数学必修 第一册5.5 三角恒等变换课后测评

课时跟踪检测（四十二） 两角差的余弦公式

层级(一)　“四基”落实练

1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°等于(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．－

解析：选B　cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.

2．已知cos α＝，α∈，则cos的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　因为α∈，所以sin α＝－，

所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝.

3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β等于(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选A　因为α，β为锐角，

cos α＝，cos(α＋β)＝－，

所以sin α＝，sin(α＋β)＝.

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α

＝－×＋×＝.

4．(多选)已知α，β∈且sin α＝，sin(α＋β)＝，则(　　)

A．cos(α＋β)＝  B．cos(α＋β)＝－

C．cos β＝  D．cos β＝

解析：选BD　因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，

又因为sin(α＋β)＝＜sin α＝，

所以α＋β∈，

所以cos α＝，cos(α＋β)＝－，

故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.

5．如果cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为(　　)

A.　     　 B.              C.　　　        D.

解析：选C　因为α，β∈，

所以α＋β∈(0，π)，β－∈.

又因为cos(α＋β)＝，sin＝，

所以sin(α＋β)＝＝，

cos＝ ＝，

所以cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin

＝×＋×＝.

6．计算：sin 39°cos 21°＋sin 51°cos 59°＝________.

解析：sin 39°cos 21°＋sin 51°cos 59°＝cos 51°cos 21°＋sin 51°sin 21°＝cos(51°－21°)＝cos 30°＝.

答案：

7．已知α为三角形的内角且cos α＋sin α＝，则α＝________.

解析：∵cos α＋sin α＝cos cos α＋sin sin α

＝cos＝，

又0＜α＜π，－＜α－＜，∴α－＝，α＝.

答案：

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α－β)的值．

解：依题意，得cos α＝，cos β＝.

因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝.

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×＝.

9．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．

解：∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，

∴sin(α－β)＝.

∵<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝，

∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－1.

∵<α－β<π，<α＋β<2π，

∴<2β<，2β＝π，∴β＝.

层级(二)　能力提升练

1．函数f(x)＝cos 2xcos－sin 2xsin的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：选D　f(x)＝cos 2xcos－sin 2xsin

＝cos 2xcos＋sin 2xsin＝cos.

由2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，

得该函数的单调递增区间为(k∈Z)．

2．(多选)若α，β为两个锐角，则(　　)

A．cos(α＋β)>cos α＋cos β

B．cos(α＋β)<cos α＋cos β

C．cos(α－β)>cos αcos β

D．cos(α－β)<sin αsin β

解析：选BC　cos－(cos α＋cos β)

＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β

＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β，

因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0，

－sin αsin β<0，－cos β<0，

故cos[α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0，

即cos(α＋β)<cos α＋cos β，故A错误，B正确．

因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，

α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0，

所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，

同理cos(α－β)>sin αsin β，故C正确，D错误．

3.＝________.

解析：原式＝

＝

＝＝＝.

答案：

4．已知α，β都是锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，求角β的值．

解：由于α是锐角，cos α＝，

所以sin α＝＝，

又因为β是锐角，所以α＋β∈(0，π)．

因为sin(α＋β)<sin α，所以α＋β∈，

所以cos(α＋β)＝－＝－，

cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－×＋×

＝＝，

因为β是锐角，故β＝.

5．已知sin α＋sin β＝，求cos α＋cos β的取值范围．

解：由sin α＋sin β＝，平方可得

sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝， ①

设cos α＋cos β＝m，平方可得

cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝m2， ②

①＋②得2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝＋m2，

即m2＝＋2cos(α－β)．

∵cos(α－β)∈[－1,1]，∴m2∈，

∴0≤m2≤，∴－≤m≤，

故cos α＋cos β的取值范围为.

层级(三)　素养培优练

已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α－β)的值．

解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为10π，

所以10π＝，所以ω＝.

(2)因为f＝－，

所以2cos＝2cos＝－，

所以sin α＝.

又因为f＝，

所以2cos＝2cos β＝，

所以cos β＝，

因为α，β∈，

所以cos α＝，sin β＝，

所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×＝.