高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质课时训练

课时跟踪检测（三十九）

正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

层级(一)　“四基”落实练

1．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于(　　)

A．x轴对称　　　　　　 B．原点对称

C．y轴对称  D．直线x＝对称

解析：选B　y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称．

2．函数y＝sin的奇偶性是(　　)

A．奇函数  B．偶函数

C．非奇非偶函数  D．既是奇函数也是偶函数

解析：选B　y＝sin＝sin＝cos，故为偶函数．

3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

解析：选B　由f(－x)＝f(x)，

则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.

4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)

A．1  B．－1

C．0  D．2

解析：选B　由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，

所以f＝f＝f＝－f＝－1.

5．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)

A．10  B．11

C．12  D．13

解析：选D　∵T＝＝≤2，∴k≥4π.

又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.

6．若函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω＝________.

解析：由已知得＝，又ω＞0，

所以＝，ω＝10.

答案：10

7．若f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝cos x－sin x，当x＜0时，f(x)的解析式为________．

解析：x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cos x＋sin x.

因为f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－cos x－sin x，

即x＜0时，f(x)＝－cos x－sin x.

答案：f(x)＝－cos x－sin x

8．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝coscos(π＋x)；

(2)f(x)＝ ＋.

解：(1)x∈R，

f(x)＝coscos(π＋x)

＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x.

∵f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)

＝－sin 2xcos x＝－f(x)，

∴该函数是奇函数．

(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，

∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0.

∴f(x)＝ ＋的定义域为R.

∵f(－x)＝＋

＝ ＋＝f(x)，

∴该函数是偶函数．

层级(二)　能力提升练

1．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于(　　)

A．1  B．

C．0  D．－

解析：选B　f＝f＝f＝sin＝.

2．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________.

解析：因为f(x)·f(x＋2)＝13，

所以f(x＋2)＝，

所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，

所以函数f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.

答案：

3．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为________．

解析：由已知＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，

又∵φ∈，∴k＝0时，φ＝－符合条件．

答案：－

4．已知函数f(x)＝sin x＋|sin x|.

(1)画出函数f(x)的简图；

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

解：(1)f(x)＝sin x＋|sin x|

＝

图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.

5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．

(1)求证：函数f(x)是周期函数；

(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．

解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－，

∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，

∴函数f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．

(2)∵4是f(x)的一个周期，

∴f(5)＝f(1)＝－5，

∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝.

层级(三)　素养培优练

1．方程cos＝x在区间(0,100π]内解的个数是(　　)

A．98  B．100

C．102  D．200

解析：选B　由cos＝－sin x＝x，可在同一坐标系内作出函数y＝－sin x与y＝x的图象，要判断在(0,100π]内的解的个数，应先判断y＝－sin x与y＝x在一个周期内的个数，结合图象知在每个周期有2个交点，故一共有2×＝100个．

2．写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.

解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝⇒f(x)＝sin πx.

答案：sin πx

3．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．

解：当x∈时，

g(x)＝f＝cos.

因为x＋∈，所以由g(x)＝，

解得x＋＝－或，

即x＝－或－.

又因为g(x)的最小正周期为π，

所以g(x)＝的解集为

.