综合素养评价（五） 三角函数 试卷

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综合素养评价（五） 三角函数1．已知α是第二象限角，sin α＝，则sin 2α的值为(　　)A．－　　   B.　　　　C．－　　　D.解析：选A　因为α是第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－＝－，则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.2．如图所示的图象的函数解析式是(　　)A．y＝sinB．y＝sinC．y＝cosD．y＝cos解析：选D　由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．3．求值：等于(　　)A．2   B.C．1  D．－1解析：选D　＝＝＝＝＝－1.4．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减解析：选A　把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin 2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin 2x的一个单调递增区间为.5．已知函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，则最小正实数a的值为(　　)A.         B.         C.            D.解析：选A　因为f(x)＝sin x＋cos x＝2＝2sin，所以其对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z.解得x＝kπ＋，k∈Z.又函数f(x)＝sin x＋cos x的图象关于直线x＝a对称，所以a＝kπ＋，k∈Z.当k＝0时，最小正实数a的值为.6.(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则下列正确的是(　　)A．f(x)＝2sinB．f(2 021π)＝1C．函数y＝|f(x)|为偶函数D．∀x∈R，f＋f＝0解析：选AD　由图象知：A＝2，T＝2＝π，∴ω＝＝＝2，故f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f(x)的图象过点，∴2sin＝2，故sin＝1，∴－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，故φ＝＋2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ＝，故f(x)＝2sin，对于A：f(x)＝2sin，故A正确；对于B：f(2 021π)＝2sin＝2sin＝，故B错误；对于C：∵＝＝0，＝＝，∴≠，故|f(x)|不是偶函数，故C错误；对于D：∵f＝2sin＝2sin(π＋2x)＝－2sin 2x，f＝2sin＝2sin(π－2x)＝2sin 2x，∴f＋f＝－2sin 2x＋2sin 2x＝0，故D正确．7．已知tan ＝2，则tan α＝________；sin2α－sin αcos α＝________.解析：由tan ＝2，得tan α＝＝＝－；sin2α－sin αcos α＝＝＝＝.答案：－　8．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于中心对称，则函数f(x)在上的最小值是________．解析：f(x)＝2sin，又图象关于中心对称，所以2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，所以θ＝kπ－(k∈Z)，又0<θ<π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，因为x∈，所以2x∈，f(x)∈[－，2]，所以f(x)的最小值是－.答案：－9．若3sin2α＋2sin2β－2sin α＝0，则cos2α＋cos2β的最小值是________．解析：∵3sin2α＋2sin2β－2sin α＝0，∴2sin2β＝2sin α－3sin2α＝sin α(2－3sin α)≥0，∴0≤sin α≤，∴cos2α＋cos2β＝cos2α＋(1－sin2β)＝cos2α＋＝sin2α－sin α＋2＝(sin α－1)2＋，当sin α＝时，cos2α＋cos2β取得最小值.答案：10．(1)已知cos＝，≤α＜，求cos2α＋的值；(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.解：(1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.∵cos＞0，∴＜α＋＜，∴sin＝－＝－＝－，∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝－.(2)∵sin 2α＝－cos＝－＝1－2cos2，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－.∵α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.11．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x－∈，sin∈，sin＋1∈[0，＋1]．当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.所以当x∈时，f(x)≥0.12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2.当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋21－2sin2，令t＝sin，t∈[－1,1]，记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，即g(x)∈，故a∈.故a的取值范围为.