综合素养评价（三） 对数函数的图象与性质 试卷

这是一份综合素养评价（三） 对数函数的图象与性质，共4页。
综合素养评价（三） 对数函数的图象与性质1．已知loga<2，那么a的取值范围是(　　)A.　　　　　　　　 B.C.   D.∪(1，＋∞)解析：选D　当a>1时，由loga<logaa2得a2>，故a>1；当0<a<1时，由loga<logaa2得0<a2<，故0<a<.综上可知，a的取值范围是∪(1，＋∞)．2．函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么f(x)在(1，＋∞)上(　　)A．递增且无最大值   B．递减且无最小值C．递增且有最大值   D．递减且有最小值解析：选A　由|x－1|＞0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则有g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，∴a＞1.∴f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值．3．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)A．(0,1)   B．[0,1)C．(－∞，0]∪[1，＋∞)   D．{0}∪[1，＋∞)解析：选C　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.4．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)＞0，则f(x)(　　)A．在(－∞，0)上是增函数B．在(－∞，0)上是减函数C．在(－∞，－1)上是增函数D．在(－∞，－1)上是减函数解析：选C　当－1＜x＜0时，0＜x＋1＜1.∵loga|x＋1|＞0，∴0＜a＜1，∴函数f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减．5．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)解析：选C　f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的，且过点(1,1)，g(x)＝2－x＋1＝x－1的图象是由y＝x的图象向右平移一个单位长度得到的，且过点(0,2)，故只有C选项中的图象符合．6．已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a>0，且a≠1)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)A.　    B.　      C.　        D.解析：选A　当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.7．已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为________．解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，log2＝－log2，＝，a2＝1，因为a≠－1，所以a＝1.答案：18．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________________．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．又∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由f＝0，得f＝0，函数的大致图象如图所示．∴f>0，即logx<－或logx>，解得x>2或0<x<，∴x∈∪(2，＋∞)．答案：∪(2，＋∞)9．若函数f(x)＝log2的值域为R，则实数k的取值范围为________．解析：设u＝kx2＋(2k－1)x＋的值域为A，y＝log2u的定义域为B＝(0，＋∞)，当k＝0时，u＝－x＋，A＝R，则A∩B＝(0，＋∞)，函数f(x)的值域为R，符合题意；当k≠0时，依题意得k>0，B⊆A，因此(2k－1)2－4×k×≥0，解得k≤或k≥1，此时k的取值范围是∪[1，＋∞)．综上所述，实数k的取值范围为∪[1，＋∞)．答案：∪[1，＋∞)10．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．解：y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.∵f(x)的定义域为[1,9]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.∴当x＝3时，y取得最大值，为13.11．已知函数f(x)＝loga(2－x)＋loga(x＋4)，其中a＞1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)图象所经过的定点；(3)若函数f(x)的最大值为2，求a的值．解：(1)由题意，得解得－4＜x＜2.所以函数f(x)的定义域为{x|－4＜x＜2}．(2)f(x)＝loga(2－x)＋loga(x＋4)＝loga(2－x)(x＋4)，当(2－x)(x＋4)＝1，即x＝－1±2时，f(x)＝0，函数图象所经过的定点为(－1＋2，0)，(－1－2，0)．(3)设g(x)＝(2－x)(x＋4)，x∈(－4,2)，则g(x)＝(2－x)(x＋4)∈(0,9]，若函数f(x)＝loga(2－x)(x＋4)的最大值为2，因为a＞1，则g(x)＝9时最大值为2，即f(x)max＝loga9＝2，则a2＝9，故a＝3.12．已知函数f(x－1)＝lg.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．解：(1)令t＝x－1，则x＝t＋1，由题意知>0，即0<x<2，则－1<t<1，所以f(t)＝lg＝lg，故f(x)＝lg(－1<x<1)．(2)由(1)知，f(x)＝lg(－1<x<1)，因为f(－x)＝lg＝lg＝lg－1＝－lg＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)原不等式可化为lg≥lg(3x＋1)，－1<x<1，即≥3x＋1>0，－1<x<1，解得－<x≤0或≤x<1，故原不等式的解集为∪.