阶段验收评价（二） 一元二次函数、方程和不等式 试卷

这是一份阶段验收评价（二） 一元二次函数、方程和不等式，共6页。
阶段验收评价（二） 一元二次函数、方程和不等式(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．不等式x2＋5x－14>0的解集为(　　)A．{x|－7<x<2}　　　　　 B．{x|x<－7或x>2}C．{x|x>2}   D．{x|x<－7}解析：选B　原不等式等价于(x＋7)(x－2)>0，即x<－7或x>2，故选B.2．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，则不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0的解集为(　　)A．{x|x<－或x>}　　　　B．{x|x<－3或x>1}C．{x|－1<x<3}   D．{x|－3<x<1}解析：选B　由已知得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2，x2＝1，且a<0，∴＝1，＝－2.∴不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0可化为x2＋x＋－1>0，即x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1.故选B.3．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式正确的是(　　)A.<   B．a2>b2C.>   D．a|c|>b|c|解析：选C　若a>0>b，则>，则A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；根据不等式的性质，知C正确；若c＝0，则D不正确．故选C.4．若x>0，则y＝12x＋的最小值为(　　)A．2   B．2C．3   D．4解析：选D　∵x>0，∴y＝12x＋≥2＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立，故选D.5.已知x>0，y>0，且8x＋2y－3xy＝0，则x＋y的最小值为(　　)A．9   B．7C．6   D．4解析：选C　当x>0，y>0时，8x＋2y－3xy＝0⇔＋＝3，∴x＋y＝(x＋y)＝≥6，当且仅当即x＝2，y＝4时，x＋y取得最小值6.故选C.6．不等式 ≥0的解集为(　　)A.B.C．{x|x≥3}D.解析：选D　根据题意，≥0⇒解得≤x≤2或x≥3.故选D.7．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a的取值范围应是(　　)A．90<a<100   B．90<a<110C．100<a<110   D．80<a<100解析：选A　设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.要使商家利润有所增加，则必须使y＞0，即x2－10x＜0，得0＜x＜10.∴售价a的取值范围为90<a<100.故选A.8．已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　 )A．4   B．2C．8   D．16解析：选B　由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　)A.<   B.>C．ab>b2   D．a2>ab解析：选ACD　∵a>b>0，∴ab>0，∴>，即<，故A正确；∵a>b>0，∴a2>b2>0，∴>，即<，故B不正确；∵a>b>0，∴ab>b2，a2>ab，故C、D正确，故选A、C、D.10．不等式mx2－ax－1＞0(m＞0)的解集不可能是(　　)A．{x|x＜－1或x＞3}   B．RC.   D．∅解析：选BCD　∵m＞0，∴函数y＝mx2－ax－1的图象开口向上且与x轴有两个交点，∴原不等式的解集不可能是B、C、D，故选：B、C、D.11．若a>b>0，则下列不等式中一定不成立的是(　　)A.>   B. a＋>b＋C．a＋>b＋   D.>解析：选AD　∵a>b>0，则－＝＝<0，∴>一定不成立；a＋－b－＝(a－b)，当ab>1时，a＋－b－>0，故a＋>b＋可能成立；a＋－b－＝(a－b)>0，故a＋>b＋恒成立；－＝＜0，故>一定不成立．故选A、D.12．若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为(　　)A．{a|－1≤a≤4}   B．{a|－1＜a＜4}C．{a|a＜－1}   D．{a|a＞4}解析：选CD　若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中a可以取的范围为{a|a＜－1或a＞4}．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，则k的取值范围是________．解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，把x＝1代入不等式，得k2－6k＋8<0，解得2<k<4.答案：2<k<414．若a∈R，则当a＝______________时，取得最小值______________．解析：＝＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即a＝±2 时等号成立．答案：±2　615．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．解析：x＋≥a恒成立⇔min≥a.∵x>1，∴x－1>0，∴x＋＝x－1＋＋1≥2 ＋1＝3(当x＝2时取等号)．∴a≤3，即a的最大值为3.答案：316．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．解析：z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．答案：{t|10≤t≤15，t∈N}四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜5}，求不等式cx2－bx－3a＜0的解集．解：∵ax2＋bx＋c>0的解集是{x|1＜x＜5}，∴方程ax2＋bx＋c＝0的解是1和5，且a<0，由根与系数的关系可得：解得b＝－6a，c＝5a，∴不等式cx2－bx－3a＜0变形为ax2＋2ax－3a＜0，即x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，故原不等式的解集是{x|x＞1或x＜－3}．18．(12分)设集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|－x2－2x＋3>0}．(1)求集合A∩B；(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集为B，求实数a，b的值．解：(1)A＝{x|4－x2>0}＝{x|－2<x<2}，B＝{x|－x2－2x＋3>0}＝{x|－3<x<1}，故A∩B＝{x|－2<x<1}．(2)∵2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3<x<1}，∴－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根．∴解得故实数a，b的值分别为4，－6.19．(12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解：(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．①若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.当m＝－1时，不符合题意；当m＝3时，符合题意．②若m2－2m－3≠0，设y＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．则m2－2m－3<0，且Δ＝5m2－14m－3<0，解得－<m<3.故实数m的取值范围是.20．(12分)解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1＞0(a＜0)．解：ax2＋(1－a)x－1＞0可得(ax＋1)(x－1)＞0，即(x－1)＜0.当－＜1时，即a＜－1时，不等式的解为－＜x＜1，当－＞1时，即－1＜a＜0，不等式的解为1＜x＜－，当－＝1时，即a＝－1时，不等式的解集为∅.综上所述，当a＜－1时，不等式的解集为；当－1＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－1时，不等式的解集为∅.21．(12分)已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋.证明：法一：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴＋＋＝ ＋ ＋ <＋＋＝＋＋.故原不等式成立．法二：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋> ＋＋＝＋＋.故原不等式成立．22．(12分)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住2022年冬奥会契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x＞25时，a≥＋x＋有解，由于＋x≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．