高中数学4.5 函数的应用（二）精练

课时跟踪检测（三十） 用二分法求方程的近似解

层级(一)　“四基”落实练

1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)

A．[－2,1]　　　　　　 B．[－1,0]

C．[0,1]  D．[1,2]

解析：选A　∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，∴可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．

2．用二分法求函数f(x)＝lg x＋x－2的一个零点，根据参考数据，可得函数f(x)的一个零点的近似解(精确到0.1)为(　　)

(参考数据：lg 1.5≈0.176，lg 1.625≈0.211，lg 1.75≈0.243，lg 1.875≈0.273，lg 1.937 5≈0.287)

A．1.6　　　　　　　　　 B．1.7

C．1.8  D．1.9

解析：选C　由题意可得，f(1.5)＝lg 1.5＋1.5－2＝0.176＋1.5－2＜0，

f(1.625)＝lg 1.625＋1.625－2＝0.211＋1.625－2＜0，

f(1.75)＝lg 1.75＋1.75－2＝0.243＋1.75－2＜0，

f(1.875)＝lg 1.875＋1.875－2＝0.273＋1.875－2＞0.

因为函数f(x)在(0，＋∞)上是连续的，

所以函数在区间(1.75,1.875)上有零点，

故函数f(x)的一个零点的近似解为1.8.

3．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(0,2)

C．(2,3)  D．(2,4)

解析：选B　因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，

f(4)＝24＋12－7>0，

f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．

4．(多选)根据已给数据：

在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x＋4的一个近似解可以为(　　)

A．－1  B．1.5

C．1.562  D．1.7

解析：选BC　令f(x)＝3x－x－4，由已知表格中的数据，可得：f(1.5)＝5.196－1.5－4＝－0.304＜0，

f(1.531 25)＝5.378－1.531 25－4＝－0.153 25＜0，

f(1.562 5)＝5.565－1.562 5－4＝0.002 5＞0，

f(1.625)＝5.961－1.625－4＝0.336＞0，

f(1.75)＝6.839－1.75－4＝1.089＞0.

∵精确度为0.1，而f(1.5)·f(1.562 5)＜0，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5＜0.1，

f(1.5)·f(1.625)＜0，且|1.625－1.5|＝0.125＞0.1，

f(1.531 25)·f(1.625)＜0，且|1.625－1.531 25|＝0.093 75＜0.1，

f(1.531 25)·f(1.75)＜0，且|1.75－1.531 25|＝0.218 75＞0.1，

∴[1.5,1.562 5]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x＋4的一个近似解．

结合选项可知，B、C成立．

5．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：

f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437 5)≈0.162，f(1.406 25)≈－0.054，

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　)

A．1.5  B．1.25

C．1.375  D．1.437 5

解析：选D　由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，则f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D.

6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．

解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.

答案：a2＝4b

7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．

解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以零点在区间(2,3)内．

答案：(2,3)

8．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．

解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．

下面用二分法求解：

因为f(1.187 5)·f(1.25)＜0，且|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.

层级(二)　能力提升练

1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0.6  B．0.75

C．0.7  D．0.8

解析：选C　已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，

则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．

又0.68＝，且f(0.68)<0，

所以零点在区间(0.68,0.72)上，

因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，

因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为0.7.

2．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是______次．

解析：设至少需要计算n次，则n满足<0.001，

即2n＞100，由于26＝64,27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．

答案：7

3．用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.

解析：开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.1，即2n≥10，则n≥4，所以至少需要操作4次．

答案：4

4．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．

证明：∵f(1)>0，∴f(1)＝3a＋2b＋c>0，

即3(a＋b＋c)－b－2c>0.

∵a＋b＋c＝0，

∴a＝－b－c，－b－2c>0，

∴－b－c>c，即a>c.

∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.

取区间[0,1]的中点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.

∵f(0)>0，f(1)>0，

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．

又f(x)为二次函数，最多有两个零点，

∴f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．

5．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.

(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．

解：(1)证明：∵f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，

∴f(0)·f(2)＝－<0，

由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．

(2)取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，

由此可得f(1)·f(2)＝－<0，下一个有解区间为(1,2)．

再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，

∴f(1)·f＝－<0，下一个有解区间为.

再取x3＝＝，得f＝>0，

∴f·f<0，下一个有解区间为.

故f(x)＝0的实数解x0在区间内．

层级(三)　素养培优练

某电脑公司生产A形手提电脑，2014年平均每台A形手提电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2015年开始，公司加强管理，降低生产成本.2018年平均每台A形手提电脑尽管出厂价仅是2014年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益．

(1)求2018年每台A形手提电脑的生产成本；

(2)以2014年的生产成本为基数，用二分法求2015～2018年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01)．

解：(1)设2018年每台A形手提电脑的生产成本为P元，依题意得P(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，

解得P＝3 200，

所以2018年每台A形手提电脑的生产成本为3 200元．

(2)设2015～2018年生产成本平均每年降低的百分数为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝3 200(0<x<1)，

即5(1－x)2＝4(0<x<1)．

令f(x)＝5(1－x)2－4，

则f(0.10)＝0.05>0，

f(0.11)＝－0.039 5<0，

所以f(x)在(0.10,0.11)内有一个零点x0.

取区间[0.10,0.11]的中点0.105，

则f(0.105)≈0.005>0，

所以f(0.11)·f(0.105)<0，

所以x0∈(0.105,0.11)．

0．105和0.11精确到0.01的近似值都是0.11.

所以f(x)＝0的近似解可以是0.11.

所以2015～2018年生产成本平均每年降低11%.