阶段验收评价（四） 指数函数与对数函数 试卷

阶段验收评价（四） 指数函数与对数函数

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．设a＞0，则下列运算中正确的是(　　)

解析：选D　根据指数幂的运算性质可得：

2．已知函数＝(　　)

A．4   B.

C．－4  D．－

解析：选B　根据分段函数可得

则故选B.

3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，6)进行整理，得数据如表所示：

根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是(　　)

A．y＝0.5(x＋1)  B．y＝log3x＋1.5

C．y＝2x－1  D．y＝2

解析：选B　由表可知y随x的增大而增大，最后趋于平缓，符合对数型函数模型，故选B.

4．函数f(x)＝log3(x＋1)＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

解析：选B　函数f(x)＝log3(x＋1)＋x－2在(－1，＋∞)上单调递增且连续，

且f(1)＝log32＋1－2＝log32－1＜0，

f(2)＝log33＋2－2＝1＞0，

故函数f(x)＝log3(x＋1)＋x－2的零点所在的一个区间是(1,2)．

5．已知指数函数f(x)的图象经过点(3,0.008)，a＝logf(1)10，b＝[f(1)]10，c＝10f(1)，则(　　)

A．c＜a＜b   B．c＜b＜a

C．b＜a＜c   D．a＜b＜c

解析：选D　设f(x)＝ax，

∵f(x)的图象经过点(3,0.008)，

∴f(3)＝a3＝0.008，则a＝0.2，即f(x)＝0.2x.

∴f(1)＝0.2，

∴a＝logf(1)10＝log0.210＜log0.21＝0，

0＜b＝(0.2)10＜(0.2)0＝1，c＝100.2＞100＝1，

∴a＜b＜c.

6．已知a＞1，函数y＝ax－1与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

解析：选B　已知a＞1，故函数y＝ax－1是增函数．

而函数y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，且在定义域内为减函数，结合选项知选B.

7．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“2p－1”(p是素数)型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“2p－1”(p是素数)形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为M＝2127－1，第14个梅森素数为N＝2607－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　)

A．10140   B．10142

C．10141   D．10146

解析：选D　＝≈2480，

令2480＝k，两边同时取常用对数得：lg 2480＝lg k，

∴lg k＝480lg 2≈144.48，

∴k＝10144.48，∴与最接近的数为10146.

8．已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)＞0，则此函数的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－3)   B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)   D．(1，＋∞)

解析：选D　∵f(2)＝loga5＞0＝loga1，∴a＞1.

由x2＋2x－3＞0，得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．

设u＝x2＋2x－3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－3)上为减函数，

根据复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9．给出下列条件：

(1)是定义在R上的偶函数；

(2)对任意x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，有<0.

下列函数能同时满足上述两个条件的是(　　)

A．y＝x2＋1   B．y＝－|x|

C．y＝|x|   D．y＝log2x

解析：选BC　由题意，得所给的四个函数中既是定义在R上的偶函数，又在区间(0，＋∞)上为减函数的是B、C.

10．若指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为，则a的值可能是(　　)

A．2   B．

C．3   D．

解析：选AB　由指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为，

当a＞1时，可得ymin＝，ymax＝a，

那么＋a＝，解得a＝2；

当0＜a＜1时，可得ymax＝，ymin＝a，

那么＋a＝，解得a＝，

故a的值可能是或2.故选A、B.

11．关于x的方程ax2－|x|＋a＝0有四个不同的实数解，则实数a的值可能是(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选BCD　若a＝，则x2－2|x|＋1＝0，方程有两个解：±1，不满足题意．

若a＝，则x2－3|x|＋1＝0，Δ＝9－4＞0，|x|有两个正数解，所以方程有4个不同的实数解，满足题意．

同理可得，当a＝或时，也满足题意．故选B、C、D.

