高中数学4.5 函数的应用（二）巩固练习

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课时跟踪检测（二十九） 函数的零点与方程的解层级(一)　“四基”落实练1．若函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)A．2　　　　　　　　　　 B．－2C．±2   D．3解析：选C　因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.2．(多选)若方程x2＋2x＋λ＝0在区间(－1,0)上有实数根，则实数λ的取值可以是(　　)A．－3   B.C.   D．1解析：选BC　方程x2＋2x＋λ＝0对应的二次函数为：f(x)＝x2＋2x＋λ，它的对称轴为：x＝－1，所以函数在(－1,0)上是增函数，所以可得解得λ∈(0,1)．结合选项知选B、C.3．函数f(x)＝x3＋3x－15的零点所在的区间为(　　)A．(－1,0)  B．(0,1)C．(1,2)  D．(2,3)解析：选D　函数f(x)＝x3＋3x－15是连续的单调递增函数，∵f(1)＝1＋3－15＝－11＜0，f(2)＝8＋6－15＝－1＜0，f(3)＝27＋9－15＝21＞0，∴f(2)f(3)＜0，由函数零点存在定理可知函数的零点所在区间为(2,3)．4．根据表格中的数据，可以判定方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间是(　　)x01234ex12.727.3920.0954.602x＋55791113A.(0,1)  B．(1,2)C．(2,3)  D．(3,4)解析：选C　设f(x)＝ex－2x－5，此函数的图象是连续不断的，由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，f(3)＝20.09－11＝9.09>0，f(4)＝54.60－13＝41.60>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的一个零点，即方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间为(2,3)．5．已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是(　　)A．(0，＋∞)  B．(－∞，1)C．(1，＋∞)  D．(0,1]解析：选D　作出函数f(x)的图象，由图象知，当0＜k≤1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实根，所以0＜k≤1，故选D.6．函数f(x)＝的零点是________．解析：令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.答案：17．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2＜0，∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．答案：08．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋1.(1)求f(x)的解析式；(2)讨论函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)的零点个数．解：(1)当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1，∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴f(x)＝(2)函数f(x)的图象如图所示．当m＜0时，g(x)没有零点；当m＝0或m＞1时，g(x)有2个零点；当0＜m＜1时，g(x)有4个零点；当m＝1时，g(x)有3个零点．层级(二)　能力提升练1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,3)  B．(1,2)C．(0,3)  D．(0,2)解析：选C　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0<a<3.2．(多选)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有四个零点，则实数m可取(　　)A．－1  B．1C．3  D．5解析：选BC　令g(x)＝0得f(x)＝m，作出函数f(x)的图象如图所示．∵函数f(x)的图象与y＝m有四个交点，∴m的取值范围为(0,4)，结合选项知选B、C.3．已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数m的取值范围是________．解析：令f(x)＝0⇒x＝－2或1.令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.作出y＝f(x)的图象，如图所示．∵y＝f(f(x)＋m)有四个零点，∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，∴解得－3≤m<－1.答案：[－3，－1)4．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．解：(1)－1和－3是函数f(x)的两个零点，故－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．则解得k＝－2.(2)函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根．∴则－4≤k≤－，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k2－10k－6在－4≤k≤－上单调递减， ∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是.5．已知f(x)＝log3(3x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a有公共点，求a的取值范围．解：(1)∵y＝f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴log3(3－x＋1)－kx＝log3(3x＋1)＋kx，化简得log3＝kx，即log3＝kx，∴log33－x＝kx，∴－x＝kx，即(k＋1)x＝0对任意的x∈R都成立，∴k＝－1.(2)由题意知，方程log3(3x＋1)－x＝x＋a有解，亦即log3(3x＋1)－x＝log3＝a有解，∴log3＝a有解．由＞0，得1＋＞1，∴log3＞0，故a＞0，即a的取值范围是(0，＋∞)． 层级(三)　素养培优练已知函数f(x)＝2x，g(x)＝log2x.(1)若x0是方程f(x)＝－x的根，证明2x0是方程g(x)＝－x的根；(2)设方程f(x－1)＝－x，g(x－1)＝－x的根分别是x1，x2，求x1＋x2的值．解：(1)证明：因为x0是方程f(x)＝－x的根，所以2x0＝－x0，即x0＝－2x0，则g(2x0)＝log22x0＝x0＝－2x0.所以2x0是方程g(x)＝－x的根．(2)由题意知，方程2x－1＝－x，log2(x－1)＝－x的根分别是x1，x2，即方程2x－1＝－(x－1)，log2(x－1)＝－(x－1)的根分别为x1，x2，令t＝x－1，则方程2t＝－t，log2t＝－t的根分别为t1＝x1－1，t2＝x2－1.由(1)知t1是方程2t＝－t的根，则2t1是方程log2t＝－t的根．令h(t)＝log2t＋t－，则2t1是h(t)的零点，又因为h(t)是(0，＋∞)上的增函数，所以2t1是h(t)的唯一零点，即2t1是方程log2t＝－t的唯一根．所以2t1＝t2，所以t1＋t2＝t1＋2t1＝，即(x1－1)＋(x2－1)＝，所以x1＋x2＝＋2＝.