数学人教A版 (2019)4.3 对数课时作业

课时跟踪检测（二十八） 不同函数增长的差异

层级(一)　“四基”落实练

1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　　)

A．y＝x2　　　　　　　　 B．y＝log2x

C．y＝2x   D．y＝2x

答案：D

2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)

A．y＝0.2x  B．y＝(x2＋2x)

C．y＝   D．y＝0.2＋log16x

解析：选C　将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝.

3．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：

则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)

A．y1，y2，y3   B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1   D．y1，y3，y2

解析：选C　通过比较指数型函数，对数型函数，直线型函数的增长规律可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律，故选C.

4．如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是(　　)

A．①反映了建议(2)，③反映了建议(1)

B．①反映了建议(1)，③反映了建议(2)

C．②反映了建议(1)，④反映了建议(2)

D．④反映了建议(1)，②反映了建议(2)

解析：选B　建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象，故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2)．故选B.

5．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．

解析：当x变大时，x比ln x增长要快，

所以x2要比xln x增长的要快．

答案：y＝x2

6．某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：

f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.

(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数)；

(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，从2018年起，年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．

解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b.理由如下：

若模型为f(x)＝2x＋a，

则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，

此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．

若模型为f(x)＝logx＋a，

则f(x)是减函数，与已知不符合．

由已知得解得

所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N*.

(2)2021年预计年产量为f(8)＝1.5×8＋2.5＝14.5(万件)，

2021年实际年产量为14.5×(1－30%)＝10.15(万件)．

层级(二)　能力提升练

1．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)

A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢

B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快

C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢

D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快

解析：选C　观察函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.

2.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)

解析：选B　v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.

3．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x的图象，并比较x＋5与2x的大小．

解：根据函数y＝x＋5与y＝2x的图象增长差异得：

当x＜3时，x＋5＞2x；

当x＝3时，x＋5＝2x；

当x＞5时，x＋5＜2x.

4．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？

解：设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.

乙方案在10年后树木产量为

y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98a.

y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．

层级(三)　素养培优练

某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：

①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？

解：将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1，1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．

①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，

解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.

所以f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.

②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，得

解得

故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.

所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，

与实际误差为0.07.

③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得

解得

故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.

所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.

比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．