高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习题

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课时跟踪检测（四十三） 两角和与差的正弦、余弦、正切公式层级(一)　“四基”落实练1．sin 17°cos 13°＋sin 73°cos 77°等于(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C．－  D．－解析：选B　sin 17°cos 13°＋sin 73°cos 77°＝sin 17°cos 13°＋cos 17°sin 13°＝sin(17°＋13°)＝.2．已知sin α＝，且α∈，则sin的值为(　　)A．－   B.C．－   D.解析：选D　因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝ ＝，所以sin＝(sin α＋cos α)＝＝.3．(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转90°得到角β，则下列结论正确的是(　　)A．tan α＝  B．cos β＝－C．sin(α－β)＝－1  D．sin＝－解析：选AC　由题意知sin α＝－，cos α＝－，β＝α＋90°，则tan α＝＝，故A正确；cos β＝cos(α＋90°)＝－sin α＝，故B错误；α－β＝－90°，则sin(α－β)＝sin(－90°)＝－1，故C正确；sin β＝cos α＝－，则sin＝(sin β＋cos β)＝×＝×＝，故D错误，故正确的是A、C.4．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是(　　)A．2   B．　C．－2  D．－解析：选C　∵tan＝＝＝－，∴tan α＝－2，∵点P(1，a)在角α的终边上，∴tan α＝＝a，∴a＝－2.5．已知A，B，C是△ABC的三个内角，sin A＝，cos B＝－，则sin C等于(　　)A．   B．C．  D．解析：选B　由sin A＝，cos B＝－＜0，得B为钝角，A，C为锐角，故cos A＝，sin B＝，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.6.＝________.解析：原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.答案：2－7．已知tan＝，tan＝，则tan(α－β)＝________.解析：因为tan＝，tan＝，所以tan(α－β)＝tan＝＝＝1.答案：18．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．解：∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，∴sin β＝－，又β是第三象限角，∴cos β＝－＝－，∴sin＝sin βcos＋cos βsin＝×＋×＝－. 层级(二)　能力提升练1．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于(　　)A.   B.C.   D.解析：选C　∵0<β<α<，∴0<α－β<，由cos α＝得sin α＝，由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝＝，∴β＝.2．已知在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，则此三角形一定为(　　)A．锐角三角形  B．直角三角形C．等腰三角形  D．钝角三角形解析：选C　∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．由已知可得sin(B＋C)＝2sin Bcos C⇒sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C⇒sin Bcos C－cos Bsin C＝0⇒sin(B－C)＝0.∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π.∴B＝C.所以△ABC一定为等腰三角形．3．已知sin α－sin β＝－，cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝________.解析：已知两等式分别平方得：(sin α－sin β)2＝sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝， ①(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，      ②①＋②得：2＋2(cos αcos β－sin αsin β)＝，即cos αcos β－sin αsin β＝－，则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.答案：－4．已知<α<，0<β<， cos＝－，sin＋β＝.(1)求sin(α＋β)的值；(2)求cos(α－β)的值．解：(1)∵<α<，<＋α<π，∴sin＝ ＝.∵0<β<，<＋β<π，∴cos＝－＝－，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin＝－sin＋αcos＋β＋cos＋α·sin＝－＝.(2)由(1)可知，sin＝，cos＝－，∴sin＝sincos－cossin＝×－×＝－.又sin＝sin＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝.5．已知锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,4)．(1)求sin的值；(2)若锐角β满足cos(α＋β)＝－，求sin β的值．解：(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4)，所以sin α＝，cos α＝，所以sin＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－.(2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，因为cos(α＋β)＝－＜0，所以α＋β∈，所以sin(α＋β)＝.所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×＋×＝. 层级(三)　素养培优练1．如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝________.解析：由题图易知tan α＝，tan β＝，γ＝，∴tan(α＋β)＝＝1，∴由题意知α＋β＝，所以α＋β＋γ＝.答案：2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．(1)求cos(α＋β)的值；(2)若α∈，β∈，求2α－β的值．解：(1)由A，B，得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.(2)由已知得cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝－，sin 2α＝sin αcos α＋cos αsin α＝.∵cos 2α＜0，α∈，∴2α∈.∵β∈，∴2α－β∈.∵sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝－，∴2α－β＝－.