，实数b的取值范围为.