人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课后作业题

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课时跟踪检测（十五） 分段函数层级(一)　“四基”落实练1．(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　)A．f(x)＝　 B．f(x)＝C．f(x)＝   D．f(x)＝解析：选AD　对于B：取x＝2，f(2)＝3或4，对于C：取x＝1，f(1)＝5或1，所以B、C都不合题意．易知A、D符合．2．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　)解析：选C　由题意知f(x)＝则f(x)的图象为C中图象所示．3．设函数f(x)＝则f的值为(　　)A.   B．－C.   D．18解析：选A　因为x＞1时，f(x)＝x2＋x－2，所以f(2)＝22＋2－2＝4，＝.又x≤1时，f(x)＝1－x2，所以f＝f＝1－2＝.故选A.4．设f(x)＝若f(x)＝1，则x等于(　　)A．1   B．±1C.   D．－1解析：选B　若即∴x＝－1.若即∴x＝1.若即无解．故x＝±1.5．(多选)如表表示y是x的函数，则(　　)x0＜x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x≤20y2345 A．函数的定义域是(0,20]B．函数的值域是[2,5]C．函数的值域是{2,3,4,5}D．该函数是分段函数解析：选ACD　由表可知，函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]＝(0,20]，故A正确；值域为{2}∪{3}∪{4}∪{5}＝{2,3,4,5}，故B错误，C正确；该函数是分段函数，故D正确．故选A、C、D.6．已知f(x)＝则f＋f＝________.解析：∵f(x)＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.答案：47．设函数f(x)＝若f(a)＞a，则实数a的取值范围是________．解析：当a≥0时，由f(a)＞a得a－1＞a，解得a＜－3，又a≥0，所以无解，当a＜0时，由f(a)＞a得＞a，解得a＜－1，故填(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)8．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝(1)求f，f，f(－1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值．解：(1)∵>1，∴f＝－2×＋8＝5.∵0<<1，∴f＝＋5＝.∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)这个函数的图象如图．在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取0<x≤1的部分，在函数y＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分．图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 层级(二)　能力提升练1．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于(　　)A．－3   B．±3C．－1   D．±1解析：选D　f(－1)＝＝1.∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2.∴f(a)＝1，即①　或②解①得a＝1，解②得a＝－1.∴a＝±1.2．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)A．f(x)的定义域为RB．f(x)的值域为(－∞，4)C．若f(x)＝3，则x的值是D．f(x)＜1的解集为(－1,1)解析：选BC　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)取值范围是(－∞，1]，当－1＜x＜2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1＜x＜2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2＜1，解得x＜－1，当－1＜x＜2时，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f(x)＜1的解集(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．故选B、C.3．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝________.解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴解得∴f(x)＝答案：    4．根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式．解：当－3≤x＜－1时，函数f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－；当－1≤x＜1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x－；当1≤x＜2时，f(x)＝1.综上所述，f(x)＝5.如图，动点P从单位正方形ABCD的顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f的值．解：当点P在AB上运动时，y＝x；当点P在BC上运动时，y＝，当点P在CD上运动时，y＝，当点P在DA上运动时，y＝4－x，∴y＝∴f＝ ＝. 层级(三)　素养培优练1．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)A．a∧b≥2，c∧d≤2   B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2   D．a∨b≥2，c∨d≥2解析：选C　不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c.若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2.若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2.2．已知n为正整数，规定f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，且f(x)＝(1)解不等式f(x)≤x.(2)设集合A＝{0,1,2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x.(3)“对任意x∈[0,2]，总有f3(x)＝x”是否正确？请说明理由．解：(1)当0≤x≤1时，由2(1－x)≤x，得x≥，故≤x≤1；当1＜x≤2时，由x－1≤x，得x∈R，故1＜x≤2.综上可知，不等式的解集为.(2)由题可知，f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1.当x＝0时，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；同理，可求得当x＝1时，f3(1)＝1；当x＝2时，f3(2)＝2.故对任意x∈A，恒有f3(x)＝x.(3)不正确．例如，x＝∈[0,2]，f3＝f＝f(f(1))＝f(0)＝2≠，即f3(x)＝x不成立．故“对任意x∈[0,2]，总有f3(x)＝x”不正确．