人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制同步测试题

课时跟踪检测（三十二） 任意角

层级(一)　“四基”落实练

1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)

A．A＝B　　　　　　 B．B＝C

C．A＝C  D．A＝D

解析：选D　根据A＝{θ|θ为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得A＝D.

2．与2 021°终边相同的角是(　　)

A．－111°  B．－70°

C．141°  D．221°

解析：选D　终边相同的角相差了360°的整数倍，设与2 021°角的终边相同的角是α，则α＝2 021°＋k·360°，k∈Z，当k＝－5时，α＝221°.

3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)

A．90°－α  B．90°＋α

C．360°－α  D．180°＋α

解析：选C　因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．

4．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　)

A．α＋β＝90°

B．α＋β＝180°

C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)

D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)

解析：选BD　当α和β的终边关于y轴对称时，有α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z，结合选项可知，B、D符合题意．

5．(多选)如果角α与角γ＋45°的终边重合，角β与角γ－45°的终边重合，那么α－β的可能值为(　　)

A．90°  B．360°

C．450°  D．3 330°

解析：选ACD　由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，

β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)．

将两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．

当k＝0时，α－β＝90°；当k＝1时，α－β＝450°；当k＝9时，α－β＝3 330°.故选A、C、D.

6．若角α＝2 020°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．

解析：∵2 020°＝5×360°＋220°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝220°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是220°，最大负角是－140°.

答案：220°　－140°

7．若角β与角α＝的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为________________．

8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：

(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.

解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．

(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．

(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．

层级(二)　能力提升练

1．(多选)若α是第二象限的角，则的终边所在位置可能是(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选ABD　若α是第二象限的角，则2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，

求得＋＜＜＋，k∈Z，设n∈Z，

当k＝3n时，为第一象限角；

当k＝3n＋1时，为第二象限角；

当k＝3n＋2时，为第四象限角．

2.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围为______________．

解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°＜α＜150°或210°＜α＜330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．

答案：{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z }

3．终边落在直线y＝x上的角α的集合为____________．

解析：如图所示，终边落在射线y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．

答案：{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z }

4．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β都是锐角，

∴0°<α＋β<180°.

取k＝1，得α＋β＝80°. ①

∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，

∴－90°<α－β<90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°. ②

由①②，得α＝15°，β＝65°.

5．已知角α＝45°.

(1)在－720°≤β≤0°范围内找出所有与角α有相同终边的角β；

(2)如果集合M＝，集合N＝，那么两集合的关系是什么？

解：(1)由题意知：β＝45°＋k·360°，k∈Z，

则令－720°≤45°＋k·360°≤0°，

解得－≤k≤－，

从而k＝－2或k＝－1，

故β＝－675°或 β＝－315°.

(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合，而集合N＝{x|x＝(k＋1)·45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而MN.

层级(三)　素养培优练

已知α是第三象限角，判断的终边位置．

解：法一：因为α为第三象限角，

所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，

则k·90°＋45°<<k·90°＋67.5°，k∈Z，

令k＝4n(n∈Z)，则n·360°＋45°<<n·360°＋67.5°，所以为第一象限角．

令k＝4n＋1(n∈Z)，则n·360°＋135°<<n·360°＋157.5°，所以为第二象限角．

令k＝4n＋2(n∈Z)，则n·360°＋225°<<n·360°＋247.5°，所以为第三象限角．

令k＝4n＋3(n∈Z)，则n·360°＋315°<<n·360°＋337.5°，所以是第四象限角．综上可知的终边落在第一、二、三、四象限．

法二：如图先将各象限4等分，然后从x轴正方向上方第一个区域起，按逆时针方向在各区域内依次标上1,2,3,4；1,2,3,4直到标完．因为α是第三象限角，其中出现数字3的区域，即为的终边所在的区域，所以的终边落在第一、二、三、四象限．