12.在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)

A．k＜0,0＜b＜1

B．k＞0，b＞1

C．fg(1)＞0(x＞0)

D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0

解析：选ABC　由直线方程可知，k＞0,0＜b＜1，

故A、B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；

而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，

所以f(x)－g(x)＞0，所以D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)＝________.

解析：由题意得定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.

答案：27

14．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序为________．

解析：在同一坐标系中同时画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3和y＝－x的图象，根据交点可知a<c<b.

答案：a<c<b

15．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________.

解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，

所以(1＋a)3＝，所以1＋a＝，

故a＝＝25%.

答案：y＝6.4(1＋a)x　25%

16．函数f(x)＝的零点个数是________；满足f(x0)＞1的x0的取值范围是________．

解析：函数f(x)＝

可得x＜0时，由x＋2＝0，解得x＝－2；

x＞0时，由x2－3＝0，解得x＝，

所以函数f(x)的零点有2个．

由f(x0)＞1，可得解得x0∈(－1,0)．

或解得x0∈(2，＋∞)．

答案：2　(－1,0)∪(2，＋∞)

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)计算：

18．(12分)已知函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断函数F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并证明；

(3)解不等式loga(1－x)＞loga(x＋2)．

解：(1)由a2－3a＋3＝1，可得a＝2或a＝1(舍去)，

∴f(x)＝2x.

(2)F(x)是奇函数．证明如下：

∵F(x)＝2x－2－x，∴F(x)的定义域为R，关于原点对称，

又F(－x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．

(3)不等式log2(1－x)＞log2(x＋2)，

即1－x＞x＋2＞0，∴－2＜x＜－，

解集为.

19．(12分)设定义域均为[，8]的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为f(x)＝log2x－2和g(x)＝log4x－.

(1)求函数y＝f(x)的值域；

(2)求函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域．

解：(1)因为y＝log2x在[，8]上是增函数，

所以log2≤log2x≤log28，即log2x∈.

故log2x－2∈，

即函数y＝f(x)的值域为.

(2)G(x)＝f(x)·g(x)＝(log2x－2)

＝(log2x－2)

＝[(log2x)2－3log2x＋2]，

令t＝log2x，x∈[，8]，t∈，

则y＝(t2－3t＋2)＝2－，t∈，

故当t＝时，y取最小值，最小值为－；

当t＝3时，y取最大值，最大值为1.

所以函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域为.

20．(12分)某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝a·logbx；④y＝k·ax；

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．

解：(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，

而所给的四个函数中y＝ax＋b，y＝a·logbx及y＝k·ax都是单调函数，不满足题意，

∴选取函数y＝ax2＋bx＋c.

(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入方程，

得解得

∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26.

∴当x＝20时，y有最小值，ymin＝26.

故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低价格为26元．

21．(12分)已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．

(1)求实数m的取值范围；

(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求实数m的值．

解：(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点；

当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36 m－20≥0，得m≤－，

∴当m≤－，且m≠－6时，函数f(x)有零点．

综上，实数m的取值范围为.

(2)由题目条件知m＋6≠0，设x1，x2(x1≠x2)是函数f(x)的两个零点，

则有x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵＋＝－4，即＝－4，

∴－＝－4，解得m＝－3.

又当m＝－3时，Δ>0，符合题意，∴m＝－3.

22．(12分)经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量L(单位：千克)与施肥量x(单位：千克)满足函数关系：L(x)＝且单株水果树的肥料成本投入为20x元，其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为25x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元)．

(1)求f(x)的函数关系式；

(2)当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

解：(1)f(x)＝15L(x)－20x－25x，

所以f(x)＝

(2)当0≤x≤2时，

f(x)＝75x2－45x＋450＝752＋443.25，

所以当x＝2时，f(x)取最大值为f(2)＝660元；

当2＜x≤5时，f(x)＝

－45x＝－45x

＝1 170－，

而＋45(x＋1)≥2＝450，

当且仅当＝45(x＋1)，即x＝4时取等号，

所以f(x)＝1 170－≤1 170－450＝720元．

综上所述，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．